安徽省2025_2026学年高二数学上学期11月期中试题含解析

这是一份安徽省2025_2026学年高二数学上学期11月期中试题含解析，共24页。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解.
【详解】由直线，可得，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，其中，则，可得.
故选：B.
2. 圆心为，且经过点的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得所求圆的半径，进而求得圆的标准方程，得到答案.
【详解】由圆心为和点，可得圆的半径，
则圆的标准方程为．
故选：C.
3. 已知空间直角坐标系中的三点，则为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】应用模长公式计算求解得出等边三角形．
【详解】由题可得，
经计算，，所以是等边三角形．
故选：D.
4. 若直线与圆没有公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A. 点在圆上B. 点在圆外
C. 点在圆内D. 以上皆有可能
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系可得，从而确定点与圆的位置关系.
【详解】若直线与圆没有公共点，则直线与圆心的距离，即，
又点到圆圆心的距离为，因此点在圆内．
故选：C.
5. 已知，则在上的投影向量坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用投影向量公式结合数量积公式及模长公式计算求解.
【详解】由题意可得．
故选：A.
6. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线垂直得出系数关系计算求参.
【详解】两直线垂直，，即解得．
故选：A
7. 如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数.
【详解】以为空间向量的一组基底，
则
，
因为，则，
因为四点共面，所以，故．
故选：B.
8. 已知椭圆上两点关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的定义，结合，求得，即可求解.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，
不妨设，则，
因为，且，可知为矩形，
则，
又因为，
即，
可得，则，
在中，，
即，解得，
所以，则，
所以，解得，
故椭圆的离心率为．
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且不与轴重合，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的焦距为B. 的周长为
C. 的面积的最大值为D. 的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据标准方程得出得出焦距判断A，应用椭圆的定义得出周长判断B，应用几何特征得出面积判断C，因为点在椭圆上且不在轴上，则，判断D.
【详解】椭圆为：焦距，故A正确；
的周长为，故B正确；
的面积为，所以最大值为，故正确；
因为点在椭圆上且不在轴上，则，取值范围是，故D错误．
故选：ABC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的一个方向向量为
B. 圆的圆心为，半径为
C. “”是“直线与直线平行”的充要条件
D. 经过点的直线与以、为端点的线段总有公共点，则该直线斜率的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直线方向向量的定义可判断A；把一般方程转化为标准方程可判断B；根据两直线平行的条件可判断C；利用两点斜率公式求线段端点处斜率，数形结合确定斜率范围可判断D.
【详解】对于A，由于直线的一个方向向量为，则A正确；
对于B，把圆的一般式化成标准方程为圆心为，半径为，则B错误；
对于C，若两直线平行，则有，解得或，经检验均满足要求，
故充分性成立而必要性不成立，则C错误；

对于D，如图，直线过，斜率，所以，则D正确．
故选：AD
11. 在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点使得平面
B. 直线与平面所成角的正弦值范围是
C. 异面直线与间的距离为
D. 当时，点的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意得在三角形边界及其内部，以为坐标原点建立空间直角坐标系.用空间向量判断平面，即可得与平面的交点符合A选项；方法一：求出点到平面的距离，再根据线面角正弦值的定义即可求出其范围；方法二：用表示出，表示出直线与平面所成角的正弦值，结合的范围与二次函数性质求解即可判断B；用空间向量求解异面直线距离即可判断C；先得出点的轨迹是圆的一部分，再画出三角形求解出对应圆心角即可.
【详解】对A，由题可知，因为点在正方体内部，且，所以在三角形边界及其内部．
以为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系，
，
，，，
则，故平面，
则存在与平面的交点使得平面，故A正确；
对B，方法一：设点到平面的距离为，易知三角形为等边三角形，且边长为，
则，即，解得，
显然由图知点到内部的点（包括边界）距离最大值为，最小值为点到线段的垂线段距离，
则，即.
方法二：，，
，，
由于，则四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，所以平面
同理可得平面，
又因为平面，，
所以平面平面，
则取向量与共线为平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
由于在三角形边界及其内部，则，
令，
，
则对称轴，且开口向上，则由二次函数性质可得，
当时，，
则当时，
当时，，
则当时，，
则 ，故B错误；
对C，由题意可知，，
设，使得，
，令，解得，
设异面直线与的距离为，
则，故C正确；
对D，，
当时，，，
此时，即平面，则
，
则，点的轨迹是为圆心，半径为的圆的部分，
由于，则为三角形的重心，
如图2，正三角形边长为，取中点，可得，
则，则，
则点的轨迹长度为，故D选项正确.

