重庆市第八中学2026届高三12月高考适应性月考卷（四）数学试卷含解析（word版）

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这是一份重庆市第八中学2026届高三12月高考适应性月考卷（四）数学试卷含解析（word版），文件包含重庆市第八中学校2026届高三12月月考数学试题与解析docx、重庆市第八中学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学答案pdf、重庆市第八中学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题含答案pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共25页，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知复数满足 ,则为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ,故 .
2.已知集合，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】集合 ,故 .
3.样本数据19,20,21,23,13,16,24,28的第 25 百分位数为
A. 16 B. 17C. 17.5 D. 20
【答案】C
【解析】根据题意,数据从小到大排列为13,16,19,20,21,23,24,28,由于 ,则该组数据的第 25 百分位数为 .
4.若 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 .
5.有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训,现要分配到三个不同的项目组: 项目需 1 人，项目和各需要 2 人. 分配方案数为 ,甲和乙被分配到同一项目的概率为 ,则的值分别为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 . 其中甲、乙分在 2 人组,有种,所以 .
6.已知数列是等比数列, ,则
A. B. C. -2 D. ±2
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为 ,两个式子相比,得 . 又由于同号,且相加小于 0,所以 .
7.已知抛物线的焦点为是抛物线上一动点, 为坐标原点, 在线段上,且满足 ,则直线的斜率的最大值为
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】因为 ,设 ,显然当时, ; 当时, ,要求直线的斜率的最大值,则 . 设 ,因为 ,所以 ,即 ,解得: 由于 ,则 ,故直线的斜率的最大值为 2.
8.为了更直观地探究事件之间的关系, 可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目, 即 ,其中为事件对应区域的面积, 表示样本空间. 图 1 中,事件与事件相互独立的是
A. ①② B. ①③C. ②③ D. ①②③
【答案】C
【解析】对于①:由题图知: 为的子集，所以，而为的真子集，则，所以 ,所以 ,因此①不正确；对于②:由图得 , 则 ,则有 ,所以图中事件相互独立,因此②正确; 对于 ③: 设图中的小的长方形的面积为 ,由 , ,所以 ,所以题图中事件相互独立,因此③正确.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知的最小正周期为 ,且将函数的图象向左平行移动个单位长度得到的图象,则下列说法正确的是
A.
B. 当时,函数
C. 若是函数的一个对称中心，则
D. 当时,函数在区间上单调递增,则的最大值为
【答案】ACD
【解析】A. ,又 ,故 A 选项正确; B. 当时,函数 , 将函数的图象向左平行移动个单位长度,则 ,故 B 选项错误; C. 将函数的图象向左平行移动个单位长度得到 ,若是函数的一个对称中心,则 ,故选项正确; D. 当时, 函数在区间上单调递增, 且，，故的最大值为 ,故选项正确.
10.设是一个随机试验中的两个事件,且 ,则
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于 ,所以 . 又由 ,故 A 正确; 对于 ,变形可得 , B 错误; 对于正确; 对于 ,则有 ,故 , D 正确.
11.已知函数 ,则下列说法正确的有
A. 对任意的均有两个零点
B. 若方程有两实根,则
C. 若正实数满足 ,则
D. 若 ,则
【答案】AC
【解析】对选项, ,即 ,故选项正确; 对于选项, ，由于，故，在和上单增，注意趋近于时, 趋近于从小于 0 一侧趋近于 0 时, 趋近于 1, 从大于 0 一侧趋近于 0 时, 趋近于趋近于时, 趋近于 ,故若方程有两实根, 选项错误; 对于选项,发现 ,又由于在上增,如果 ,则 ,则矛盾,故有 , 故，选项正确；对于选项，不妨令， ,由于在上增，当时, ,当时, , ,当时, ,故 D 选项错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且 ( 为实数)，则 ________.
【答案】
【解析】由夹角公式: ,又 , .
13.从数字1,2,3,4,5中不重复地选取组成五位数,若该数满足千位和十位上的数字均比各自相邻数字大(形如“低一高一低一高一低”)，则称其为“龙脉数”，则所组成的数是为“龙脉数” 的概率为_______.
【答案】
【解析】由1,2,3,4,5可构成不重复数字的个数有 ,记由1,2,3,4,5可构成不重复的 “龙脉数” 为事件 ,则包含的结果有①十位和千位数只能是 4,5 的结果有 ; ② 十位和千位数只能是 3,5 的结果有种由古典概率的计算公式可得, .
