河北省沧州市重点高中2026届高三上学期7月月考 数学试卷（含答案）

这是一份河北省沧州市重点高中2026届高三上学期7月月考 数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试题分数：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
详解】由题意可得，即，
又，故，即定义域为.
故选：C.
3. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】依题意，，即，
又，故的最小值为.
故选：B.
4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变B. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变D. 横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
【答案】A
【详解】，因此是需要用的图象得到的图象，即，
所以只需把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象.
故选：A.
5. 已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解：因为，且第项与第项的二项式系数相等，
所以，解得，取，所以所有项的系数之和为：.
故选：C
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
7. 在等比数列中，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】在等比数列中，，解得，
所以，，
所以，.
故选：A.
8. 已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【详解】因为恒成立，所以为的一条对称轴，
那么，所以，
解得，，
与的图象如图所示：
由图可知，曲线与的交点个数为4．
故选：B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 以下说法正确的是（ ）
A. 将4封不同的信全部投入3个邮筒，共有64种不同的投法
B. 将4本不同的数学书和2本不同的物理书排成一排，且物理书不相邻的排法有480种
C. 若随机变量，且，则
D. 若随机变量，则
【答案】BC
【详解】对于A：第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；
同理，第2，3，4封信各有3种投法．根据分步乘法计数原理，共有种投法．故A错误；
对于B：先排4本不同的数学书有种排法，再将2本不同的物理书插空有种排法，
所以共有种不同的排法，故B正确；
对于C：因为，且，
所以，故C正确；
对于D：因为，所以，
所以，故D错误；
故选：BC
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当时，的最大值为3
C. 函数在区间上有2个极值点
D. 函数在点处的切线方程为
【答案】ACD
【详解】由图可知，，，即，
又有，因此，，即，
又有，因此，，综上，.
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，当时，，，，故的最大值为2，B错误；
对于C，令，则，，
当时，，当时，，当时，（舍），当时，（舍），
故函数在区间上有2个极值点，一个是，一个是，C正确；
对于D，，，斜率，
根据直线的点斜式方程，函数在点处的切线方程为，即，故D正确；
故选：ACD.
11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A. B.
C. 以MN为直径的圆与l相切D. 为等腰三角形
【答案】AC
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数，为偶函数，则的值为______
【答案】
【详解】因为为偶函数，故轴为其图象的对称轴，
所以，故，
因为，故，
故答案为：.
13. 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______.
【答案】5%
【详解】解：令A表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设，
由全概率公式得：
，
而，故.
故答案为：5%.
14. 函数恒有，且在上单调递增，则__________．
【答案】
【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即，所以，所以；
已知在上单调递增，所以，即，解得.
当时，因为，所以，因为在上单调递增，所以，解得，
所以，解得，故.
当时，因为，所以.取，
则，因为，
所以，故在上单调递减，不满足题意.
同理可得不满足题意.
综上可得：.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数．
（1）求;
（2）设函数，求的值域和单调区间．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【小问1详解】
由题意，所以；
【小问2详解】
由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
16. 如图，已知四棱锥，底面，，，，，E为棱上靠近点P的三等分点．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
连接，记，连接，如下图：
在梯形中，易知，则，
由题意可得，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由题意易知两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，，
设平面的法向量，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则.
17. 中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游的魅力．“南方小土豆”勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的追捧．某新闻媒体机构随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：
（1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关？
（2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个基本滑雪动作（起步、滑行、转弯、制动）进行指导．根据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，，，，且四个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立．若这四个基本滑雪动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号．
（ⅰ）求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率；
（ⅱ）现有一个旅游团去哈尔滨冰雪大世界游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为滑雪初学者，每个人滑雪身体条件相当，令为荣获“优秀学员”称号的人数，求的数学期望，并求这30人中多少人荣获“优秀学员”称号的概率最大．
附：，．
【答案】（1）可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关
（2）（ⅰ）；（ⅱ），9人
【小问1详解】
零假设为：游客是否喜欢滑雪与性别无关联．
由题可得．
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关．
【小问2详解】
（ⅰ）令事件分别表示起步、滑行、转弯、制动达到优秀，
令滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件，则事件之间相互独立，
事件包含四个基本滑雪动作均达到优秀和四个基本滑雪动作中有三个达到优秀，
所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是．
（ⅱ）由题意知，，
因此，．
设有人荣获“优秀学员”称号的概率最大，
则，解得．
因为，所以，
故9人荣获“优秀学员”称号概率最大．
18. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
【答案】（1） （2）
解析：（1）设，因为直线的斜率为，
所以，.
又
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设
由题意可设直线的方程为：，
联立消去得，
当，所以，即或时
.
所以
点到直线的距离
所以，
设，则，
，
当且仅当，即，
解得时取等号，
满足
所以的面积最大时直线的方程为：或.
19. 已知，函数
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若曲线和有公共点，
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【小问1详解】
，故，而，
曲线在点处的切线方程为即.
【小问2详解】
（i）当时，
因为曲线和有公共点，故有解，
设，故，故在上有解，
设，故在上有零点，
而，
若，则恒成立，此时在上无零点，
若，则在上恒成立，故在上为增函数，
而，，故在上无零点，
故，
设，则，
故在上为增函数，
而，，
故在上存在唯一零点，
且时，；时，；
故时，；时，；
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为在上有零点，故，故，
而，故即，
设，则，
故在上为增函数，
而，故.
（ii）因为曲线和有公共点，
所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故.
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离，
故，所以，
下证：对任意，总有，
证明：当时，有，故成立.
当时，即证，
设，则（不恒为零），
故在上为减函数，故即成立.
综上，成立.
下证：当时，恒成立，
，则，
故在上为增函数，故即恒成立.
下证：在上恒成立，即证：，
即证：，即证：，
而，故成立.
故，即成立.男性游客
女性游客
合计
喜欢滑雪
60
35
95
不喜欢滑雪
40
65
105
合计
100
100
200
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828