北京市中国人民大学附属中学高二上学期期末练习数学试题(II卷)（解析版）-A4

这是一份北京市中国人民大学附属中学高二上学期期末练习数学试题(II卷)（解析版）-A4，共9页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025年1月
说明：Ⅰ卷（海淀区期末练习）、Ⅱ卷合计150分，考试时间共120分钟．
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．
一、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填写在答题纸上的相应位置．）
1. 若对，直线与双曲线最多有一个公共点，则该曲线的渐近线方程为______，离心率为______．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】由已知条件和双曲线与直线的位置关系可知，该曲线的一条渐近线与该直线的斜率相等，故而可解空1；分别求出当双曲线的焦点在轴与轴上时，的值，再利用求得曲线的离心率，即可求解空2.
【详解】①因为对，直线与双曲线最多有一个公共点，
所以直线与双曲线的一条渐近线斜率相等，
因而可得该曲线的渐近线为；
②若双曲线的焦点在轴上，则可得，
则，所以该曲线的离心率为，
若双曲线的焦点在轴上，则可得，即，
则，所以该曲线的离心率为，
所以该曲线的离心率为或.
故答案为：，或.
2. 椭圆的焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于A，B两点，若，的面积为1，则该椭圆的焦距为______，的周长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定条件，求出椭圆半焦距即得焦距的值；利用椭圆对称性及已知列式求出，再利用椭圆定义求出三角形周长.
【详解】椭圆焦点在轴上，令半焦距为，则，
所以该椭圆的焦距为；
设点，而，则的面积，
解得，又直线过原点，且，由椭圆对称性知，
因此，解得，又，则，
整理得，而，于是，解得，
所以的周长为.
故答案为：；
3. 若直线l：与圆O：交于A，B两点，，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义确定范围，进而求出点到直线的距离的范围，再借助点到直线距离公式列式求出范围.
【详解】由，得，而，
则，圆心到直线的距离，
又直线交圆于两点，则，因此，解得或，
所以实数m的取值范围是.
故答案：
4. 已知曲线：，：，给出下列四个结论：
①曲线与且只1个公共点；
②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形；
③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形；
④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据曲线联立求根判断①，直线和曲线联立结合判别式判断④，根据点代入得出曲线的对称性判断②③即可.
【详解】因为曲线：，：，
对于①：因为，所以，化简得出或，即得出或（舍），
所以曲线与且只1个公共点，①正确；
对于②：把代入曲线：，：成立，
所以曲线与都是轴对称图形，②错误；
对于③：把代入曲线：，：都不成立，
曲线与都不关于原点成中心对称图形，③错误；
对于④：设为上一点（异于坐标原点O），所以，，
因为过点P作直线，所以，
因为，所以，
所以，
，
则l与有且只有1个公共点，④正确．
故答案为：①④.
二、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
5. 椭圆与双曲线有公共的焦点，，，抛物线的方程为，P为，，的一个公共点，若，则，，离心率的乘积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设椭圆方程为：，双曲线方程为：，过点分别向，及轴作垂线，垂足分别为,结合勾股定理确定的关系即可求解；
【详解】画出简图：
设椭圆方程为：，双曲线方程为：，
因为P为，，的一个公共点，
则，
联立可得：，
又抛物线的方程为，所以焦点坐标为：，准线方程为：，
过点分别向，及轴作垂线，垂足分别为,
则，
又，结合，
易得，
所以,
结合勾股定理：，及可得：
，
联立方程可得：，
所以，
由抛物线离心率为1，所以，，离心率的乘积为4，
故选：D
6. 已知，图形T的面积为S，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得，结合，可得x范围，据此可得点T范围，据此可得答案.
【详解】
.
当时，，则；
当时，，
则，
即当时，T所在区域为抛物线右侧，及左侧，如图区域I，II所示；（其中）
当时，，
则，
即当时，T所在区域为抛物线左侧，及右侧，如图区域IV，V所示；（其中）
由对称性，可知，则.
注意到，，
则；又，
取CD中点为G，则，则.
综上，，则选项B满足条件.
故选：B
7. 如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先通过斜杆与圆盘所成角以及斜杆与特定边的距离，求出渐近线与某一坐标轴的夹角，从而得到渐近线斜率，再根据双曲线标准方程中渐近线斜率与参数的关系，确定合适的双曲线方程.
【详解】已知斜杆与圆盘所成角为，那么斜杆与竖屏（即与竖屏所在平面）所成角为.
则渐近线与轴正方向夹角为，所以渐近线斜率，
双曲线的标准方程为：，可知，所以.
所以双曲线的方程为，
观察选项，只有满足.
故选：B
三、解答题（本大题共1小题，第，（Ⅰ）问6分，第，（Ⅱ）问6分，第，（Ⅲ）问3分，共15分．请将答案填写在答题纸上的相应位置．）
8. 已知正整数，，为的k元子集，记为非零向量，若的元素个数为，则称为的不重子集．
（1）已知集合，，，这三个集合中，集合______是的不重子集；若该集合新增m个元素后，仍为的不重子集，则m的最大值为______，此时新增的这m个元素为______；
（2）若为的不重子集，且，，求k的最大值；
（3）若为的不重子集，则k的最大值为______，直接在平面直角坐标系中给出一个使得k最大的的例子．
【答案】（1）B；2；，
（2）5 （3）8，图形见解析
【解析】
【分析】（1）根据不重子集的定义以及元素之间的不重复性即可得到答案.
（2）根据条件可判断不能存在两个点横坐标相同且纵坐标相同可得答案.
（3）根据不会出现两点之间的向量相等排除性的即可得到结果.
【小问1详解】
由题意得，根据题干得：若A为不重子集，则,
其所含的元素个数为4，不是，故A不是的不重子集.
若B为不重子集，则,故B是的不重子集；
若C为不重子集，则,元素个数为4，不等于6，故C不是的不重子集；
的最大值为2，证明如下：
如图，由题意已知点A,点B,点E已经在不重子集里，在从剩余的6个点里最多选择几个，
显然点C是不能选的，这样,若选择点Q，则剩余的点一定都不选，
会出现相等元素，此时；若选择点D，则点F，点H，点Q，点G不选
(若选G则有)，此时;若选点F,则点D，点G，点Q不选，
点H可选，此时；若选G点，剩余点都不选；若选H，同上，此时，
故m最大值为2，增加的两个元素为，.
【小问2详解】
k的最大值5，证明如下：
由题意知，中点横、纵坐标均只有5种取值．
一方面，若，由抽屉原理知，中必存在两个横坐标相同点A，B，两个纵坐标相同的点C，D，
则，且，矛盾.另一方面，可以构造的满足题意的不重子集.
【小问3详解】
k的最大值为8，可以构造的不重子集．
根据向量不相等可排除性的选点，得到如下图所示，最大值为8.