湖北省十堰市八校教联体2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：2025年12月17日下午15：00-17：00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线方程可以写出渐近线方程和顶点坐标，再用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由双曲线可得渐近线方程为，上顶点坐标为，
所以顶点到渐近线的距离为.
故选：C
2. 过圆上一点作圆的切线，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用切线与切点和圆心所在直线垂直，根据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程.
【详解】圆的圆心为，则直线的斜率为，
因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即，
所以，则切线的斜率为,
所以直线的方程为,即.
故选：D
3. 已知离心率为的椭圆的长轴长是短轴长的2e倍，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆的性质结合离心率的定义即可求解.
【详解】由已知得，即，即，解得，即，
故选：B．
4. 如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算，用基底表示向量.
【详解】连接AE，如图所示，
∵E是CD的中点，，，∴＝＝．
在△ABE中，，又，
∴.
故选：A.
5. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可.
【详解】记2个红球和3个黄球分别为和，
记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球，
则从中不放回地依次随机摸出两个球试验的样本空间为，共20个样本点，
记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”，
则共6个样本点.
所以.
故选：C
6. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，令，
解得，可知定点，
又，
所以直线与直线垂直，为交点，
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为.
故选：B.
7. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设相应事件，，根据题意结合互斥事件以及独立事件可得，结合事件的运算求解即可.
【详解】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”，
则，设，
由题意可得，即，
可得，解得，
所以该难题被攻克的概率．
故选：B．
8. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得曲线为圆的右半圆，数形结合，再利用切线性质计算即可得解.
【详解】由，可得，且，
故曲线为圆的右半圆，
作出直线与曲线的图象如下图所示：

当直线即与曲线相切且切点在第四象限时，，
且有，解得，
当直线过点时，直线与曲线有两个公共点，此时；
当直线过点时，直线与曲线只有一个公共点，此时，
结合图形可知，若时，直线与曲线只有一个公共点
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与事件是相互独立事件
B. 事件与事件是互斥事件
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用定义判断选项B的真假，利用公式计算判断选项ACD的真假，即得解.
【详解】对于A，对于事件A与事件B，，
事件A与事件B是相互独立事件，故选项A正确；
对于B，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，
如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B错误；
对于C，因为，所以，故选项C正确；
对于D，事件等价于事件，即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数
故，故D错误.
故选：AC．
10. 已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A. 圆的半径为3
B. 圆和圆相离
C. 的最小值为
D. 过点作圆的切线，则切线长最短为
【答案】BD
【解析】
【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
对于A，圆的半径为，A错误；
对于B，，圆和圆相离，B正确；
对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接，
由圆的性质得，
，当且仅当点与重合，
且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；
对于D，设点，过点圆的切线长，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BD

