安徽省2025_2026学年高二数学上学期期中联考B试题含解析

这是一份安徽省2025_2026学年高二数学上学期期中联考B试题含解析，共17页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0， 若点是点在平面内的射影，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集运算的定义，即可求得答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：C
2. 椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆方程先写出标准方程，然后根据标准方程写出便可得到离心率.
【详解】解：由题意得：
，
，
故选：D
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用零点存在原理，结合函数的单调性逐一判断即可
【详解】易知函数的定义域为全体正实数集，
由函数的单调性的性质可以判断该函数是正实数集上的增函数，
，
显然，因此函数的零点所在的区间是，
故选：C
4. 双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由渐近线方程可得，结合双曲线中，求解即可.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以离心率为.
故选：A.
5. 若点是点在平面内的射影，则（ ）
A. （0,2,3）B. （1,0,0）C. （1,0,3）D. （1,2,0）
【答案】A
【解析】
【分析】根据竖、纵坐标不变，横坐标为，从而可求出射影坐标，可得解.
【详解】空间直角坐标系中，
点在平面内的射影，竖、纵坐标不变，横坐标为，
则点坐标为.
即
故选：A
6. 直线向左平移3个单位后，得到直线，若与的距离为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线的方程为，求出平移后直线的方法，利用平行线之间的距离可计算原直线的斜率．
【详解】由题可知直线斜率存在，设直线的方程为，即，
向左平移3个单位后，得到直线，
即，
所以两条直线间的距离，解得．
故选：B．
7. 已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆外一点与圆上点的距离的最大值为圆外点与圆心的距离加半径，最小值为圆外点与圆心的距离减半径，从而计算即可求出结果．
【详解】由题知圆心，半径，
又，
所以．
故选：C．
8. 设直角坐标平面中任意两点，，记.已知点，点在直线上，则的最小值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，代入得，利用绝对值函数分段，结合函数单调性可得结果.
【详解】解：，点为直线上动点，
设，则，
则，
又，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，取得最小值，
即的最小值是．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在庆祝抗日战争胜利周年的演讲比赛中，共有位评委分别给出某选手的原始评分（假设各位评委打分均不相同），评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分.个有效评分与个原始评分相比，可能变化的数字特征是（ ）
A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差
【答案】BCD
【解析】
【分析】设位评委评分按从小到大排列为，结合中位数、平均数、方差、极差的概念逐项判断即可.
【详解】设位评委评分按从小到大排列为，
去掉一个最高分和最低分后，剩余，
原始中位数为，去掉最低分和最高分后，中位数仍为，则中位数不变；
原始平均数，后来平均数，
平均数受极端值影响较大，所以与不一定相同，则平均数可能改变；
原始方差为，
新数据的方差为，
方差受极端值影响较大，所以与不一定相同，则方差可能改变；
原极差为，新极差为，
因为，则，又因为，由不等式的性质可得，则极差可能改变.
故选：BCD.
10. 已知圆方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B. 若已知圆内，则
C. 若，则直线与圆相离
D. 若，圆关于直线对称的圆方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可.
【详解】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，当，时圆C方程为，
此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误；
对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2，
设圆D的方程为，由，
对称圆D方程为即，故D正确.
故选：BD.
11. 已知点在双曲线的右支上，，分别为其左、右焦点，则（ ）
A.
B. 有最大值3
C. 若点，则周长的最小值为12
D. 的内心到轴的距离为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据焦点坐标及a，b，c的关系，可求得b值，即可判断A的正误；根据双曲线定义及的范围，化简整理，即可判断B的正误；因为，代入周长表达式，化简计算，即可判断C的正误；根据内切圆的性质及题中数据，分析计算可得，焦点三角形内切圆与轴切于右顶点，分析即可得判断D的正误.
【详解】选项A：由右焦点坐标可知，且，则，
所以，故A正确；
选项B：因为点是双曲线右支上一点，由双曲线的定义知：，
所以，
因为 ，即，
所以有最大值2；故B错误；
选项C：因为，
所以，故C正确；
选项D：由双曲线方程知，设三角形内切圆与三边的切点分别为M，B，C，如图，
由几何关系可得，，，
所以，
又，所以，
所以，即点在双曲线右支上时，焦点三角形内切圆与轴切于右顶点.
又因为轴，所以到轴的距离为1，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线的准线方程为，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据准线方程，求出p值，即可得答案.
【详解】根据准线方程为，故，所以.
故答案为：
13. 已知三个圆、圆、圆两两外切，半径分别为3，4，5，则的内切圆半径为_____.
【答案】
【解析】
【分析】数形结合，根据圆和圆外切得到三角形三边长，利用等面积法求出三角形内切圆半径.
