浙江省宁波市2025_2026学年高二数学上学期期中联考试题含解析

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考生须知
1．本卷共 6 页满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知直线过点 ，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为 ，
，
所以 ，
故选：D
2. 过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两条互相垂直的直线的斜率相乘等于 ，先求出斜率，再根据点斜式写出直线方程即可.
【详解】因为直线 的斜率为 ，所以与其垂直的直线 的斜率 ，
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又因为直线 过点 ，所以直线 方程为 ，即 .
故选：A
3. 如图，空间四边形 中， ，点 在 上，且 ，点 为 中
点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
【详解】依题意， 分别是 的中点，
则
.
故选：C
4. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】由双曲线的离心率 ，求出 的比值，再根据渐近线方程 求解
即可.
【详解】已知双曲线 的离心率 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以其渐近线方程为 .
故选：D
5. 圆 与圆 的公共弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解.
【详解】圆 与圆 ，相减得 ，
圆心 到直线 的距离 ，又
则公共弦长为 ．
故选：C．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 的夹角是钝角
B. 若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底
C. 直线 经过点 ，则 到 的距离为
D. 直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则
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【答案】B
【解析】
【分析】对于 A，由 ，得到 是钝角或平角判断；对于 B，假设 三个向量
共面，由 是否成立判断；对于 C，易得 ，从而 即为所求；对于 D，
由 与 是否共线判断.
【详解】对于 A，若 ，则 的夹角是钝角或平角，故 A 错误；
对于 B，假设 三个向量共面，则 ，
所以 ，又 是空间的一组基底，
所以 ，无解，即 不共面，所以 也是空间的一组基底，故 B
正确；
对于 C，因为 ， ， ，则 ， ，
，故 到 的距离为 ，故 C 错误；
对于 D，因为直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，
则 ，故 与 不共线，即 不成立，故 D 错误；
故选：B
7. 19 世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著
名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭
圆 的蒙日圆方程为 ．若圆 与椭圆
的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】先求得椭圆 的蒙日圆，然后根据圆与圆的位置关系求得 .
【详解】对于椭圆 ， ，
所以椭圆 的蒙日圆为 ，
此圆的圆心为 ，半径为 .
圆 的圆心为 ，半径为 ，
由于圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，
所以 ，无解，
或 ，解得 .
故选：D
8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题
加以解决．例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 与点 之间的距
离的几何问题．结合上述观点，对于函数 ，下列结论正确的是（
）
A. 方程 有两个解 B. 方程 无解
C. 的最小值为 D. 的最大值为
【答案】A
【解析】
【分析】将函数 变形为 ，分析出其几何意义是 轴上的动点 到
两个定点 和 的距离之和，求出 的值域，即可判断 A，B，C，D.
【详解】因为 ，
所以 的几何意义是 轴上的动点 到两个定点 和 的
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距离之和，即 .
作点 关于 轴的对称点 ，则 ，
当 三点共线时， 取到最小值
，
所以 有最小值 ；
当点 向 轴正、负方向无限移动时，距离之和无限增大，
所以 .
因为 ，所以方程 有互为相反数的两个解，故 A 正确，B 错误；
因为 有最小值 ，故 C 错误；因为 无最大值，故 D 错误.
故选：A
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知直线 l： 与 n： ，下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则 或
B. 若 ，则
C. 直线 l 恒过点
D. 若直线 n 在 x 轴上的截距为 6，则直线 n 的斜截式为
【答案】AC
【解析】
【分析】运用两直线平行性质可判断 A 项，运用两直线垂直的性质可判断 B 项，提取参数后计算可判断 C
项，由截距定义可求得 a 的值进而可判断 D 项.
【详解】对于 A 项，若 ，则 ，解得 或 ，
经检验，均符合，故 A 项正确；
对于 B 项，若 ，则 ，解得 或 ，故
B 项不成立；
对于 C 项，因为 ，
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则由 得 ，所以 l 恒过点 ，故 C 项正确；
对于 D 项，若直线 n 在 x 轴上的截距为 6，即直线 n 过点 ，
则 ，得 ，
所以直线 n 的方程为 ，斜截式为 ，故 D 项不成立．
故选：AC.
