安徽省2026届高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份安徽省2026届高三数学上学期10月月考试题含解析，共17页。试卷主要包含了 设，则， 如图为函数的图象，则的图象是， 已知，且，则， 已知函数的极小值点为，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定可解.
【详解】命题“”的否定是：.
故选：D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解分式不等式，再由交集运算得解.
【详解】因为，，
所以，
故选：C
3. 已知偶函数的图象过点，则（ ）
A. -3B. -2C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的图象过点，可得或.代入检验即可求解.
【详解】∵函数的图象过点，∴，解得或.
当时，，是偶函数，符合题意；
当时，，是奇函数，不符合题意，舍去.
综上，.
故选：C.
4. 已知函数与的图象在处的切线重合，则（ ）
A. B. eC. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切点处斜率相等，切点的纵坐标相等，列出方程求解即可.
【详解】由，，
所以切线斜率，
又，
解得，
所以.
故选：A
5. 设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先证是有三个不同的零点的必要条件，再举特例说明不是有三个不同的零点的充分条件.
【详解】由题意可知：的定义域为，则，
若有三个不同的零点，则必会有两个极值点，
可知有两个不同的根，
则，解得，即必要性成立；
例如，满足，
则，此时只有两个不同的零点，即充分性不成立；
所以“”是“有三个不同的零点”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数单调性计算判断，再结合基本不等式及对数运算判断.
【详解】，则，
因为，所以且不能取等号，
所以，
所以，所以，
所以.
故选：A.
7. 如图为函数的图象，则的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用特殊值排除法可得答案.
【详解】当时，则，
由函数图象，时，
所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C.
故选：D.
8. 已知实数a，b，c满足，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】灵活应用基本不等式即可求解.
【详解】由基本不等式可得 ： ，
当且仅当 时等号成立，可取 ，
所以 的最大值为 2 ．
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质对各个选项逐一验证即可求解.
【详解】对于 A ，由 ，得 ，所以 ，故 A 错误；
对于 B，由 ，得 ，故 B 正确；
对于 C ，由 ，得 ，当 时， ，故 C 错误；
对于 D，由 ，可得 ，得 ，故 D 正确．
故选：BD.
10. 已知函数的极小值点为，则（ ）
A. B. 在上单调递增
C. 当时，D. 当时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意结合极值点可得或，并代入结合单调性检验，即可判断AB；根据题意结合函数单调性求函数值的取值范围即可判断C；利用作差法判断D.
【详解】因为函数的定义域为，且，
若函数的极小值点为，则，解得或，
若，则，
令，解得或；令，解得；
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极大值点，不合题意；
若，则，
令，解得或；令，解得；
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极小值点，符合题意；
综上所述：，且在上单调递增，故A错误，B正确；
对于选项C：因为，令，
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，且，
可得，即，故C正确；
对于选项D：因为，
若，则，
可得，所以，故D正确；
故选：BCD.
11. 已知函数的定义域为，满足，且，则（ ）
A. B.
C. 是偶函数D. 是奇函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】分别赋值可求出，判断AB，利用换元法求出的解析式，根据奇偶函数定义判断CD.
【详解】令，代入可得，解得或；
若，代入，可得，即，
而，矛盾，故，
令，则，即，
由可知，故A正确；
令，，代入，可得，即，故B正确；
再令，则，即，
令，则，所以，即，
令，则，所以不是偶函数，故C错误；
令，则定义域为，且，所以为奇函数，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 定义集合与的差集为，且，已知集合，，若，则实数的取值范围是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得集合P，根据差集的定义及得，根据包含关系，列出不等式组，即可得答案.
【详解】由，解得，即集合，
由差集的定义及得，
所以，解得，则实数的取值范围是.
故答案为：
13. 若函数且的图象关于直线对称，则的最大值为_______________.
【答案】4
【解析】
【分析】先求出过点，所以也过点，解得，则，，由基本不等式求出最大值.
【详解】由，且过点，
函数的图象关于直线对称，故也过点，故，
解得，则，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：4
14. 已知函数存在零点，则的最小值为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据的几何意义，将函数在上有零点的问题，转化成原点到直线的距离，一定小于等于点到原点的距离问题，再通过构造函数，借助导数，求出在上的最小值，即可求出的最小值.
【详解】函数的定义域为.
设是在上的零点，
可得，即，
即点在直线上.