14.已知数列的前项和为 ,且满足则 ________.
【答案】350 或 357
【解析】(1)当为奇数时，，则，数列的项依次为， ,数列是周期为 3 的数列,所以 ; (2) 当为偶数时, ,则 ,数列的项依次为 , ,数列是首项为 8,从第 2 项起周期为 3 的数列,所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.记的内角的对边分别为，已知 .
(1)求；
(2)若，求 .
【解析】(1) ,
由正弦定理得: ，
在三角形内,有 .
又 .
(2)在中，由余弦定理，
得: .
又由条件可知代入上式有: ,
或 (舍负).
在中,由正弦定理得 ,
.
16.如图,在三棱柱中,侧面是正方形, 平面 ,点在线段上，点在线段上，满足平面 .
(1)若点是线段的中点，求线段的长度；
(2)若点是线段上靠近的三等分点，求平面与平面所成角的余弦值.
.
【解析】(1)如图，过作的垂线交于点，连接，
因为是线段的中点,所以是线段的中点.
又因为，所以平面即为平面 .
又平面平面 ,
且平面 | ,
所以 .
又为的中点，
所以是线段的中点,则 .
(2)由(1)问，当点是线段上靠近的三等分点时，
因为，则点是线段上靠近的三等分点.
又垂直于 ,则点是线段上靠近的三等分点.
根据题意可建系如图:
则 ,
所以 .
易知平面的法向量为 .
设平面的法向量为 ,
则取 ,
所以平面与平面所成角的余弦值为: .
17.已知双曲线的离心率为 ,点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)双曲线的右顶点为 ,过点的直线与双曲线交于两点不在轴
上). 若直线和分别与直线交于两点,证明: 以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.
【解析】
(1)解:由已知，设，，，则双曲线 .
又点在双曲线上,解得 ,
所以双曲线的标准方程为 .
(2)证明:设直线，
由得 ,
且 ,
所以 .
设直线 ,令 ,得 ,
同理可得 ,故 .
记以为直径的圆与轴交于两点,圆心为 ,
从而 ,
所以

所以为定值 .
18.已知函数 .
(1)讨论的单调性;
(2)证明:方程有两个根 ;
(3)在(2)的条件下，证明: .
【解析】(1)解: ,
令 ,则有或 ,
从而在上递增,在上递减,在上递增.
(2)证明:令，则 .
由( 1 )可知, 在上递增,在上递减,在上递增.
又 ,故 ,
由 ,则存在 ,有 ,
故存在两个零点和 .
(3)证明:由，则有 .
又由在上递增,
即证 .
先证 ,
令 ,
,即证 .
令 ,
,故在上递减.
又 ,则 ,得证;
再证 ,
令 ,
令 ,即证 ,
又 ,故在上递增,
故 ,由以上两方面可知, ,证毕 .
19.某工厂为监控生产线上的产品质量,设置了个等间隔的质量检测时间点,编号从 1 到 ,相邻时间点间隔为 1 小时. 每天质量监控部门会从这个时间点中随机选取若干个时间点 (至少选取一个) 去进行产品抽检,选取的抽检时间点中最小编号为 (最早抽检时间),最大编号为 (最晚抽检时间). 称为抽检时间跨度,是抽检方案设计中的关键参数,它反映了抽检在时间轴上的覆盖范围.
(1)当时,求 ;
(2)求和；
(3)求的表达式.
【解析】记个等间隔的质量检测的时间点为 ,则 ,每天选若干个时间点进行检测等价于考虑集合的非空子集.
(1)当时，，
所有抽检的结果为: .
从而的分布为:
因此 .
(2)所有抽检子集的总数为个，
: 表示最小编号不超过 2,即或 .
当时,这要求编号 2 在子集中,且编号 1 不在子集中,这样的子集数量有个, 从而有 ;
当时,这要求编号 1 在子集中,这样的子集数量有个,从而有 . 从而有 .
: 表示最大编号至少有 ,即或 .
当时,这要求编号在子集中,且编号不在子集中,这样的子集数量有个,
从而有 ;
当时,这要求编号在子集中,这样的子集数量有个,从而有 .
从而有 .
(3) :表示最小编号为，这要求在子集中，不在子集中，
这样的子集的个数有个,
因此 ,
所以 .
①,
②,
②-①相减得:
所以 ,
所以 .
由对称性可知 ,
所以 ,
即 .1
2
3