上海市民办新复兴初级中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

这是一份上海市民办新复兴初级中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．一列客车已经晚点，如果将速度加快，那么继续行驶便可正点运行，如果设客车原来行驶的速度是，那么可列出的分式方程为（ ）
A．B．C．D．
3．把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ）
A．1或5B．1或C．D．5
5．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
6．已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题
7．要使得代数式有意义，那么的取值范围是 ．
8．化简的结果是 ．
9．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ．
10．方程的解是 ．
11．对实数a、b，定义运算，已知，则的值为 ．
12．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ．
13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．若直角三角形的两边长a，b是一元二次方程 的两个根，则这个直角三角形的第三边长为 ．
15．学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是 ．
16．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ．
17．如图，在中，，，中线，则的面积为 ．
18．如图，已知中，，若，，点D是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与交于点E，当为直角三角形时，则的长为 ．
三、解答题
19．计算：
20．用配方法解方程：
21．解方程：(2x+3)2=4(2x+3)
22．解方程：．
23．解方程：．
24．如图，在中，，．
(1)尺规作图：在边上作一点D，使得点D到边与边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的长．
25．已知：，，求的平方根；
26．如图，在中，，，平分交于点D．

(1)求证：点D在的垂直平分线上；
(2)若，求的长．
27．如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．

(1)求证：；
(2)若，求证：．
28．上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？
29．如图①，在长方形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点和点重合时，线段的长为_____．
(2)当点和点重合时，求线段的长；
(3)如图②，当点在边上运动时，当的形状始终是_____．
(4)作点关于直线的对称点，当点落在长方形的边上时，直接写出的值．
《上海市民办新复兴初级中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题》参考答案
1．C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键．
根据二次根式的加法，减法，乘法法则，性质进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、：根据二次根式乘法法则，，则，但选项A结果为，显然A错误；
B、 ：直接计算得，，故，而，因此选项B错误；
C、 ：合并同类二次根式，系数相减：，与选项C结果一致，故正确；
D、 ：先计算被开方数：，则，但选项D结果为，显然D错误；
故选：C
2．B
【分析】本题考查用分式方程解决行程问题，得到时间的等量关系是解决本题的关键．
根据时间差等于晚点时间列出方程，需注意单位转换，6分钟转换为小时．
【详解】解：设客车原来速度为，
则行驶原需时间小时，
加快后速度，需时间小时，
∵时间差为晚点时间6分钟小时，
∴，
故选B．
3．C
【分析】本题考查了解一元二次方程和在实数内分解因式，能求出方程的解是解此题的关键．先把y看出已知数求出关于x的方程的解，再分解因式即可．
【详解】解：，
，
则，
所以，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再根据判别式得出即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两实根，
∴，，
，
∴，解得：，
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴；
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断．
【详解】解：①由得到，即，是直角三角形；
②由题可得，是直角三角形；
③由得到2，解得，，不是直角三角形；
④由得到，解得，，，是直角三角形；
⑤由得到，解得，不是直角三角形；
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边应角、对应边相等的性质是解题的关键．
先证明，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确．
【详解】解：为的角平分线，
，
在和中，
，
，①正确；
，
，
，
，
，
，②正确，
，
，
，
，
，
，③正确；
过作，交的延长线于点，
平分，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，④正确；
故选D．
7．且
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：若代数式有意义，
则有且，
解得且．
故答案为：且．
8．
【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
9．
【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，，然后求解即可，即可得出答案．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查了二元一次方程组的应用．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴的值等于．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的解法是解题的关键．根据分式方程的解法即可求解．
【详解】解：，
，
解得，
经检验，当时，，
原方程的解是，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了新定义运算，利用平方根解方程，解题的关键是根据题意得出m的方程．根据题意列出关于m的方程，解方程即可.
【详解】解：∵
∴，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把把代入，得，则，即可作答．
【详解】解：把代入，
得，
则，
则，
故答案为：．
13．且
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
【详解】根据题意得a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，
解得a＜3且a≠﹣1．
故答案为a＜3且a≠﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
14．5或
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程求得直角三角形的两边长，分两种情况讨论求得即可．
【详解】解：∴，
，
∴或，
解得
当3 和4 为直角边长时，第三边长 ；
当4为斜边长时，第三边长
故这个直角三角形的第三边长为5 或 ．