【详解】
由题意，的三边长分别为，设内切圆半径为，则.
根据余弦定理，，则，
，.
故答案为：.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在上，且，，则的离心率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】设求得相关线段长度，中根据勾股定理求得，再根据中勾股定理进行计算.
【详解】设则
又，则
又，则,
则中,，
解得，
所以，
中，
化简为，所以，
故答案为：
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，，，.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数的偶函数，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由，可求得，结合对数函数的性质可求函数的定义域；
（2）利用奇偶性的定义判断即可；
（3）由题意可得，求解即可.
【小问1详解】
因为函数，，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，所以，
由，解得，
所以函数的定义域为；
【小问2详解】
函数的偶函数，理由如下：
由（1）知定义域关于原点对称，
又，
所以函数的偶函数；
【小问3详解】
由，可得，即，
所以，
所以，解得，
又函数的定义域为，所以的取值范围.
16. 如图，为等边三角形，和都垂直平面，且，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求该几何体的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证平面平面，需先证一个平面内有直线垂直于另一个平面，取 AB 中点G构造出平行四边形FGCD，得到，再根据等边三角形性质及线面垂直性质证得平面，从而推出平面平面.
（2）该几何体的体积为一个四棱锥，求体积利用线面垂直的判定定理得到与底面垂直的直线，即为四棱锥的高，最后利用锥体的体积公式求解.
【小问1详解】
如图，取中点,连接，所以在等边三角形中有，
因为是的中点，是中点，所以；
因为平面，所以平面；
又因为平面，所以；
又因为，所以,所以且.
所以四边形是平行四边形，所以.
因为是中点，所以在等边三角形中；
又因为平面，平面，所以;
因为,平面，所以平面；
因为，所以平面；
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
如图，取中点，连接,所以在等边三角形中有，且；
又因平面，平面，所以;
又因为平面，所以平面；
所以为四棱锥的高；
所以四棱锥的体积为 .
17. 已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点且与交于两点，的面积为2，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由题设，令，圆的方程为，根据点在圆上列方程求参数，即可得圆的方程；
（2）设点到直线的距离为，根据面积可得，再设直线，且与直线距离为，求出直线方程，再求直线与圆的交点即可．
【小问1详解】
由题设，令，圆的方程为，
则，可得，故，
所以圆C的标准方程.
【小问2详解】
由（1）知圆心，半径，，
设点到直线的距离为，
，解得，
又，即，
则可设过点与平行的直线，且与直线距离为，
，解得或，
当时，直线，即，
代入圆C得到，解得或，
所以或，
当时，直线，此时直线与圆相离，
综上，或．
18. 已知点在抛物线上，直线与抛物线交于A，B两点.
（1）求的方程；
（2）设直线与的斜率分别为，，.
①证明：直线的斜率为定值；
②若的面积为6，求所在直线方程.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析（ii）， 或，或
【解析】
【分析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）①根据直线斜率公式进行运算证明即可；
②根据抛物线弦长公式，结合点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为点在抛物线上，所以，
所以抛物线的方程为；
【小问2详解】
①设，，，，
所以，
同理可得
因为，所以，
因为，
所以直线的斜率为定值；
②因为直线斜率为定值，故设所在直线方程为，
联立方程消掉得，
设，，所以，，
，
点的直线的距离，
所以，
得，故，，
所以直线的方程为，或，或.

19. 已知椭圆的离心率，且过点.设A，B为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于的动点，连结并延长交直线于点，连接并延长交直线于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）探究以为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）求线段长度的最小值.
【答案】（1）
（2）过定点，定点为与
（3）
【解析】
【分析】（1）根据离心率可得a，c关系，代入点坐标，联立可求得，，即可得答案.
（2）法1：设，已知，，可得直线、斜率，根据椭圆方程，可得，设出直线、的方程，即可求得M、N点坐标，即可得以为直径圆的方程，分析即可得答案；法2：已知，，设，可得直线、的方程，即可求得M、N点坐标，即可得以为直径圆的方程，化简整理，分析即可得答案；
（3）由（2）知，根据基本不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
由已知可得，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
法1：设，已知，，
所以直线斜率为；直线斜率为，
所以，
又因为，所以，
设直线方程为，则直线的方程为，
所以，，
则以为直径圆的方程为，
令，可得
所以该圆恒过定点与.
法2：已知，，设，
由为椭圆上的点，可得即，
直线的方程为，令得：，
同理得：，
所以以为直径的圆的方程为，
即
由化简，
，
所以以为直径圆的方程为，
令，可得
所以该圆恒过定点与.
【小问3详解】
（3）由（2）知，
由对称性可设，所以，
当且仅当时等号成立，
所以长度的最小值为.