10. 已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 6， 分别是椭圆的左、右焦点，
是一个定点， 是椭圆 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦距为 4 B. 椭圆 的标准方程为
C. D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据条件先求椭圆的方程，再判断选项 AB，由两点间距离公式判断 C，D 选项利用椭圆的定
义，将距离的和转化为距离差的最大值，利用数形结合，即可判断.
【详解】由条件可知， ，得 ，
所以椭圆的焦距 ，椭圆 的标准方程为 ，故 A 正确 ，B 错误；
， ， ，故 C 正确；
，
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当点 三点共线，且点 在 之间时，等号成立，故 D 正确.
故选：ACD
11. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图 1，也
可由正方体切割而成，如图 2．在图 2 所示的“蒺藜形多面体”中，若 ，则给出的说法中正确的是（
）
A. 该几何体的表面积为
B. 该几何体 体积为 4
C. 二面角 的余弦值为
D. 若点 P，Q 在线段 BM，CH 上移动，则 PQ 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据正四面体的表面积即可求解 A，利用割补法，结合体积公式即可求解 B，根据二面角的定义，
结合余弦定理即可求解 C，建立空间坐标系，利用点点距离即可求解 D.
【详解】因为 ，所以 ．蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为
的小正四面体构成，故该几何体的表面积为 ，A 错误．
该几何体的体积为 ，B 正确．
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设 EF 的中点为 ，连接 OB，OH，则 ,
则 即二面角 的平面角． ，
，C 正确．
建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
，当且仅
当 ， 时，等号成立．故 PQ 的最小值为 ，D 正确．
故选：BCD
非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 向量 ，且 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
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【分析】先利用向量垂直和平行的条件求出 、 ，再计算向量 的模长.
【详解】由 ，得 ，解得 .
由 ，设 ，即 ，得 ， .
故 ， ，则 ，其模长为 .
故答案为：
13. 设点 ，直线 关于直线 的对称直线为 ，已知 与圆
有公共点，则 的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用对称求出直线 的方程，再利用直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】
根据题意可知，直线 与直线 相交，
则 关于直线 的对称点为 ，
直线 过 ， ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆 ， 圆 的圆心为 ，半径为 ，
与圆 有公共点，
，解得 ，则 的取值范围为 .
故答案为： .
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14. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，
椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的第一象限的交点，且
，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得 ，设
，则可得 ，然后根据正弦函数的性质可得其范围
【详解】解：设 ，
由椭圆的定义得 ①，
由双曲线的定义得 ②，
① ② 得， ，
① ② 得， ，
由余弦定理可得 ，
所以 ③，
设 ，则 ，解得
所以 ，
当 时， 最大值为 时， 的值为 2，
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所以 的取值范围是 .
故答案 ：
四、解答题：本题共 5 小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知 顶点 、 、 .
（1）求边 的垂直平分线 的方程；
（2）若直线 过点 ，且 的纵截距是横截距的 2 倍，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据 ， ，即可得 的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程；
（2）当直线 过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线 不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求
解.
【小问 1 详解】
由 、 可知 中点为 ，且 ，
设边 的垂直平分线 的斜率为 ，
所以垂直平分线斜率满足 ，即 ，
所以边 的垂直平分线 的方程为 ，即 ；
【小问 2 详解】
当直线 过坐标原点时，其斜率 ，此时直线方程为 ，符合题意；
当直线 不过坐标原点时，由题意设直线方程为 ，
由 过点 ，则 ，解得 ，
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所以直线 方程为 ，
综上所述，直线 的方程为 或 .
16. 如图，在空间四边形 中， ，点 为 的中点，设 .
（1）试用向量 表示向量 ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把 表示出来，然后由点 E 为 的中点得 ，化简即得结果；
（2）把 、 用 表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为点 E 为 的中点，所以
.
【小问 2 详解】
因为 ， ，
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所以
=
17. 已知圆 外有一点 ，过点 作直线 ．
（1）当直线 与圆 相切时，求直线 的方程；
（2）点 为圆上任意一点，已知 ，求 的最小值．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）通过斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可；
（2）设 ，得到 ．由 表示圆 上的点
与点 的距离的平方，即可求解.