故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知两条平行直线，则与间的距离为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由平行线间距离公式即可求解.
【详解】直线可化为，
所以与间的距离．
故答案为：
13. 如图，平行六面体的底面是正方形，，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用空间向量的基底运算，即可求解.
【详解】设．
，
，
.
故答案为：
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且，则___________；当点在半圆上运动时，点纵坐标的取值范围是___________．
【答案】 ①. 20 ②.
【解析】
【分析】先证明和推得、、三点共线，设与交于点，利用菱形的性质，结合图形计算即得；再设得计算得，，推出，结合的范围和正切函数的单调性即得答案.
【详解】如图，连接，
，同理则、、三点共线，
设与交于点，四边形是菱形，
则
，
；
设则记，
则，
，又，则，
，
，则，
故．
故答案为：20；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求出满足下列条件的直线方程：
（1）经过点，且与直线平行；
（2）经过点，且与直线垂直；
（3）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）设直线的斜率为，根据题意，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）设直线的斜率为，根据题意，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（3）解：设直线在轴截距为，在轴截距为，分和，两种情况讨论，分别求得的值，即可求解.
【小问1详解】
解：由直线的斜率，
设所求直线斜率为，因为所求直线与直线平行，所以，
又因为所求直线经过，所以，
即所求直线方程为.
【小问2详解】
解：由直线的斜率，
因两条直线垂直且斜率均存在，所以斜率之积为，
设所求直线的斜率为，可得，解得，
又因为所求直线经过点，可得，即直线方程为.
【小问3详解】
解：设直线在轴截距为，在轴截距为，
①当时，直线过原点，设方程，
因为直线过点，可得，此时在坐标轴截距都是0，绝对值相等，满足条件，
此时直线方程为；
②当时，则直线方程为且．
又所求直线过点，可得，
（i）若，代入得，解得，所以直线方程为；
（ii）若，代入得，解得，所以直线方程为.
综上所述，所求直线方程为或或.
16. 已知A、B两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线、的斜率之积是．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点的直线与曲线相交于、两点，且点平分线段，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设动点，表示出 、，代入 ，化简即可得结果；
（2）利用点差法求解.
【小问1详解】
设
，
，
由题意，，即，
化简得，.
【小问2详解】
设，因为点平分，
所以根据中点坐标公式，有.
、在轨迹上，，
由①-②得：，
将代入得，
根据点斜式方程，直线过点，斜率为2，
则直线，整理得，
经检验点在椭圆内，符合题意，
综上所述，直线的方程为：.
17. 如图，在等腰梯形中，，将沿边翻折，使点翻折到点，且．
（1）证明：；
（2）点在线段上，若平面与平面所成的角为，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过作交于，易证四边形是平行四边形，得是等边三角形，利用余弦定理求得，再由勾股定理证得，，利用线面垂直的判定定理得平面，得证；
（2）过点作平面，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式列式求解.
【小问1详解】
在等腰梯形中，，
过作交于，
四边形是平行四边形，则，
，，
是等边三角形，，
在中，，解得，
，所以，即，
在中，
又，平面平面，
平面，.
【小问2详解】
由（1）平面，平面，可得平面平面，
过点作平面，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，设．
则，
，
设平面法向量为，
则，则，
令，则，则.
又因为平面的一个法向量为，
所以，解得，
，即.
18. 已知直线，动点与两个定点的距离之比为．
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求出动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（3）若直线与动点的轨迹交于两点，当时，求直线的方程．
【答案】（1）证明见解析，；
（2），是圆心为，半径为2的圆；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）变形直线的方程，建立方程组求出定点坐标即可.
（2）根据给定的几何关系列出方程，化简即得的轨迹方程及对应的曲线.
（3）求出圆心到直线的距离，再按的斜率是否存在，结合点到直线距离公式求解.
【小问1详解】
直线的方程化为，
由，解得，
所以直线恒过定点.
【小问2详解】
设，依题意，，则，
整理得，即，
所以点的轨迹方程为，是圆心为，半径为2的圆.
【小问3详解】
直线过点，由，得圆心到直线距离，
圆心到直线的距离为1，因此直线的方程可以为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
于是，解得，此时直线方程为，
所以直线的方程为或.
19. 已知椭圆分别为椭圆的右顶点和上顶点，过椭圆上的一点M（异于点）且斜率为2的直线与直线交于点，直线与椭圆的另一个交点为N．
（1）求椭圆的方程；
（2）若M在第一象限，求四边形面积的最大值；
（3）证明：直线经过定点．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意直接得到、，从而求出椭圆方程；
（2）法一：分析可得关于直线对称，则四边形的面积，设，利用点到直线的距离表示，结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得；法二：点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大，设该切线方程为，联立直线与椭圆方程，根据求出的值，即可求出面积的最大值；
（3）法一：设直线的方程为，依题意可得，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，代入求出、的关系，即可求出直线过定点坐标；法二：设直线的斜率分别为，推导出，再设直线的方程为，联立、消元，列出韦达定理，求出、的关系；法三：设直线的方程为，把椭圆向左平移2个单位长度，齐次化，求出此时直线过定点坐标，即可得解.
【小问1详解】
由已知可得，所以椭圆的方程为．
【小问2详解】
解法一：因为，，所以，即，
因为，即关于直线对称，
所以四边形的面积，
即，且为M到直线的距离，
因为，所以的最大值即为点M到直线的距离的最大值．
直线的方程为，
设，则M到直线的距离为，
，
因为，所以，
所以，
所以当时，．
解法二：因为，所以，即，
因为，即关于直线对称，
所以四边形的面积，
即，且为M到直线的距离，
因为，所以的最大值即为点M到直线的距离的最大值．
直线的方程为，
若点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大，
设该切线方程，
联立，
，
因为点M在第一象限内，所以（正值舍去），
所以点M到直线的距离的最大值为，
，
当时，．
【小问3详解】
解法一：设直线的方程为，
点关于直线对称，则
又，且，
所以，，
即．
联立，
所以
所以，
化简得，
即，则或．
若，则点M与点A重合，不符合题意（舍）；
若，则直线过定点．
解法二：因为且，不妨取点M在第一象限，
所以为的平分线，所以，
设直线的斜率分别为，
因为，
所以，
即，
所以，即．
经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立．
联立整理得，
因为且，
所以，所以，
同理可得，
由已知可得直线斜率存在，设直线的方程为，
因为在直线上，所以，
所以，
同理可得，
所以是关于k的方程的两个根，
则
所以，
所以，
故直线过定点．
解法三：因为且，不妨取点M在第一象限，
所以为的平分线，所以，
设直线的斜率分别为，
因为，
所以，
即，
所以，即．①
经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立．
设直线的方程为，
把椭圆向左平移2个单位长度，得，
即，
联立，
即，即（等式两端同除），
所以是方程的两个根，由韦达定理得②
把②代入①得，
，则，解得
此时直线过定点，向右平移2个单位长度，得直线过点．