陕西师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份陕西师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试用时120分钟
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，设复数，则（ ）
A. 0B. C. 1D.
3. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则
C 若，则
D. 若，则
5 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C D.
7. 已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数且，关于函数，有下列四个命题：
甲： 是的极值点; 乙：3是的零点;
丙： 在区间单调递减; 丁： 在单调递增．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. 最小值为1B. 最小值为2
C. D. 最小值为4
10. 已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则（ ）
A. B. 为直角三角形
C. 周长的最小值为D. 的最小值为2
11. 记的内角的对边分别为，外接圆半径为；面积为S，若，则（ ）
A. B.
C. 当时，有唯一值D. 当时，有且仅有2个值
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知一组数据、、、、的上四分位数是，则的取值范围为__________.
13. 在的展开式中，的系数为___________．
14. 定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则________，_______
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算歩骤)
15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．
16. 2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示：
（1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额；
（2）如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望.
参考公式：在线性回归方程中，，.
17. 如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为2，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体.
（1）求这个组合体的体积；
（2）若点F为AC的中点，求二面角的余弦值.
18. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若MA，NB的斜率分别为，，且
①证明：直线MN过定点；
②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.
①求的取值范围；
②证明.第天
1
2
3
4
5
6
7
营业额
7
9
10
12
16
19
11
陕西师大附中2025-2026学年度第一学期期中考试
高三年级数学试题
全卷满分150分，考试用时120分钟
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集运算求解.
【详解】
故选：C
2. 已知虚数单位，设复数，则（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合复数的运算可得，再由复数模的概念即可得解.
【详解】由题意，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了复数的运算及复数模的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
3. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据条件求，再代入投影向量公式，即可求解.
【详解】由题意可知：，因为，即，可得，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
4. 已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用线面平行性质判断AB；利用线面垂直、面面垂直的判定性质判断CD.
详解】对于A，由，得或，A错误；
对于B，由，得或，B错误；
对于C，由，得，而，则或，C错误；
对于D，由，得，D正确.
故选：D
5. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】由，
因此，
故选：B
6. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数性质，可得函数的单调性与函数值为零的点，从而可得函数值与零的大小关系，结合不等式，可得答案.
【详解】由函数奇函数，且在上单调递增，则函数在上单调递增，
且，，
当时，；当时，，
由当时，，当时，，
则不等式的解集为.
故选：D.
7. 已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意球与每条棱都有公共点，然后利用临界分析，当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球，当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，故球的半径满足，最后利用球的表面积公式求解即可.
【详解】依题意，平面与以为球心的球相切，因正方体每个顶点发出了三条棱，
要使与该正方体的截面始终为三角形，就必须使球与每条棱都有公共点，
当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球，
当球半径继续增大到外接球半径之前，都能确保截面始终为三角形，
而当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，
因此必须使球的半径满足.
又棱长为2的正方体的棱切球的半径为面对角线的一半即，
外接球的半径为体对角线的一半即，所以，
所以.
故选：A
8. 已知函数且，关于函数，有下列四个命题：
甲： 是的极值点; 乙：3是的零点;
丙： 在区间单调递减; 丁： 在单调递增．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】由题知，甲丙互相矛盾，所以乙丁一定为真命题，根据条件可求得，再利用导数确定单调性及极值即可.
【详解】根据题意可知，甲丙互相矛盾，所以乙丁一定为真命题，
，又，
所以，，
则，又乙为真命题，，
即，，
令或，
所以或时，，单调递增，
时，，单调递减，
故甲为假命题，乙、丙、丁为真命题.
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. 最小值为1B. 最小值为2
C. D. 最小值为4
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，结合基本不等式逐项判断即可.
【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，取，则，C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，D正确.
故选：BD
10. 已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则（ ）
A. B. 为直角三角形
C. 周长的最小值为D. 的最小值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程及直线与圆相切求出即可判断A；根据双曲线的关系求出，可得，进而结合勾股定理判断B；结合双曲线的定义可得周长为，结合三角形的几何性质求解判断C；设，，，进而结合两点间的距离公式、二次函数的性质求解判断D.
【详解】双曲线的渐近线方程为，即，
由圆，圆心为，半径为，
因为渐近线与圆相切，
所以，解得，故A错误；
而，则，即，所以，
则，则，
即，所以为直角三角形，故B正确；
周长为
，当且仅当三点共线时等号成立，
则周长的最小值为，故C正确；
设，，，则，即，
所以，
则时，取得最小值，故D错误.
故选：BC.
11. 记的内角的对边分别为，外接圆半径为；面积为S，若，则（ ）
A. B.
C. 当时，有唯一值D. 当时，有且仅有2个值
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，由诱导公式，三角恒等变换，结合题目条件得到，根据三角形面积公式得到，求出A错误；B选项，由正弦定理得到；C选项，当时，，，所以，则，所以，C正确；D选项，根据和题目条件，换元可得，令，求导得到其单调性，结合特殊点函数值，零点存在性定理得到在内有且仅有2个值，则有且仅有2个值，D正确.
