江苏省苏州市虎丘区苏州高新区实验初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

这是一份江苏省苏州市虎丘区苏州高新区实验初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（）
A．1，，B．，，C．，，D．，，
2．下列运算正确的是（）
A．B．
C．D．
3．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
4．若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．若，，则的值用a，b可以表示为（ ）
A．B．C．D．
6．如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（ ）
A．4B．C．7D．
7．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6B．C．5D．
二、填空题
9．化简： ．
10．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
11．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为 ．
12．若，，则的值是 ．
13．如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、10，则正方形D的面积为 ．
14．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ．
15．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为 ．
16．如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是 ．

三、解答题
17．计算
(1)；
(2)
18．将下列多项式分解因式：
(1)
(2)
19．解下列方程
(1)
(2)
20．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证：
（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
21．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，，米，米，米，试求阴影部分的面积．
22．如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长．
23．某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元．
(1)求甲、乙两种商品各购进多少件？
(2)A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？
24．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：；
再如：．
解决下列问题：
(1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）；
(2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
(3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程．
25．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为___________；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）的最大值是___________；
（4）已知正数满足，则___________．
26．如图1，在中，，求的长．
小明的思路：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得，为等腰三角形，由和，易得，为等腰三角形，依据已知条件可得和的长．
解决下列问题：
(1)图2中，___________，___________；
(2)在中，的对边分别为．如图3，当时，用含式子表示．
《江苏省苏州市虎丘区苏州高新区实验初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题》参考答案
1．D
【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可．
【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足．
A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意；
B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意；
C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意；
D：，是“勾股数”，故此选项符合题意．
故选D．
2．A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据二次根式的乘法、除法、加减法法则进行计算即可求解．
【详解】∵选项A：，正确；
选项B：，错误；
选项C：，因为根式加减不能直接合并，且数值不相等，错误；
选项D：，错误．
∴正确的是A．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查各选项的分子和分母是否有公因式，能否约分，即可判断．
【详解】解： A：，不是最简分式；
B：，不是最简分式；
C：，不是最简分式；
D：，是最简分式，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
由题意知，，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
解得，，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可．
【详解】解：，，
．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可．
【详解】解：由题意得，
二次三项式在整数范围内可因式分解为，
，
，
故选：C．
7．B
【分析】如图，连接，利用勾股定理求得即可求解．
【详解】解：如图，连接，则，
∵，，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，求出DE的长是解答的关键．
8．B
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，
故选：B．
9．
【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．且
【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数，分式分母不为0是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得且，
且，
故答案为：且．
11．5或
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故答案为：或5．
12．
【分析】本题主要考查因式分解及代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键；将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可．
【详解】解：由已知，，
∴，
故答案为：．
13．3
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解答本题的关键是掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法．设正方形的面积为，首先根据长方形的长是宽的2倍，得出长方形的长的平方是长方形的宽的平方的4倍，长方形的宽的平方为，然后结合图形，利用勾股定理得到关于的一元一次方程，解这个方程求出的值，即可求解．
【详解】解：设正方形的面积为，
长方形的长是宽的2倍，
长方形的长的平方是长方形的宽的平方的4倍，
正方形、、、的面积依次为5、23、10、，
根据图形得：，
解得：，
正方形的面积为3，
故答案为：3
14．且
【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解：先去分母，再移项，合并同类项，用含有a的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可．
【详解】解：即，
去分母，得，
移项，合并同类项，得．
∵这个分式方程的解是正数，
∴，且，
即，且，
解得，且．
故答案为：且．
15．3或6
【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
当为直角三角形时，有两种情况：情况一，当时，可知点三点共线，先由勾股定理可求出，进而求出，设，则，，再根据勾股定理即可求解；情况二：当时，可知此时为正方形，即可得．
【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：
情况一：当时，图形如下，
∵是折叠得到，
∴，
∵，
∴点三点共线，
∵，，
∴，，
∴，
设，则，，
在中有，即，
解得：，
∴；
情况二：当时，图形如下，
此时为正方形，
∴；
综上所述，的长为3或6，
故答案为：3或6．
16．
【分析】先判断出≌，得出，进而判断出≌，得出，即可判断出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．
【详解】如图，