【小问 1 详解】
由题知，圆心坐标为 ，半径为 ，
当斜率不存在时，直线 的方程为 ；
当斜率存在时，设直线 的方程为 ，则 ，
解得 ．
所以直线 的方程为 ．
综上，直线 的方程为 或 ；
【小问 2 详解】
设 ，则
．
设 ，则 表示圆 上的点 与点 的距离的平方，可知 ，
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又 ，则点 在圆 外面．
所以 ，
则 ．
则 的最小值为 ．
18. 在 中， ， 分别是 上的点，满足 且
，将 沿 折起到 的位置，使 ， 是 的中点，如图所示．
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的大小；
（3）在线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 ？若存在，求出 的长
度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在； 的长度为 0
【解析】
【分析】（1）通过证明 、 证得 平面 .
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得 与平面 所成角的大小.
（3）假设在线段 上存在点 符合题意，根据平面 与平面 成角余弦值列方程，由此
求得 ，进而求得 .
【小问 1 详解】
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因为在 中， ，且 ，
所以 ，则折叠后， ，
又 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又已知 且都在面 内，所以 平面 ；
小问 2 详解】
由（1）知，以 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系 ，
因为 ，故 ，
由几何关系可知， ，
故 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
不妨令 ，则 ，故平面 的一个法向量为 ，
设 与平面 所成角的大小为 ，
则有 ，所以 ，
即 与平面 所成角的大小为 ；
【小问 3 详解】
假设在线段 上存在点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 ，
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在空间直角坐标系中，设 ，其中 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，即 ，
不妨令 ，则 ，故平面 的法向量为 ，
由（2）知平面 的一个法向量为 ，
若平面 与平面 成角余弦值为 ，
则满足 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），即 与 重合， ，
故在线段 上存在这样的点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 ，
此时 的长度为 0．
19. 在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 为常数），将点 变换为点
坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 组成的
正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 …表示．
（1）如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点
距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 ；
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（2）在平面直角坐标系 中，求双曲线 通过二阶矩阵 进行线性变换后得到的双曲
线方程 ；
（3）已知由（2）得到的双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于 两点（点 在第
一象限），与 轴交于点 ，设直线 的倾斜角分别为 ，求证： 为定值．
【答案】（1）坐标变换公式为 ，二阶矩阵 为
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设 ，可得 ，
则由 ， ，即可得到坐标变换公式及对应的二阶矩阵 ；
（2）根据坐标变换公式求出 ，再相减可得 ，整理即可得到双曲线的方程 ；
（3）法一：设直线 方程为 ，联立方程组消去 ，由韦达定理得到
及 范围，求出 的值，再结合 的范围即可得证；法二：分直线斜率存在
和不存在两种情况考虑，直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立方程组消去 ，由韦达定理得到 及 的范围，再分 和 两种情况分别求出 或
即可得证；当直线 斜率不存在时，得到 两点坐标，同理求出 即可得证；
【小问 1 详解】
设 ，可得 ，
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所以 ，
，
则坐标变换公式为 ，所以对应的二阶矩阵 为 ；
【小问 2 详解】
设曲线 上任意一点 变换后所得点坐标为 ，
即 ，此时 ，
整理得 ，则双曲线 的方程为 ；
【小问 3 详解】
法一：由题意可知，设直线 方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
此时 ，解得 ，由韦达定理得 .
又因为点 在不同两支，故 ，解得 .
可知
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，
因为点 在第一象限，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ；
法二：当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时 ，解得 ，由韦达定理得 .
当 时，此时 ，取 ，则 ，
所以直线 的方程为 .
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 ，所以 ，
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所以 ，则 ，所以 ；
当 时，设直线 的斜率分别为 ，
此时 ，
所以 ，
，
所以 ．
因为点 在第一象限，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ；
当直线 斜率不存在时，
此时 ，可得 ，
所以 ，同理可得 ．
综上所述， 为定值，定值为 ．
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