可理解为点到原点的距离的平方.
所以原点到直线的距离一定小于等于点到原点的距离，
即在上能成立，
即在上能成立.
令，，则，
因为，，，所以，
所以在上单调递增，
所以当时，，
即最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）判断在上的单调性，并求其在上的最大值与最小值；
（2）若对任意的，总存在，满足，求的取值范围.
【答案】（1）在上单调递增；最大值为，最小值为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分离常数可得，并利用不等式的性质以及单调性的定义证明，结合单调性分析最值；
（2）根据的单调性以及存在性问题可得，再结合对勾函数性质以及恒成立问题分析求解.
【小问1详解】
因为，可知在上单调递增，
证明如下：任取，且，则，
可得，即，则，
即，可知函数在上单调递增，
所以在上的最大值为，最小值为.
【小问2详解】
若存在，满足，则，
因为函数在上单调递增，则，
可得对任意，满足，得恒成立，
又因为函数在单调递减，在单调递增，
且，可知的最大值为5，即，解得，
所以实数的取值范围.
16. 为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个.
（1）求a，k的值；
（2）根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份.
【答案】（1）.
（2）2032年
【解析】
【分析】（1）由题可知：当时，；当时，.代入函数关系式可求得a，k的值；
（2）由题意得，.解出.列出对应的方程，并求解，可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份.
【小问1详解】
由题可知：当时，；当时，.
所以，解得：.
所以
【小问2详解】
因为函数（a，k，m，n为非零常数）的图象为连续的曲线，所以
由题可知：当时，；所以.
由，得
令，则，即.
所以，所以.
因为.
故可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份为2032年.
17. 已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）的极小值为，无极大值；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先将代入得到，再求，利用导数法求出的增减性，利用增减性得到的极值；
（2）根据得到，构造函数，则在上恒成立.利用导数求出的单调性，求导，设，通过讨论的判别式和对称轴，来得到满足的的取值范围即可.
【小问1详解】
，，，，
当时，，在上是单调递增函数；
当时，，在上是单调递减函数；
则在处取极小值为，无极大值.
故的极小值为，无极大值.
【小问2详解】
当时，，，，，，
设，则在上恒成立.
，
设，对称轴为，
当，即时，，，在上单调递增，，满足条件.
当，即或时，
若，的对称轴为，，，，在上单调递增，，满足条件.
若，，存，使得，当时，，，在上单调递减，，不满足条件.
综上，实数的取值范围是.
18. 已知函数．
（1）当时，证明：有且仅有一个零点；
（2）若曲线与相切．
（ⅰ）求a；
（ⅱ）当时，证明：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据已知，根据其单调性结合零点存在性定理，即可证；
（2）（i）利用导数几何意义求切线方程，由切线重合列方程求参数；（ii）设并应用导数研究函数值符号，即可证.
【小问1详解】
当时，，显然是增函数，
而，故在区间上有零点，
结合的单调性可知，在R上有且仅有一个零点．
【小问2详解】
（ⅰ）不妨记切点为，则，
由，
故切线方程为，
即，
令其与重合，故，
则，
若，显然有，这与题设条件矛盾，
若，由可知二者不在处相切，矛盾，
故，于是，经验证符合题意，
综上，；
（ⅱ）设，则，
由可知，设，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，故，
于是．
19. 已知函数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）；
（2）； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数工具结合三角函数性质研究得出函数单调性即可求解；
（2）先求导，结合题意分和两种情况分析函数单调性情况即可求解；
（3）借助（1）函数在上单调递增得到时，接着由结合累加法、等比数列前n项和公式即可得证左边；借助（2）得到时是上的单调递减函数得，令结合累加法等比数列前n项和公式即可得证右边，综合即可得证.
【小问1详解】
当时，函数，
则.
当时，当且仅当时，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上的最大值为.
【小问2详解】
由题，
则，
，当且仅当时等号成立，
当时，，
此时恒成立，当且仅当时等号成立，
所以是上的单调递减函数，符合题意；
当 时，，故要使是上的单调递减函数，
则恒成立，即恒成立，
所以.
综上，满足题意的实数的取值范围为.
【小问3详解】
先证明左边：
由（1）知当时，函数在上单调递增，
所以当时，即，
又，所以，
所以累加得.
再证明右边：
由（2）知时是上的单调递减函数，
所以当时，即，
令，累加得，
所以，
所以，
综上，.