安徽省皖西南联盟2026届高三上学期开学考试 数学试卷（含答案）

这是一份安徽省皖西南联盟2026届高三上学期开学考试 数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【详解】由已知，根据复数的运算可得，
所以其所对应的点的坐标为，显然在第二象限.
故选：B
2. 若集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由，，则，
又，所以.
故选：D
3. “”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意；
对于B，由推不出，但是由可以推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意；
对于C，由推不出，但是由可以推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意；
对于D，由推不出，比如满足，不满足，
但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意．
故选：C
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由，得，解得，
由，得，则，
所以.
故选：A
5. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】B
【详解】因为是方程的两个根，所以，
在正项等比数列中，有，，
又，所以，所以.
故选：B
6. 已知均为单位向量，且，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【详解】由题意，则，
设与的夹角为，则，
显然最大值为，此时.
故选：C
7. 已知数据，若这组数据的极差是中位数的2倍，则满足条件的正整数的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【详解】当或时，这组数据的中位数为，极差为，显然，满足题意；
当或时，这组数据的中位数为，极差为，显然不满足题意；
当正整数时，这组数据的中位数为，极差为，则，即，满足题意；
综上，满足条件的正整数的个数为3个.
故选：C
8. 已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得，
设，则，即点，
因此x02a2-y02b2=13y02a2-3x02b2=1，整理得，由，得，则，
于是，解得，即，则的离心率，
所以的离心率的取值范围为.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 在定义域内是增函数B. 的最小正周期为
C. 直线是图象的一条对称轴D. 是图象的一个对称中心
【答案】BD
【详解】对于A，f0=tanπ6=33>fπ3=tan5π6=-33，错误；
对于B，f(x)=tan2x+π6中，则最小正周期为，正确；
对于C，函数的对称轴为，
令2x+π6=kπ2,k∈Z，解得x=kπ4-π12,k∈Z，
则函数图象的对称轴为x=kπ4-π12,k∈Z，令kπ4-π12=π12得k=23∉Z，错误；
对于D，令2x+π6=kπ2,k∈Z，解得x=kπ4-π12,k∈Z，
则函数图象的对称中心为kπ4-π12,0,k∈Z，
令kπ4-π12=11π12得，所以是图象的一个对称中心，正确．
故选：BD
10. 《九章算术》是我国的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，分别为的中点，则（ ）

A. 该堑堵的体积为108B. 平面
C. 该堑堵外接球的表面积为D. 平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点
【答案】ACD
【详解】由题意该堑堵的体积为，故A正确；
因为直线与直线相交，所以直线与平面不平行，故B错误；
该堑堵可以放置在边长为6的正方体中，
该堑堵的外接球和正方体的外接球为同一个外接球，
所以该堑堵的外接球半径为，
所以外接球的表面积为，故C正确；
延长并与的延长线交于点F，连接，交于点，连接，
由可知，由可得，
平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点，故D正确.