故答案为：5或．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再根据“种植面积达到”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：∵学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，小道的宽为，
∴除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，
由题意可得：，
化为一般式为：，
故答案为：．
16．4
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可推出，则可得到，再由线段的和差关系求解即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，垂足为点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
17．6
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；延长到点，使，连接，可证明，则，所以，则，然后问题可求解．
【详解】解：如图，延长到点，使，连接，则，
是的中线，，
，
∵，
∴，
∴，，
，
是直角三角形，且，
；
故答案为：6．
18．或
【分析】本题考查了折叠和直角三角形中勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题先在中，求得，得到，，然后再分当时和时的情况，然后根据折叠和勾股定理的知识即可求解；
【详解】解：∵在中，，，，
∴由勾股定理得：，
∵以为折痕将折叠得到，
∴，，
如图所示：当时，过点作的延长线于点F．
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，（舍去），
∴，，
∴；
如图所示：当时，点C与点E重合．
∵，，
∴，设，则，
在中，，即，
解得：，
∴，，
∴．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
19．44
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式性质化简是解题的关键．
先利用二次根式性质化简，再进行计算即可求解．
【详解】解：
．
20．，
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解一元二次方程．
根据配方法求解一元二次方程求解即可．
【详解】解：
∴，
解得，．
21．或
【分析】移项，把2x+3看作一个整体，进行因式分解，然后求解．
【详解】（2x+3）2-4（2x+3）=0
（2x+3）（2x+3-4）=0
2x+3=0或2x+3-4=0
x=-或x=．
【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，关键把2x+3看作整体．
22．
【分析】此题考查了解分式方程、平方根求解方程和完全平方公式的应用，利用了转化的思想，把方程的解代入原方程进行检验是解题的关键．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
，
∴，
解得或，
检验当时，，且代入原方程成立；
当时，，舍去，
∴原方程的解为．
23．
【分析】本题考查了分式方程、平方根求解方程、完全平方公式的应用，准确的计算是解决本题的关键．
先将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
，
∴，
解得或，
检验：当时，原方程分母，是增根，舍去；
当时，原方程分母均不为0，符合条件，
∴原方程的解为．
24．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的判定与性质，30度角的直角三角形，勾股定理，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解点D到边与边的距离相等，即作出的平分线，交于一点，即为点，即可作答．
（2）先求出，结合角平分线的定义，得出，根据等角对等边，得，运用30度角的直角三角形的性质以及勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：点D如图所示：
（2）解：∵，．
∴，
由（1）的作图痕迹，得出是的角平分线，
∴，
∴，
在中，，
∴．
25．
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，求一个数的平方根，根据题意结合平方差公式，完全平方公式得到，的值，再将变形为求解，最后利用平方根概念求解，即可解题．
【详解】解：，，
，
，
则，
的平方根为．
26．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的判定、角所对的直角边与斜边的关系．
（1）根据题意和角平分线的定义，可以得到，然后即可得到，再根据线段垂直平分线的判定，即可证明结论成立；
（2）根据角所对的直角边和斜边的关系，可以得到，再根据即可．
【详解】（1）证明：在中，，，
，
平分，
，
，
，
点D在的垂直平分线上；
（2）解：在中，，
，
．
27．(1)证明过程见详解；
(2)证明过程见详解．
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等，熟练运用这些知识点是正确解答此题的关键．
（1）由为边上的高，证明，都是直角三角形，用证明即可得结论；
（2）由得，进而得出是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，进而得，根据，得，等量代换得，即可证明．
【详解】（1）证明：为边上的高，
，都是直角三角形，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，，
，
，
即是直角三角形，
为边上的中点，
，
，
，
，
，
．
28．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔每个售价应定为60元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：
解得（不合题意，舍去）
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得：
，
整理，得
解得
因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为60元．
29．(1)
(2)
(3)等腰直角三角形
(4)秒或秒或秒
【分析】（1）根据平行线间的距离相等得到，进而在中，勾股定理即可求解；
（2）设，则，在中，，在中，，在中，，再根据，进而作答即可；
（3）过点P作于点H，证明，得出，即可得出结论；
（4）分三种情况讨论，画出符合题意的示意图，由长方形得性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在中，；
（2）解：如图，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故，
∴；
（3）证明：如图，过点P作于点H，
则同（1）可得，
∵
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（4）解：动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，
有以下三种情况：
①当点P在线段上时，点E关于的对称点落在边上，点Q在边上，如图：
由上可得：，
设，则，
由对称的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
解得：，即，
∴；
当点在上，点在上时，

由对称的性质得：，
∵，点在上时，
∴重合，如图：
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴运动的时间为
当点在上，在上，
由对称的性质得：，
∵，点在上时，
∴重合，此时重合，如图：
则由（1）可得，
∴运动时间为：，
综上所述：的值为秒或秒或秒．
【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，折叠的性质以及等腰三角形的定义等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
B
C
C
C
D