北京市一六六中学高二下学期期中数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市一六六中学高二下学期期中数学试卷（解析版）-A4，共18页。
班级：______姓名：______
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数解析式得集合，再应用集合的交运算求结果.
【详解】由题设，而，可得.
故选：C
2. 已知，且，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的性质及相关指数函数、幂函数的单调性判断各项的正误.
【详解】若时，、都不成立，即A、C错；
若，有，D错；
对于在R上单调递增，且，故，B对.
故选：B
3. 二项式的展开式中的常数项是（ ）
A. 160B. C. 20D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用展开式的通项求常数项即可.
【详解】的展开式的通项为，
令，得，
所以展开式的常数项为.
故选：B.
4. 设函数，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】对函数求导，令求自变量，结合导数的定义确定.
【详解】由题设，令，
又，
所以.
故选：B
5. 若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数复合函数的图象得到，结合指数函数的性质确定大致图象，即可得.
【详解】由解析式知，结合图知，故，
对于，其在R上单调递增且值域为，结合各项的图知A符合.
故选：A
6. 已知函数在区间上单调递增，则实数值可以为（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，将函数在区间上单调递增，转化成在上恒成立，利用分离参数法结合函数单调性求出最值即可得到的取值范围.
详解】由题意，函数求导可得，
因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，
即，分离参数可得，
因为函数在上单调递减，所以，则.
故选：D.
7. “”是“不等式在上恒成立”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】对于，可化为恒成立，
由，当且仅当时取等号，故，
所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
8. 由四名员工负责五月一日和五月二日某单位的白天值守工作.每天从这四人中任选两人值班，则恰好有一人这两天都在单位值守的安排方案的种数是（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】先从四人中选一个人两天都值班，再从剩下的三人中选两人每人值班一天即可.
【详解】先从四人中选一个人两天都值班，有种，
再从剩下的三人中选两人每人值班一天，有种，
所以恰好有一人这两天都在单位值守的安排方案的种数是种.
故选：C.
9. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据已知面积关系可得，即可求解.
【详解】如下图示，若的面积是面积的2倍，则，
由题设知，且，故，
所以.
故选：D
10. 进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ）
A. 采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B. 采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为
C. 发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D. 当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
【答案】C
【解析】
【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式依次求出各项中对应事件的概率，即可得.
【详解】A：由题意，发送0时，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为，
所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，错；
B：发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为，
采用三次传输方案，发送数码0，译码为0的情况有、、、，
对应概率依次为、、、，故所求概率为，错；
C：由B分析，三重传输时，发送数码0，译码为0的概率为，
单次传输时，发送数码0，译码为0的概率为，
所以，
又，则，即三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率，对；
D：单次传输时，发送0，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为，
三重传输时，发送0，收到0的概率为，发送1，收到1的概率为，
所以时，译码正确的概率与传输数码内容无关，结合C分析，显然或1时，译码正确的概率才与传输方案无关，错.
故选：C
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 动点在圆上运动，则点到轴的最近距离是______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据已知有圆心且半径为，动点到轴的最近距离，即可得.
【详解】由题设，故圆心且半径为，
所以动点到轴的最近距离是.
故答案为：2
12. 双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为______
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的焦点位置、渐近线和焦距确定双曲线参数，即可得.
【详解】由题设，若，则渐近线有，故，且，
所以，则，可得，故双曲线方程为.
故答案为：
13. 李红同学想到一个命题：“设函数的定义域为区间，若导函数在区间上单调递增，则函数在区间上也单调递增”.王正同学想举反例说明这个命题是假命题，但又苦于找不到合适的函数，你能找到一个函数作为反例吗？
答：______.（写出一个具体的函数解析式）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】写出一个基本函数解析式，结合其导函数判断是否符合题设命题的描述，即可得.
【详解】如，则在R上单调递增，但在R上不单调，
说明导函数在区间上单调递增，则函数在区间上也单调递增为假命题.
故答案为：（答案不唯一）
14. 现有5名教师带领3个兴趣小组（生物、人文、经济）外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至少一人至多两人，张老师是年轻教师，学校要求他不能单独带队，不同的教师带队方案有______种.（用数字作答）
【答案】72
【解析】
【分析】教师人数的安排为2,2,1，先安排张老师，选择1人和张老师为一组，并安排一个兴趣小组，然后再考虑其他3人，结合排列组合知识进行求解.
【详解】教师人数的安排为2,2,1，
先从除张老师剩余的4名教师中选择1人和张老师为一组，有种，
再从3个兴趣小组中选择1个安排给张老师这组，有种，
再将剩余3人分为2组，安排到另外2个兴趣小组，有种，
综上，不同的教师带队方案有种.
故答案为：72
15. 已知函数，.
（1）时，函数的最小值为______
（2）设函数的值域为，若，则实数的取值范围是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用导数研究函数单调性求最小值，根据题设有，且在上，讨论、比较相关函数值大小即可得参数范围.
【详解】由题设f(x)=exx,x>0xex,x≤0，则f′(x)=(x−1)exx2,x>0(x+1)ex,x≤0，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
时，，，，或时，
所以的最小值为，
显然时，不符合，所以，
此时，在时恒成立，所以上单调递减，
且时，所以在上，
要使，
当时，，而在上，不符合；
当时，，显然，满足题设，
综上，.
