2024-2025学年江西省高一上册12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省高一上册12月月考数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
3．幂函数在上为减函数，则实数的值为（ ）
A．或B．C．1D．2
4．若函数，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
5．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．9
7．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（ ）天．
A．200天B．210天C．220天D．230天
8．已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上选项均有可能
二、多选题
9．下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
10．环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
11．已知x，y均为正实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
13．已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是 .
14．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．计算下列各值
(1)；
(2)．
16．已知定义在上的函数是奇函数，且当x∈0,+∞时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）判断函数在−∞,0上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（3）解不等式.
17．已知函数．
(1)解关于x的方程；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．
18．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.
19．若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”．
(1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由；
(2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围；
(3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有．
2024-2025学年江西省高一上学期12月月考数学检测试题
一、单选题
1．集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】表示出N中不等式的解集，确定出N，根据N与M的补集不为空集，找出a的范围即可，进而求解结论．
【详解】解：∵全集R，或，，，
∴，
结合数轴可知，当时，，
故（R为实数集）时，a的取值范围为，
故选：C．
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】C
【分析】由存在量词命题的否定的定义即可得到；
【详解】由题意，命题“”的否定为，
故选：C.
3．幂函数在上为减函数，则实数的值为（ ）
A．或B．C．1D．2
【正确答案】D
【分析】根据幂函数的定义以及单调性求得的值.
【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或，
当时，，在上递减，符合题意.
当时，，在上递增，不符合题意.
综上所述，的值为.
故选：D
4．若函数，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【正确答案】C
【分析】利用的解析式，从内而外依次求解函数值即可得解.
【详解】因为，
所以，
则.
故选：C.
5．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【正确答案】C
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.
【详解】设，
对任意，，
所以，
所以的定义域为，
，
所以函数为奇函数.
令，
可得，即，
所以，可得，
由可得，解得，
所以的定义域为，
又，
所以函数为奇函数，排除BD选项，
当时，是减函数，
则，，
所以，排除A选项.
故选：C
6．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．9
【正确答案】A
【分析】将所求式子变形为，利用“1”的代换结合基本不等式求解.
【详解】，，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为5.
故选：A.
7．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（ ）天．
A．200天B．210天C．220天D．230天
【正确答案】D
【分析】由题设得方程，根据指对数关系、对数运算性质求值即可.
【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即，
．
故选：D．
8．已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上选项均有可能
【正确答案】C
【分析】作出函数的图象结合可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关系式，整理变形即可判断出答案.
【详解】作出函数的图象，如图：
由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故选：C
二、多选题
9．下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】ACD
【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.
【详解】解：的定义域为．
对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；
对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；
对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．
故选：ACD．
10．环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】AB
【分析】利用换元法，则，故将表示成关于的分段函数，再利用函数的单调性即可得出.
【详解】设，则当时，.
可得，
则，
显然在上是减函数，在上是增函数，
则，且,
则有，解得，
又，故调节参数应控制在内，
结合选项可知：AB正确，CD错误；
故选：AB.
11．已知x，y均为正实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】BC
【分析】由基本不等式判断各选项．
【详解】A选项：，所以，当且仅当，即，时取等号，故A错误；
B选项：，由A知，则，故B正确；
C选项：，当且仅当，即，时取等号，故C正确；
D选项：由，得，即，当且仅当，即，时取等号，故D错误.
故选：BC．
三、填空题
12．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
【正确答案】
【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解.
【详解】因为在上均为增函数，
所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，
故若在区间上存在零点，则
解得．
故常数a的取值范围为．
故
13．已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是 .
【正确答案】
【分析】分析可知，函数在R上为减函数，根据分段函数、对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.
【详解】不妨取，由可得，所以，函数在R上为减函数，
且，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
14．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为 ．
【正确答案】
【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得，然后构造新函数，根据函数的性质可得结果．
【详解】，定义域为，
则，可知函数为奇函数，
又均为增函数，所以为增函数，
由，得，即，
则，即，
由题意可知，对任意的，恒成立，
令，
所以，解得，
所以的取值范围为．
故．
四、解答题
15．计算下列各值
(1)；
(2)．
【正确答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据指数幂运算求解即可；
（2）根据对数的运算性质结合换底公式运算求解.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
16．已知定义在上的函数是奇函数，且当x∈0,+∞时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）判断函数在−∞,0上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（3）解不等式.
【正确答案】（1）；（2）为增函数，证明见解析；（3）.
（1）根据已知区间对应的解析式，设，得到，代入已知解析式时，利用奇偶性，即可求出对应的解析式；进而可得结果；
（2）任取实数，作差比较与大小，利用函数单调性的定义，即可得出结果；
（3）根据函数奇偶性与单调性，分别讨论和两种情况，结合所给不等式，分别求解，即可得出结果.
【详解】（1）根据题意，为定义在上的奇函数，则，
设，则，则，
又由为上的奇函数，则，则；
（2）函数在−∞,0上为增函数；
证明；根据题意，任取实数，
则，
由，得，且，；
则，即函数在−∞,0上为增函数；
（3）由（2）知函数在−∞,0上为增函数，又为定义在上的奇函数，
则在上也为增函数，
∵，，
∴当时，，，成立；
当时，，则或，解得；
所以，不等式解集为.
方法点睛：
用定义法判断函数在区间上单调性的一般步骤：
（1）取值：任取，且；
（2）作差：计算；
（3）定号：通过化简整理，得到的正负；
（4）得出结论：根据函数单调性的定义，得出结论.
17．已知函数．
(1)解关于x的方程；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【正确答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用指数函数的性质，直接解方程即可得解；
（2）将问题转化为恒成立，再利用指数函数的性质与二次函数的最值即可得解.
【详解】（1）根据题意得，，即，
解得或舍去，
所以；
（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，
当时，有，
所以，
则，
所以实数的取值范围为．
18．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.
【正确答案】(1)；
(2)产量为70万盒，最大利润为1200万元.
【分析】（1）根据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案.
（2）求出每段函数的最大值，再比较大小即可作答.
【详解】（1）依题意，当时，，
当时，，
所以销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为.
（2）当 时，单调递增，，当且仅当时取等号；
当 时，，当且仅当时取等号，而，
因此当时，，
所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为1200万元.
19．若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”．
(1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由；
(2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围；
(3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有．
【正确答案】(1)是“H函数”， 不是“H函数”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可；
（2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可；
（3）由题意令，得到，进而得到和即可得证.
【详解】（1）对于任意，，，
所以，
即成立，
故是“H函数”；
对于，
取，则，．
因为，故不是“H函数”
（2）因为函数是“H函数”，
所以对于任意的，有恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
又，故，则，
则，即，即实数a的取值范围为
（3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数，
都有，，且，
令，可知，即，
故对于自然数k与正数s，
都有，
对任意，可得，又，
所以，
同理，
故
方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.