【详解】A选项，因为，
所以，
又，
所以
，
所以，
因为，
所以，A错误；
B选项，由正弦定理得，
故，
，B正确；
C选项，当时，，，，
所以，则，
又，，所以，所以，C正确；
D选项，当时，，，，
所以，
所以，故，，
即，
令，故，令，
则，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以在内有且仅有2个零点，
所以在内有且仅有2个值，则有且仅有2个值，D正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知一组数据、、、、的上四分位数是，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据上四分位数的定义可得出实数的取值范围.
【详解】因为，且数据、、、、的上四分位数是，
因此，数据由小到大依次为：、、、、，故.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
13. 在的展开式中，的系数为___________．
【答案】220
【解析】
【分析】根据给定条件，求出展开式中含项系数即可.
【详解】在展开式中含项分别为，
所以在的展开式中，含的项为，
所以所求系数为220.
故答案为：220
14. 定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则________，_______
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可.
【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，
当时，，可得，，，即，
当时，，可得或，或，或1或2，即，
当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即，
当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，
当时，函数在定义域上的值域为，
记中元素的个数为，设，则，，
所以，
则可得递推关系：，
所以,
当时，成立，则，则，
所以，
故答案为：3；
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义题，解题关键是找到递推关系：，结合累加法求出数列通项，利用裂项相消求出前项和.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算歩骤)
15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式；
（2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出.
【小问1详解】
因为为等差数列，设公差为d，
由，得，即，
由，，成等比数列得，，
化简得，因为，所以．
所以．
综上．
【小问2详解】
由知，，
又为公比是3的等比数列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
综上.
16. 2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示：
（1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额；
（2）如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望.
参考公式：在线性回归方程中，，.
【答案】（1），预测春节假期第8天的营业额为千元
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用最小二乘法求解即可；
（2）利用超几何分布求解即可.
【小问1详解】
，
.
，
线性回归方程为
当时，.
即预测春节假期第8天的营业额为千元.
【小问2详解】
由题意可知的所有可能取值为：1，2，3，4.
，，
，
的分布列为
的数学期望为
17. 如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为2，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体.
（1）求这个组合体的体积；
（2）若点F为AC的中点，求二面角的余弦值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）将组合体拆分为两部分分别求体积即可；
（2）根据题意建立合适的空间直角坐标系，求出两个平面的一个法向量，结合二面角坐标计算公式求解答案即可.
【小问1详解】
因为三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，是等边三角形，
所以，
所以；
因为三棱锥的棱长均为2，
所以正三棱锥体积为一个棱长为的正方体减去四个三棱锥，
即，
【小问2详解】
如图所示，以E为坐标原点，EC，ED，EB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面EBC的法向量为，易得，
设平面BCF的法向量为，
因为，得，
取，可得
设二面角的平面角大小为，由图易知，二面角为钝角，
则
故二面角的余弦值为
18. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若MA，NB的斜率分别为，，且
①证明：直线MN过定点；
②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值．
【答案】（1）
（2）①证明见解析 ；②
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解；
（2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解.
【小问1详解】
根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形，
由，，得，，
所以椭圆C的方程为．
【小问2详解】
①证明：依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，，
由消去x整理得，
则，，，
而，，则，，
因此
，
解得，
所以直线MN：恒过定点．
②解：由（ⅰ）知，，，得，
直线AM的方程为，直线BN的方程为，
则，
即，解得，
即可得点有，，
同理可得点有，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.
①求的取值范围；
②证明.
【答案】（1）答案见解析
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）应用导数讨论函数的单调性，分与讨论即可；
（2）①结合函数的极值点即可求解；②构造函数与讨论即可.
【小问1详解】
函数的定义域为.
又，令，得.
当，即时，在恒成立，.
当，即时，方程有两根，可求得：，
因为所以，
当和时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
小问2详解】
当时，.
①方程有三个不相等的实数根，
即方程在上有三个不相等的实数根.
令，
则，
令，求得：或，
则当或时，，
当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
存在极大值为，存在极小值，
且当时，，当时，.
要使方程有三个不相等的实数根，则
的取值范围为.
②证明：设方程三个不相等的实数根分别为：，且，
由①可得，要证，
只需证，即证，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，.
由，
构造函数，
，当时，在上单调递增，
，即在上恒成立，
又，则有：，
又，且在上单调递减，
，即.
构造函数，
，当时在上单调递增.
，即在上恒成立.
又，则.即，
由，则.
在上单调递增，.
又，则可证得：.
【点睛】关键点点睛：将证明转化为， ，结合极值点平移构造函数是本题关键.第天
1
2
3
4
5
6
7
营业额
7
9
10
12
16
19
11
1
2
3
4