辽宁省大连市滨城高中联盟2026届高三上学期期中Ⅱ考试 数学试卷

这是一份辽宁省大连市滨城高中联盟2026届高三上学期期中Ⅱ考试 数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
2．设，是两个不同平面，m，n是两条不重合直线，若，，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量满足，且，设的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ）
A．B．C．D．
5．已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知为函数的导函数，则的值为（ ）
A．2B．C．0D．2025
7．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A．B．C．[3，5]D．
二、多选题
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．使为直角三角形的点P有8个
B．的面积可能为2
C．的最大值为4
D．的最小值为
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．已知，圆，过点作两条互相垂直的直线，分别交圆于点和，则四边形的面积的最大值为
D．直线与直线互相平行，则
11．在棱长为4的正方体中，是棱的中点，点在线段上，点在四边形（包含边）内，且平面，则（ ）
A．的最小值是
B．三棱锥的体积为定值
C．点的轨迹长度为
D．的最小值为
三、填空题
12．在平行六面体中，，，，，．则与所成角的余弦值为 ．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是 .
14．设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为 .
四、解答题
15．在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且.
(1)求角的大小；
(2)求及的面积.
16．已知椭圆的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过椭圆的右焦点，斜率存在且与轴不重合的直线交椭圆于、两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
17．已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若在内的最大值为2，求的值.
18．在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
19．对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”；
(2)对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性．
参考答案
1．A
【详解】由题可得，所以则的虚部为,
故选：A
2．A
【详解】由，，可以得到，，
若，，，不能得到，缺条件相交，
所以“”是“，”的充分不必要条件.
故选：A
3．D
【详解】由，则，
故，则，
故.
故选：D.
4．B
【详解】设函数的最小正周期为，
结合图象可知，
则，即，
且，则，解得，所以，
令，解得，
可知的一个对称中心为.
对于选项A：令，解得，故A错误；
对于选项B：令，解得，故B正确；
对于选项C：令，解得，故C错误；
对于选项D：令，解得，故D错误；
故选：B.
5．D
【详解】

边长为6的正三角形的内切圆半径为：，
所以正三棱柱的高为，
则外接球半径，
所以外接球的表面积为：，
故选：D.
6．B
【详解】由或，则函数的定义域为，
又，
所以，则，
综上，.
故选：B
7．B
【详解】由题可知：，圆心，半径，
又，是的中点，所以，
所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，
若直线上存在两点，使得恒成立，
则以为直径的圆要包括圆，
点到直线的距离为，
所以长度的最小值为，
故选：B．
8．B
【详解】由题意可得：
，
即是上的“完整函数”，所以存在，
使得成立；
即存在，使得成立；
又因为，因此，
即在上至少存在两个最大值点，
所以，解得；
当，即时，一定满足题意；
若，因为，，所以，
又易知；
所以只需保证即可，解得，
综上可知．
故选：B．
9．ACD
【详解】A：当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，
当为直角顶点时，设点，则，，，
所以，解得，
此时满足条件的点有个，所以满足是直角三角形的点有个，正确；
B：当P位于短轴端点时，不妨取上端点，则，
此时的面积最大，且为，
所以的面积最大为，不可能为2，错误；
C：由椭圆的定义得，所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为4，正确；
D：设，由题意，
所以，则，
因为P在椭圆上，所以，且，故，
所以当时，的最小值为，正确.
故选：ACD
10．ACD
【详解】选项A，直线可整理为，过定点，
计算过定点和线段端点的直线斜率：，，
因为直线与线段相交，斜率范围为，故A正确；
选项B，过点且截距相等的直线，除了，还有过原点的直线，截距都为，故B错误；
选项C，圆，半径，点到圆心距离，
设两条垂线的弦长分别为，由垂径定理：，且，
面积，当时等号成立，
所以，面积的最大值为，故C正确；
选项D，两直线平行的条件：，
即，解得或，
当时，，两直线重合，故，故D正确；
故选：ACD.
11．BCD
【详解】因为正方体中，，所以.
因为点在线段上，所以当为的中点时，
取最小值为，所以A错误.
因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
因为点是固定的，所以点到平面的距离确定，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积是定值，B正确.
分别取棱的中点，连接.
所以，.
又平面，而不在平面内，
所以平面，平面.
又，所以平面平面.
因为点在四边形（包含边）内，且平面，所以点的轨迹为线段.
因为分别是棱的中点，所以，C正确.
将平面与平面展开到同一平面，则，连接.
由题意可得，，
则，
当是线段与的交点时，，即的最小值为，D正确.
故选：BCD.
12．/0.1
【详解】以为基底向量，则，
因为，且，
则，且，
可得，
所以与所成角的余弦值为.
故答案为：.
13．/
【详解】依题意，直线经过椭圆的左焦点，且，
由，得，则，
因此，所以离心率.
故答案为：
14．（答案不唯一）
【详解】由，得，
令，则或，
当时，由，得，
所以，则，
当时，由，得，
由，得或，
当时，不存在极值点，
当时，得，
综上，，
所以当时，.
故答案为：（答案不唯一）.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得：
，再根据两角和的正弦公式展开得：
，
消去，整理得：，
，两边同除以得：，
由辅助角公式得：，
又，则，故，解得．
（2）由题意得：，
平方得：，化简得，
解得舍.
由余弦定理得：
的面积
16．(1)
(2)存在，且点
【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为.
（2）不妨设点到直线、的距离分别为、，
则，故，所以轴平分，
假设轴上是否存在点满足题设条件，
不妨设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
由题意可知，即
，
即，
故，解得，
故在轴上存在点，使得.
17．(1)单调递增区间为，，单调递减区间为.
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，
则，
当时，
令，解得：；令，解得：，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）
①当时，在内恒成立，在内单调递增，
则，解得与矛盾；
②当时，有，时；时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴，即，
令，则，
则在上单调递减，
又，故；
综上，.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）连接，因为点，分别为的中点，所以，
因为四边形为直角梯形，，，，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，所以，
又因为为等边三角形，点为的中点，所以，
又因为侧面平面，侧面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为，平面，所以平面；
（2）取的中点，连接，可得，
又平面，又平面，所以，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
则，
设平面的一个法向量为，
，令，则，
则平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
（3）设，则，
又，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的夹角为，
则，
令，，
则，
令，可得，
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
19．(1)见解析
(2)存在，
(3)严格单调递减
【详解】（1）由题意得，化简得
令则，，当时，取得最小值，
即时取得最小值，
又，所以点是M在的“最近点”.
（2）由题意得，.
令，，
所以在上单调递增，又，
所以，，，，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以时取得最小值，所以点，，，，
所以在处的切线方程为：.又，
所以存在点，它是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直；
（3）设,，
，，
若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，
设则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两个函数的定义域均为R，则也是两函数的极小值点，所以，
即
，由化简得，
即，因为，所以
接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，
即③，
④
得
即，所以，解得，
则，因为的任意性，则严格单调递减.