重庆市部分校2025-2026学年高二上学期12月考试数学试卷（学生版）

这是一份重庆市部分校2025-2026学年高二上学期12月考试数学试卷（学生版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A B. C. 60°D.
2. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知椭圆 ，则该椭圆上的点到 的距离的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
4. 若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，，则点到直线的距离为（ ）
A. 3B. 2C. 5D.
6. 已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 某数学兴趣小组在研究对称问题时， 发现从某个角度观察篮球 (如图 1)， 可以得到一个对称的平面图形，如图 2 所示，篮球的外轮廓为圆 ，将篮球表面的缝合线看成坐标轴和双曲线.若双曲线与圆 的交点将圆 的周长四等分，且双曲线与圆 的直径 的交点将三等分，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知平面内两点，若在直线上存在点，满足，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目 要求，全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分．
9. 已知抛物线上两点为的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 若直线过点，则
C. 若为坐标原点，，则直线恒过定点
D. 若直线过点，则以线段为直径的圆与的准线相切
10. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在直线上
B 若，则
C 若，则
D 若，则直线
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 已知圆 ，直线 ，则直线 与圆 相交或相切
B. 若点 圆 外，则 或
C. 由动点 向圆 引两条切线 ，切点分别为,，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为
D. 设直线系 ，则 中存在两条直线的距离为 4
三、填空题:本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分．
12. 已知，以线段为直径的圆与圆相交于两点，则直线的方程为__________．
13. 已知正方体 的棱长为1，若则点到平面的距离为__________．
14. 已知椭圆 为坐标原点，直线与椭圆交于 两点， 点关于轴的对称点为 ,且 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且 ,则椭圆的离心率为__________．
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线，直线．
（1）当时，求直线的倾斜角的取值范围;
（2）当时，求实数值．
16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，分别为的中点．
（1）证明:平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知圆 经过 两点．
（1）若圆 的圆心在直线 上，求圆 的方程；
（2）已知点 ，当圆 的面积最小时，求过点 的切线方程．
18. 如图，在直四棱柱中，，是的中点，是线段上不与端点重合的动点．
（1）证明:;
（2）若点满足，且直线平面，求的值;
（3）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值．
19. 在平面直角坐标系中，椭圆是具有对称美和丰富几何性质的圆锥曲线，对于平面内的三点的面积.结合所学圆锥曲线知识完成下列问题:已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线与该椭圆相交于两点，．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）已知为椭圆上的两点，为坐标原点．
（i）若的面积为，证明：．
（ii）设直线的斜率分别为，且.若为椭圆上异于的动点，记的面积分别为，试探究是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．