湖南省益阳市部分学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省益阳市部分学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），文件包含湖南省益阳市部分学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题原卷版docx、湖南省益阳市部分学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
时间：100分钟 总分：150分姓名：
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由全称命题的否定形式可得答案.
【详解】命题“”的否定是.
故选：A.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由被开方数大于等于零和分母不为零列不等式组求解即可.
【详解】由题意可得，解得且，所以函数的定义域为.
故选：C
3. 小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把时间与离家的路程变化，与速度有关，所以根据速度的大小来判断直线的斜率.
【详解】从家出发先匀速步行，此时直线的上升幅度较小，中间匀速跑步前进，此时直线的上升幅度较之前步行的增大，后面看电影的时间表示离家的距离没有发生变化，故直线呈水平状态，最后匀速步行回家，此时直线下降，最后减至离家的距离为.
根据以上判断，只有B吻合，
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数的单调性可判断充分性，举反例可判断必要性.
【详解】由指数函数的性质，当“”可以推出“”，故充分性成立；
取，，则，但，所以必要性不成立，
综上，，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（ ）
A. 浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值
B. 时，浮萍面积就会超过
C. 浮萍每周增加的面积都相等
D. 若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可.
【详解】由图可得：函数过点，
则，解得，即.
对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值，故A错误；
对于选项B：若时，则，
所以浮萍面积不会超过，故B错误；
对于选项C：第二周比第一周增加，第三周比第二周增加，
即，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C错误；
对于选项D：由题意可得：，则，
所以，故D正确.
故选：D.
7. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性即可求解.
详解】故
所以，
故，
故选：D
8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（ ）
A. 2B. C. 1D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出当时的解析式，再求出及目标值.
详解】当时，，令，则，，
因此当时，，由函数是上的奇函数，，
得，则，解得，
所以.
故选：C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】举反例可得A错误；作差可判断BC，由不等式的性质可得D.
【详解】对于A，取，则满足，但，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，因为，所以，所以，故D正确.
故选：BD.
10. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 若函数，则与是同一个函数
B. 是奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 的值域为
【答案】CD
【解析】
【分析】利用函数相等的概念可判断A选项；利用函数奇偶性的概念可判断B选项；利用函数对称性可判断C选项；利用对数函数的值域可判断D选项.
【详解】对于函数，有，解得或，
所以，函数的定义域为，
对于函数，有，解得，
所以函数的定义域为，
所以这两个函数的定义域不相同，A错；
对于B选项，因为函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以函数不是奇函数，B错；
对于C选项，因为，
所以函数的图象关于点对称，C对；
对于D选项，因为当时，，
则，此时，，
当时，，则，，
此时，
综上所述，函数的值域为，D对.
故选：CD
11. 已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（ ）
A.
B. 的图象关于轴对称
C. 在上单调递减
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，赋值法得到，进而赋值得到；B选项，令得，，B正确；C选项，令，，由定义法得到在上单调递增，C错误；D选项，变形得到，在BC基础上，得到不等式，求出解集.
【详解】A选项，中，令得，
解得，
令得，解得，A正确；
B选项，中，令得，
，故的图象关于轴对称，B正确；
C选项，中，令，其中，
则，
因为当时，，且，所以，
所以，，
所以在上单调递增，C错误；
D选项，因为，所以，
故，
即，
由BC选项知，在上单调递增，又为偶函数，
，且，
两边平方得，
解得，且，
所以不等式的解集为，D正确.
故选：ABD
【点睛】抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知幂函数的定义域是，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可.
【详解】因为函数为幂函数，则，即，
解得或，
当时，函数的定义域为，合乎题意；
当时，函数的定义域为，舍去.
综上所述，.
故答案为:
13. 函数的值域是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数的性质求出，进而求得的值域.
【详解】，，故，
所以函数的值域为.
故答案为：.
14. 设函数，若，则的最大值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先分段讨论得出的范围，再结合的单调性求最大值即可.
【详解】若，则，即，得；
若，则，得；
所以或，则，
由于单调递减，所以当时，
的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）利用指数的运算性质计算可得所求代数式的值；
（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值.
【小问1详解】
原式．
【小问2详解】
原式．
16. 已知，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论；
（2）变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【小问1详解】
已知，且，
由基本不等式得，即，解得，
当且仅当，即时，等号成立，证毕；
【小问2详解】
因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为
17. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若，且集合中恰有3个整数元素，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出具体集合，再利用集合的混合运算求解即可.
（2）结合题意建立不等式，进而求解参数范围即可.
【小问1详解】
当时，，
而或，
则或．
【小问2详解】
当时，由得．
若，则，
此时中的整数元素可能为1和2，不可能有3个，不符合条件；
若，则，
若中恰有3个整数元素，则这3个元素为2，3，4，
则，解得，
即实数的取值范围为．
18. 当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.
（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值；
（2）另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）
参考值：，.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，列出方程，结合对数运算代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，注射药品两小时后药品的残存量为，
所以，解得，即注射了药品，的值为.
【小问2详解】
设药物注射量为，则小时后残余量为，
设药物注射量为，则小时后残余量为，
又题可知，药物注射量为，药物注射量为，
设小时后残余量相同，则，
即，两边取对数可得，即，
即，即，
即，即，
解得，所以注射小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.
19. 已知函数．
（1）当时，求的单调递增区间．
（2）如果函数的最小值与函数的最小值相等，就称满足“性质”．
（i）当时是否满足性质？请说明理由．
（ii）若满足性质，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i）不满足性质，理由见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）结合二次函数求解分段函数单调递增区间；
（2）（i）利用单调性求出的最小值为和的最小值为5，然后根据新定义即可判断；
（ii）由题意取最小值时的值在的值域内，然后、、分类讨论，分析单调性求解其值域，进而利用新定义列不等式求解即可．
【小问1详解】
当时，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
易知的图象在处连续不断，
故的单调递增区间为．
【小问2详解】
（i）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
而，即的最小值为5，
所以当时，不满足性质．
（ii）若满足性质，则取最小值时的值在的值域内．
两段抛物线的对称轴分别为和．
①当时，，在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
若满足性质，则，化简得，所以．
②当时，，在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为的最小值为，此时不满足性质．
③当时，，在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
若满足性质，则，化简得，所以．
综上，的取值范围为．