11. 已知是函数的零点，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 的最小值为D. 当取得最小值时，
【答案】BCD
【详解】对于A，当时，f(x)=2x-1+ex2-3，定义域为，
则由单调性的性质可知f(x)=2x-1+ex2-3在上单调递增，
又f(1)=1+e12-3=e12-20，
根据零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为，错误；
对于B，当时，f(x)=-e22x-1+ex2-32，则f'(x)=-e22x-1+12ex2，
由单调性的性质可知f'(x)=-e22x-1+12ex2在上单调递增，
且f'(1)=-e2+12e12=0，
所以当时，，当时，，
所以函数的增区间为，减区间为，
所以函数的最小值为f(1)=-e2+e12-32=e2-32>-1，所以，正确；
对于C，由题意a2t-1+et2+b=0，即点在直线2t-1a+b+et2=0上，
可以理解为点到原点的距离的平方，
所以原点到直线的距离一定小于或等于点到原点的距离，
即a2+b2≥et22t-12+1=et22t在上能成立，
即et2t在上能成立，令gt=et2t，则g't=et⋅2t-2et4t2=ett-12t2，
令，，得，
当时，，当时，，
所以函数的增区间为，减区间为，
所以当时，gtmin=g1=e2，即的最小值为，正确；
对于D，当取得最小值时，，所以a+b=-e，
所以a+b2=a2+b2+2ab=e2+2ab=e，所以ab=e4，
所以a2+b2ab=ab+ba=2，解得，正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是等差数列的前项和，，则____________.
【答案】0
【详解】在等差数列中，由，得，解得，
所以.
故答案为：0
13. 已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【详解】因为函数的定义域为R，定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
，由函数和函数在R上单调递增可知，
所以函数在R上单调递增，
则由可得，
由函数在R上单调递增得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
14. 将分别标有号码的6个小球平均分为两组，记这两组小球中最小的号码分别为，，则数学期望______.
【答案】
【详解】将6个小球平均分两组，分组的方法数有C63C33A22种，
由题意的可能取值为1，2，3，则PX=3=1C63C33A22=110，PX=1=C42C22C63C33A22=35，
故PX=2=1-110-35=310，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某区体育老师为了了解初中学生喜欢篮球是否和性别有关，随机调查了该区100名初中学生，其中女生占了.经调查，在喜欢篮球的学生中，女生的人数是男生的2倍，在不喜欢篮球的学生中，女生的人数是男生的7倍.
（1）根据题中信息，完成下面列联表；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢篮球与该区初中学生的性别有关联？
附：.
【答案】（1）列联表见解析
（2）喜欢篮球与该区初中学生的性别有关联
【小问1详解】
女生人数为，男生人数为，
设喜欢篮球的男生人数为，则喜欢篮球的女生人数为，
由题意得75-2x=725-x，解得，
故列联表如下：
【小问2详解】
零假设：喜欢篮球与该区初中学生的性别无关联，
χ2=10020×35-5×40260×40×25×75=509≈5.556>3.841
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢篮球与该区初中学生的性别有关联.
16. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【小问1详解】
在中，由，得
由正弦定理得，由余弦定理得，
而，所以.
【小问2详解】
由及正弦定理得，而，解得，
由（1）得，解得，
所以的面积.
17. 如图，在四棱锥中，平面.
（1）证明：是直角三角形.
（2）若，求平面ABE与平面CDE夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【小问1详解】
在四棱锥中，取的中点，连接，
由，得四边形是边长为1的正方形，
则，又，于是，
由平面平面，得，
又平面，因此平面，
又平面，所以，即是直角三角形.
【小问2详解】
以为坐标原点，直线分别为,,轴建立空间直角坐标系，
则，．
设平面的法向量为，则，取，得，
显然是平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.

18. 已知分别是椭圆的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的坐标；
（3）求四边形的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由题可知，即，
若MF1=NF2，且，则此时轴，
所以-22a2+22b2=1，即，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设M(x1,y1),y1>0，N(x2,y2),y2>0，
由题可知MF1=3NF2，则-2-x1=32-x2-y1=-3y2，解得x2=x1+83y2=y13，
因为两点在椭圆上，所以，所以x12+2y12-8=0x1+832+2y132-8=0，
即x12+2y12-8=0x1+82+2y12-72=0，解得x1=0,y1=2，所以的坐标为.
【小问3详解】
设M(x1,y1),y1>0，N(x2,y2),y2>0，，，
则关于原点的对称点N'(x3,y3)，即，
由F1M⃗=x1+2,y1,F2N⃗=x2-2,y2，，得x1+2y2=x2-2y1，
则-x1+2y3=-x3-2y1，即x1+2y3=x3+2y1，
则F1M//F1N'，则M,F1,N'三点共线，
又△NOF2≅△N'OF1，得|NF2|=|N'F1|，
设MN':x=my-2，联立得，
则，，，
则MN'=1+m2y1-y3=1+m24mm2+22+16m2+2=42m2+1m2+2，
则MF1+NF2=MF1+N'F1=MN'=42m2+1m2+2，
又点到直线的距离，
则梯形的面积S=12MF1+NF2d=82m2+1m2+2，
令，则，
则，当即时等号成立，
故的取值范围为.

19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围；
（3）设无穷数列，请探究是否存在，使得.
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在.
【小问1详解】
函数，求导得，
则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
不等式，令，
依题意，在上恒成立，且，求导得，
令，求导得，
函数在上单调递减，，
当，即时，，函数在上单调递减，
则，函数在上单调递减，，
因此不等式在内恒成立，于是；
当时，，函数在的图象连续不断，
则存在，使得当时，，于是函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是．
【小问3详解】
由于，则当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，则．
当时，而，由二次函数性质得，与矛盾；
当时，记，则，
以此类推得，不妨设，
倒推得，只要存在，使得，且，
同时（因为）,又函数的值域包含的部分区间，
因此存在，使得，进而通过递推关系使得，
所以存在，使得.
性别
是否喜欢篮球
合计
喜欢
不喜欢
男生
女生
合计
100
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
是否喜欢篮球
合计
喜欢
不喜欢
男生
20
5
25
女生
40
35
75
合计
60
40
100