江西省九江市第一中学2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题

这是一份江西省九江市第一中学2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接．若，则菱形的周长是（ ）
A．6B．12C．18D．24
3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．关于的方程有实数根，则满足（ ）
A．B．且C．且D．
5．如图，在矩形中，点E为上一点，连接，将沿折叠，使得点B的对应点恰好落在对角线上，若，，则的周长为（ ）
A．3B．5C．12D．16
6．如图，正方形的边长为4，点O是对角线的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接，，．在此运动过程中，下列结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④当时，，其中正确的结论个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
7．若一元二次方程的一个根为，则k的值为 ．
8．在四边形中，已知，，要使四边形成为一个矩形，还需添加的一个条件可以是 ．
9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最小正整数值是 ．
10．在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有 人．
11．如图，四边形为菱形，，延长到点E，在内作射线，使得．过点D作，垂足为F．若，则的长为 ．

12．如图，在长方形中，，．延长到点E，使，连结．动点P从点B出发，沿以每秒1个单位的速度向终点E运动，当运动时间t为 时，是等腰三角形．
三、解答题
13．解下列方程：
(1)；
(2)．
14． 如图，已知为矩形对角线的交点，过点作，过点作，且、相交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
15．如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作中点G；
(2)在图2的边上找点，使得．
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值．
17．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？
18．如图，四边形是平行四边形，、相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形是菱形，，，分别求，的长．
19．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根满足，求k的值
20．为增加单位绿地面积，某单位要建一个矩形花圃，如图1，花圃一面用墙（墙长），其余三面用篱笆围成，篱笆总长．

(1)若花圃的面积为，求的长；
(2)如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，围成的花圃面积能达到吗？如果能求的长；如果不能，请说明理由．
21．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．