在正方形ABCD中，，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值，
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小时点F的位置是解题关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，二次根式的加减计算，掌握相应的运算法则是关键．
（1）先化简二次根式，后合并同类项即可；
（2）先化简二次根式，计算零指数幂，负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解；
（1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解，即可求解；
（2）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
19．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法，注意最后一定要检验．
（1）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验，即可求解；
（2）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验，即可求解．
【详解】（1）解：，
去分母可得，，
去括号可得，，
移项可得，，
系数化为1可得，，
经检验，是分式方程的解；
（2）解：，
去分母可得，，
去括号可得，，
移项可得，，
系数化为1可得，，
经检验，时，，则是分式方程的增根，
∴分式方程无解．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行线性质求出，根据推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出，根据等腰三角形性质求出即可．
【详解】证明：（1），
，
在和中
，
（2），
，
又平分，
．
【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，解题的关键是：注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
21．阴影部分的面积为平方米
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键．
根据题意，运用勾股定理得到，运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，由面积公式计算即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴米，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴
（平方米），
∴阴影部分的面积为平方米．
22．2
【分析】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握相关性质是解题的关键．
连接，由正方形的性质得，，由点是的中点，得，由折叠得，，，则，，可证明，则，根据勾股定理列方程得，求得．
【详解】解：如图，连接，

∵四边形是正方形，
，，
∵点是的中点，
，
由折叠得，，，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，解得，
的长度为2．
23．(1)甲、乙两种商品各购进120、100件
(2)650元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，找到等量关系是解题的关键．
（1）设设甲种商品购进件，根据题意建立一元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设设甲商品的售价元，根据题意列分式方程即可求解．
【详解】（1）解：设甲种商品购进件，则
解得
答：甲、乙两种商品各购进120、100件；
（2）解：设甲商品的售价元，则
解得
经检验，是原分式方程的解．
超市能从这次销售中获利为．
答：超市能从这次销售中获利650元．
24．(1)假
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了分式的加减法、分式的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由假分式的定义即可判断得解；
（2）依据题意得，结合题意可得从而求出结果；
（3）根据题意化简即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，
∴分式是假分式．
故答案为：假；
（2）由题意得：，
分式的值为整数，
．
或；
（3）．
25．（1）13；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及三角形三边关系，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用三角形三边关系变形规则解题是关键．
（1）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值；
（2）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值；
（3）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最长得为最大值；
（4）和对应直角三角形直角边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点作，交延长线于点，连接，
设，点在的上方，且，点在的下方，且，
则，
∴代数式表示，
∵，
∴的最小值为的长，
即代数式的最小值为的长，
在中，由勾股定理得：，
即的最小值为13；
（2）如图，过点作，交延长线于点，连接，
设，点在的上方，且，点在的下方，且，
则，
∴代数式表示，
∵，
∴的最小值为的长，
即代数式的最小值为的长，
在 中，由勾股定理得：，
即的最小值为；
（3）构造，如图所示：
过点作，交延长线于点，
则，
设，
则，，
∴代数式表示，
∵，
∴的最大值为的长，
即代数式的最大值为的长，
在 中，由勾股定理得：，
即的最大值为；
（4）构造于，如图所示：
设，则，
，
设，则，
∴，
解得：，
∴．
∴方程的解是．
故答案为：．
26．(1)4；
(2)
【分析】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．
（1）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，根据垂直平分线的性质得到，根据题意、三角形内角和定理得到，根据勾股定理计算即可；
（2）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，则是边的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，根据题意、三角形内角和定理得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，
则是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴在直角和直角中，
由勾股定理得到：，即，
解得：，
故答案是：4； ；
（2）解：作于点，在的延长线上取点，使得，连接，
则是边的垂直平分线，
，
根据题意得，
，
，
，
，
，
，
又，
∴，
，
由题意得，
，
在中，，
在中，，
，
即，
整理得，．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
A
D
B
C
C
B
B