11. 如图，棱长为1的正方体中，分别为中点，分别为线段，（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 直线与底面所成角的正切值为
C. 三棱锥的体积最大值为
D. 线段的长度最小值为1
【答案】BCD
【解析】
【分析】建系标点，设，，.对于A：利用空间向量判断线线垂直即可；对于B：可知底面的一个法向量为，利用空间向量求线面夹角；对于C：利用转换顶点法可得三棱锥的体积，进而分析最值；对于D：根据空间中两点间距离公式运算求解.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，.
设，，，则.
对于选项A：因为，可知与不垂直，故A错误；
对于选项B：因为底面的一个法向量为，
设直线与底面所成角为，
则，
可得，，
所以直线与底面所成角的正切值为，故B正确；
对于选项C：因为平面平面，且点平面，
可知点到平面的距离，
又因为，且点，可知点到直线的距离，
则三棱锥的体积，
当且仅当，即点与点重合时，等号成立，
所以三棱锥的体积最大值为，故C正确；
对于选项D：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以线段的长度最小值为1，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设直线与圆相交于两点，且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】求圆心到直线的距离，根据弦长结合垂径定理列式求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
由题意可得，即，解得.
故答案为：.
13. 已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于，两点，若，则的周长为_________.
【答案】12
【解析】
【分析】根据双曲线的定义求的周长.
【详解】如图，
由题意可得，的周长为，
由双曲线的定义可得，又，
所以.
所以的周长为12．
故答案为：12
14. 学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是__________________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆柱底面圆半径为r，结合已知表示出圆柱的高h，再利用球及其内接圆柱的特征求出球的表面积与r的函数关系结合基本不等式即可得解.
【详解】设圆柱底面圆半径为r，高为h，则有，整理得，
由球及其内接圆柱的结构特征知，球心是圆柱两底面圆圆心的中点，设球半径为R，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
因此，球的表面积为，
所以该圆柱体的外接球的表面积的最小值是.
故答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆C过点和，且圆心C在y轴上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆的标准方程为，将和代入求解即可;（2）讨论直线斜率存在与否，当直线斜率存在时，设：，根据圆的弦长公式求得直线方程.
【小问1详解】
∵圆的圆心在轴上，不妨设圆的标准方程为，
代入点，，得,
解得,即圆的标准方程为.
【小问2详解】
∵直线被圆截得的弦长为，且圆的半径为4，
∴圆心到直线的距离为.
①当直线斜率不存在，即直线为时，满足；
②当直线斜率存在时，设：，
则由，解得，即直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
16. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；
（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
【小问1详解】
甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.
【小问2详解】
乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
【小问3详解】
丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
.
17. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，．
（1）求的方程；
（2）求证：的值为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目条件求得a、b的值即可；
（2）分两种情况，一种当两条直线的斜率一个为0，另一个不存在时，直接求出的值即可；另一种当两条斜率都存在时，设直线的方程为，则DE为，根据弦长公式求出弦AB和DE的长，代入题中表达式化简即可．
【小问1详解】
设椭圆的焦距为，则由题意得，
解得，所以，
所以的方程为．
【小问2详解】
由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时，
假设AB斜率为零，DE斜率不存在，
则，，（或），
此时；
同理，当DE斜率为零，AB斜率不存在时，同样有；
若直线与直线的斜率都存在时，如图，
设直线的方程为，，
由，得，
所以，
所以
，
因为，将换成，得，
所以；
综上所述，的值为定值．
18. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点.将沿折起，使得，如图2.
（1）求证：平面平面；
（2）设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）求三棱锥的外接球的半径.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）证明平面即可求证；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；
（3）取中点，设三棱锥的外接球的球心为，设，由进行求解．
【小问1详解】
连接，由题意得为等边三角形，则，
在中，，，，
，
由，，，则，故.
又，则，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
如图，以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
故，，
由，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以
.
化简得，解得（舍去），
故存在，使直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
取中点，设三棱锥的外接球的球心为，由知，点在过点且与平面垂直的直线上，设，
由得
解得，
从而，即三棱锥的外接球的半径为.
19. 已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为A'，且直线BA'经过点．
（ⅰ）求证：直线l过定点；
（ⅱ）若，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据动圆M与圆相切，由，利用双曲线的定义求解；
（2）（ⅰ）设直线l的方程为（显然l与x轴不平行），与联立，由求解；（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，，然后由求解.
【小问1详解】
圆的圆心坐标为，半径．
动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，
所以，
所以点M在以，为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为，，
所以，
所以曲线C的方程是．
【小问2详解】
（ⅰ）设直线l的方程为（显然l与x轴不平行），
与联立，得，
由题意知，，，即，
由韦达定理得，．
因为点A与A'关于x轴对称，不妨设A，B分别在第一、二象限，如图所示．

易知，
即，
化为，
即，化为，
当m变化时，该式恒成立，
所以，故直线l过定点（-3，0）．
（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，．
由，
，
，
，
化为，解得或（舍去），
故，
此时直线l的方程为．
【点睛】关键点点睛：本题（ⅱ）的关键是由直线BA'经过点，结合点A关于x轴对称的点为A'，得到 ，从而将，转化为，结合韦达定理而得解.