故答案为：；.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 长方体中，为棱的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接，利用三角形相似得，由长方体结构特征及线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证明结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问1详解】
连接，根据长方体的结构特征易知，即四点共面，
所以平面即为平面，
由为棱的中点，，，，则，
所以，且，则，
所以，则，
而平面，平面，则，
由都在平面内，则平面，即平面；
【小问2详解】
由题设，可构建如图示的空间直角坐标系，则，
由（1）知平面的一个法向量为，
又，，若是平面的一个法向量，
所以，取，则，
所以，即所求两个平面夹角的余弦值为.
17. 设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）求函数在区间上的最大值
【答案】（1）；
（2）极大值为，极小值为；
（3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究单调性，即可得极值；
（3）由题设有，，再讨论、确定对应最大值.
【小问1详解】
由题设，则，且，
所以曲线在点处的切线方程，则；
【小问2详解】
由（1）有，
或时，，则在、上单调递增，
时，，则在上单调递减，
所以函数极大值为，极小值为.
【小问3详解】
在区间上，，显然，
若，则，此时的最大值为0；
若，则，此时的最大值为.
18. 一个不透明的袋子中有若干个除颜色以外完全相同的小球，白球有个，黑球有个，其余个球均为红球.
（1）设，，，小杨同学每次从袋中随机取一个球记录颜色后放回袋中，如此这般共取三次，求记录中恰好有两次白色的概率；
（2）设，，，小衡同学从袋中随机抽取两个球，设这两个球中黑球的个数为，求的分布列与期望；
（3）设，，，小石同学从袋中随机抽取三个球，设事件为“三个球的颜色都相同”，设事件为“三个球的颜色各不相同”，请比较事件与事件发生概率的大小关系.（直接写出结果即可）
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）应用二项分布的概率求法求概率；
（2）首先确定随机变量的可能取值，再应用超几何分布的概率求法求对应概率，即可得分布列和期望；
（3）由古典概型的概率、超几何分布概率分布求出A、B事件的概率，即可得比较大小.
【小问1详解】
由题设，白球有6个，黑球有4个，每次取到白球的概率为，
所以取到白球的次数，
故恰好有两次白色的概率.
【小问2详解】
同（1）前提，随机抽取两个球，黑球的个数为可能为，
所以，，，
故分布列如下：
所以期望.
【小问3详解】
由题设，取到三个相同颜色球的概率，
取到三个球颜色各不相同的概率，
所以.
19. 设，函数，.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）求证：当时，不等式区间上恒成立；
（3）时，直线是否有可能为曲线的切线，请说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）可能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先设，求其导数，再根据取值不同，分析正负，从而确定单调区间.
（2）当时，设，求导数，判断上正负，确定单调性，求出最小值，若最小值大于等于，则不等式恒成立.
（3）假设是切线，设出切点，根据切线斜率和切点在切线上、曲线上列方程，求解方程，若有解则可能是切线.
【小问1详解】
设，其定义域为.
对求导得：
.
当时，
令，即，因为，所以，解得；
令，解得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，.
令，即，解得或；
令，解得.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
当时，，所以在上单调递增.
当时，.
令，即，解得或；
令，解得.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
当时，设，.
对求导得：.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
，.
.
所以，即，所以在区间上恒成立.
【小问3详解】
假设直线是曲线的切线，设切点为.
，则切线斜率 ①，
且 ②.
由①得，即，解得或.
当时，代入②得，此方程无解.
当时，代入②得，即.
设，，对求导得：
.
令，对求导得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
，所以，在上单调递减.
又，，所以存在唯一的，使得.
所以当时，直线有可能为曲线的切线.
20. 已知抛物线：上有一点，直线：.
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上任取一点（异于点），已知直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点.证明：直线与直线交于定点.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由点在抛物线上，代入坐标求参数即可得抛物线方程；
（2）令且，得到直线，进而依次求出坐标，再写出直线，代入化简求交点横坐标，即可证.
【小问1详解】
由题设，将点代入抛物线有，则；
【小问2详解】
由题设，令且，则，故，
联立，可得，，
将代入抛物线得，则，
所以，
令，则，整理得，
所以直线与直线交于定点.
21. 对于数列，记，其中表示这个数中最大的数，并称数列是的“控制数列”，如数列的“控制数列”是.
（1）若各项均为正整数的数列的“控制数列”为，写出所有的；
（2）设.
（i）当时，证明：存在正整数，使得是等差数列；
（ii）当时，求的值(结果可含).
【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根据题中所给定义进行求解即可；
（2）（i）根据二次函数的性质，结合题中所给的定义、等差数列的定义进行证明即可；
（ii）根据二次函数的性质，结合题中所给的定义分类讨论进行求解即可.
【详解】解析：（1）；
（2）（i）当的对称轴，
故当时单调递增，由于，
故当时有，由于是等差数列，
故存在正整数，使得是等差数列；
（ii）的对称轴，由于；
①当时，此时最大；
由于，故，
故
②当时，，
故
③当时，；
，，
故
④当时，，，故，
⑤当时，开口向上，对称轴，故单调递增，
故，
则
综上所述，.
【点睛】关键点睛：理解题中所给的定义，结合二次函数的性质进行求解是解题的关键.
考查目标
知识：集合，函数，三角函数与解三角形，导数及其应用.数列，平面向量与复数，平面解析几何，立体几何，排列组合与二项式定理，概率统计.
能力：数学抽象概括；逻辑推理论证；数学建模应用；直观想象，数学运算；数据分析；空间想象能力.
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