(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接．
①当为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
22．关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点．
(1) （填是或否）存在“”点；
(2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值；
(3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
23．如图，正方形，点、分别在、上．
(1)如图1，当时．
①求证：；
②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；
(2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长．
《江西省九江市第一中学2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题》参考答案
1．A
【分析】本题考查一元二次方程的判断，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程．据此进行分析即可．
【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；
B．该方程不是整式方程，则该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．若，则是一元二次方程；若，则不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D．该方程未知数最高次数是，则该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，根据菱形对角线互相垂直，四条边相等得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，据此根据菱形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，
∴，，
∵是的中点，，
∴，
∴菱形的周长是，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
移项得，
，
∴，
故选：B
4．A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有实数根得出判别式是解题关键．注意分类讨论，避免漏解．关于的方程有实数根，那么分两种情况：①当时，方程一定有实数根；②当时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出的取值范围．
【详解】解：分类讨论：
①当，即时，方程变为，此时方程为一元一次方程，一定有实数根；
②当，即时，此时方程为一元二次方程，
∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得．
∴的取值范围为．
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据勾股定理求出，根据折叠得出，，最后求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
根据折叠可知：，，
∴，
∴
．
故选：C．
6．A
【分析】过O作于G，于H，由正方形的性质得到，求得，，得到，根据全等三角形的性质得到，，故①正确；推出，故②正确；得到四边形的面积正方形的面积，四边形的面积保持不变；故③正确；根据平行线的性质得到，，求得，得到，于是得到，故④正确．
【详解】解：如图，过O作于G，于H，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∵点O是对角线的中点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
故①正确；
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴四边形的面积正方形的面积，
∴四边形的面积保持不变；
故③正确；
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
综上，正确的结论是①②③④，一共4个，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
7．
【分析】本题主要考查一元二次方程解的定义，解题的关键是正确的计算；把一元二次方程的根代入方程求出k即可．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，
解得：，
故答案为：
8．（答案不唯一）
【分析】此题重点考查矩形的定义和判定定理等知识，由，得，由，求得，若，可根据“有三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形是矩形，所以添加的一个条件可以是，添加的条件也可以是或．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴添加的一个条件可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
9．2
【分析】本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义、解不等式等知识点，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，结合一元二次方程的定义知求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
∴k的最小正整数值是2．
故答案为：2．
10．11
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设参加酒会的有x人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故答案为：11．
11．
【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质全等三角形的判定和性质．
如图，连接，交于点H，由菱形的性质，得，根据平行线的性质得到，进而求出，证明得到，即可求出的长．
【详解】如图，连接，交于点H，
由菱形的性质，得，
．
．
，
．
又四边形是菱形，
平分
．
在和中，
，
，
．
故答案为：
12．4或5或
【分析】根据题意，得，，，得到，结合，利用勾股定理得到，利用分类思想，分，，三种情况解答即可．
【详解】解：根据题意，得，
∵长方形中，，．
∴，，，
∵，
∴，
当时，，，，
当时，，，，
当时，，
解得；
当时，，
∴，
∴，
解得；
当时，，，
∴，
解得．
综上所述，当运动时间为4或5或时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类思想，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的定义是解题的关键．
13．(1)
，
(2)
，
【分析】本题考查解一元二次方程．
（1）移项，因式分解，即可求解；
（2）用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得，
因式分解得，
∴，或，
∴，；
（2）解：，
∵根的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，．
14．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
（1）首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形；
（2）根据以及，即可解决问题．
【详解】（1）证明∶，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
（2）解∶ 在中，
，，，
，
矩形的面积，
，
．
15．(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，
（1）连接，再连接两个交点与交于点G，即可；
（2）连接交于点O，连接并延长交于点P，即可；
【详解】（1）
点G即为所求；
（2）
点P即为所求；
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键．
（1）根据根的判别式进行计算即可．
（2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可．
【详解】（1）证明：
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：
又
．
17．(1)
(2)2592
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
∴该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）（个）．
∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个．
18．(1)答案见解析
(2)；
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点，于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可；
（2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵于点F， 于点G，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
即，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键．
（1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出的取值范围；
（2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合的取值范围解方程即可．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
解得：，，
又∵，
∴．
20．(1)的长为
(2)围成的花圃面积不能达到
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．
（1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长；
（2）不能围成花圃；设的长为，根据（）得到，此方程的判别式得到方程无实数解，所以不能围成花圃．
【详解】（1）解：设平行于墙的边长为．
根据题意得，，
则，
∴，
因为，
所以符合题意，
答：的长为；
（2）解：不能，
理由如下：设的长为
根据题意，得
即，
∵
∴方程没有实数根，
所以，围成的花圃面积不能达到．
21．(1)当时，最小，的最小距离为
(2)①当为等腰三角形时，t的值为或或；②不存在一个时刻，使得，理由见解析
【分析】（1）首先根据题意，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据垂线段最短，得出当时，最小，此时四边形是矩形，再根据矩形的性质，得出，然后代入数据，得出，解出即可得出答案；
（2）①过点作于点，得矩形，矩形，根据矩形的性质，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程进行求解，即可得出答案；
②当时，根据勾股定理，得出，进而得出，整理得出，再根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得：，，
∵，，
∴，
当时，最小，此时四边形是矩形，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，最小，的最小距离为；
（2）解：①如图，过点作于点，得矩形，矩形，

∴，，
∴，
在中，
根据勾股定理，可得：，，
当时，
可得：，
整理可得：，
解得：；
当时，
可得：，
整理可得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
当时，为的中点，
∴，
解得：，
综上可得：当为等腰三角形时，t的值为或或；
②不存在一个时刻，使得，理由如下：
当时，
可得：，
即，
整理可得：，
∵，
∴此方程无实数解，
∴不存在一个时刻，使得．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答．
22．(1)是
(2)，
(3)存在，
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究．
（1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案；
（3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可．
【详解】（1）解：由，得，
∴或，
解得，，
∵，为整数，
∴是“”点，
故答案为：是；
（2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为，
∴，，
故，；
（3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，
由，
得，
故，
由一元二次方程的根与系数的关系得，，
∴，
∵“”点在直线上，
∴，
∴，
解得，，
所以，
整理得 ，
解得或，
当时，方程为，，，“”点坐标为，符合；
当时，和不是整数解，舍去．
综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时．
23．(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①如图1，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证得结论；
②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论；
（2）如图3，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
A
D
B
A
C
A