河北省沧州市2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷含解析（word版）

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1. 已知 sinα−csα=33 ，则 sin2α= ( )
A. 13 B. 23 C. −13 D. −23
【答案】B
【解析】
【分析】将 sinα−csα=33 两边同时平方,结合同角三角函数平方关系及正弦二倍角公式求解即可.
【详解】由题意, sinα−csα=33 两边同时平方得
sin2α−2sinαcsα+cs2α=13 ,
由同角三角函数平方关系得 1−2sinαcsα=13 ,
则 sin2α=23 .
故选: B.
2. 已知复数 z 满足 −1+iz=−2i1+i ，则 z= ( )
A. 3 B. 2 C. 1D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的运算化简复数 z ,利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】因为 −1+iz=−2i1+i=2i−1−i ,所以 z=2i−1−i−1+i=2i2=i ,则 z=1 ,
故选: C.
3. 已知 y=−4 是抛物线 C:x2=2pyp>0 的准线,点 4,y0 为 C 上一点,则 y0= ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的准线方程求出 p 的值,可得出抛物线 C 的方程,再将点 4,y0 的坐标代入抛物线方程,即可求出 y0 的值.
【详解】因为直线 y=−4 是抛物线 C 的准线,所以 p2=4 ,即 p=8 ,所以 C 的方程为 x2=16y , 又 4,y0 在 C 上,代入可得 16y0=42 ,解得 y0=1 ,
故选: D.
4. 已知 O 为坐标原点， OP=mOA+AB ，若四边形(DAPB为平行四边形，则 m= ( )
A. -2 B. 2 C. 1 D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的平行四边形定则结合相等向量计算可得.
【详解】因为四边形 OAPB 为平行四边形,
所以 OP=OA+OB ,
所以 OA+OB=mOA+OB−OA=m−1OA+OB ,
所以 m−1=1 ,解得 m=2 ,
故选:B.
5. 过点 P1,1 且斜率为 k 的直线 l 被圆 x−12+y+12=6 截得的弦长为 4,则 k 的值为( )
A. ±1 B. 1 C. ±3 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线 l 的方程,利用几何关系求出圆心到直线 l 的距离,结合点到直线的距离公式可得出关于 k 的等式, 解之即可.
【详解】依题意,圆心为 1,−1 ,半径为 6 ,直线 l 的方程为 y−1=kx−1 ,即 kx−y−k+1=0 , 于是圆心到直线 l 的距离为 d=k+1−k+1k2+1=2k2+1=62−22=2 ,解得 k=±1 , 故选: A.
6. 已知各项均为正数的数列 an 满足 a2=4 ，且对任意 m,n∈N∗ ，都有 am+n=aman ，则 an+20an 的最小值为( )
A. 9B. 212 C. 45 D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】先由题中等式确定 an 的通项,再利用对勾函数的单调性代入 n=2,3 可得.
【详解】依题意, an>0,a2=a1a1=4 ,解得 a1=2 ,
令 m=1 ,则 an+1=2an ,则 an 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故 an=2n ,
因为 an=2n 是递增数列,函数 y=x+20xx>0 在 0,25 上单调递减,在 25,+∞ 上单调递增,
且 a2=425 ,故 an+20an 的最小值必在 n=2 或 n=3 时取得,
又当 n=2 时， a2+20a2=4+204=9 ，当 n=3 时， a3+20a3=8+208=212 ，
所以当 n=2 时, an+20an 取得最小值为 9 .
故选: A.
7. 在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为菱形， AABD 为等边三角形， AA1=AB=BD ，若该直四棱柱的体积为 43 ，则以 B 为球心，表面积为 28π 的球面与侧面 AA1D1D 的交线长度为( )
A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3
【答案】D
【解析】
【分析】设 AA1=AB=BD=aa>0 ,利用柱体的体积公式求出 a 的值,取 AD 的中点 E ,连接 BE , 证明出 BE⊥ 平面 AA1D1D ,分析可知在侧面 AA1D1D 中,以 E 为圆心的圆弧与棱 AA1、DD1 的交点分别为 M、N ,求出 EM 的长以及 ∠MEN 的大小,结合扇形的弧长公式可得结果.
【详解】依题意,设 AA1=AB=BD=aa>0 ,
VABCD−A1B1C1D1=a2sin∠BAD⋅a=a3sin60∘=32a3=43 ，解得 a=2 ，
如图,取 AD 的中点 E ,连接 BE ,
因为 △ABD 是边长为 2 的正三角形,所以 BE⊥AD ,
且 BE=AB2−AE2=22−12=3 ,
以 B 为球心的球的半径为 R ,则该球的表面积为 4πR2=28π ,解得 R=7 ,
因为 AA1⊥ 平面 ABCD,BE⊂ 平面 ABCD ,故 BE⊥AA1 ,
又因为 BE⊥AD,AD∩AA1=A,AD、AA1⊂ 平面 AA1D1D ,故 BE⊥ 平面 AA1D1D , 在侧面 AA1D1D 中,以 E 为圆心的圆弧与棱 AA1、DD1 的交点分别为 M、N ,
则其半径 EM=EN=R2−BE2=72−32=2 ,则 MN⏜ 即为所求的交线,
因为 AA1⊥AD,AE=1=12EM ,故 ∠AME=π6 ,则 ∠AEM=π3 ,
同理可得 ∠DEN=π3 ,故 ∠MEN=π3 ,
又因为 EM=EN=2 ,所以 MN⏜ 的长度为 π3×2=2π3 ,
故选: D.
8. 已知函数 fx=exa−xlnx+xa>0 有两个极值点,则 a 的最小整数值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知 f′x 在 0,+∞ 内存在两个变号零点,令 1a=m ,可得出 mx⋅emx=lnx⋅elnx ,构造函数 hx=xex, x>0 ,利用导数分析函数 hx 的单调性,可得出即 m=lnxx 在 1,+∞ 内有两个不同的根, 令 φx=lnxx ,利用导数分析函数 φx 的单调性与极值,数形结合可得出 m 的取值范围,即可得出 a 的取值范围, 即可得解.
【详解】函数 fx=exa−xlnx+xa>0 的定义域为 0,+∞ ,
问题等价于 f′x 在 0,+∞ 内存在两个变号零点,
即 f′x=1aexa−lnx 在 0,+∞ 内有两个变号零点,
因为 x∈0,+∞ ,令 1a=m ,
问题可以转化为关于 x 的方程 mxemx−xlnx=0 在 0,+∞ 内有两个不同的解,
又方程 mxemx−xlnx=0 可化为 mx⋅emx−lnx⋅elnx=0 ,即 mx⋅emx=lnx⋅elnx ,
令 hx=xex,x>0 ,则 h′x=1+xex>0 在区间 0,+∞ 上恒成立,
所以函数 hx 在区间 0,+∞ 上单调递增.
又 mx>0 ,所以 lnx>0 ,即 x>1 ,所以问题等价于 lnx=mx ,
即 m=lnxx 在 1,+∞ 内有两个不同的根,
令 φx=lnxx ,则 φ′x=1−lnxx2 ,
当 x∈1,e 时, φ′x>0 ,函数 φx 在区间 1,e 上单调递增;
当 x∈e,+∞ 时, φ′x0 ,所以函数 fx 在区间 1,a−1 上单调递增;
x∈0,1∪a−1,+∞ 时, f′x0 ,所以 m>2 ,即 2