2024-2025学年四川省资阳中学高二下学期期中检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省资阳中学高二下学期期中检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量X的分布列如下表：
若离散型随机变量Y=2X+1，则P(Y≥5)=( )．
A. 712B. 512C. 56D. 34
2.5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为
A. 480B. 720C. 960D. 1440
3.我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果an+1−an=bnn∈N∗，且数列bn为等差数列，那么数列an为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为( )
A. 120B. 220C. 240D. 256
4.两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格，令A事件为”从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，B事件为”从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P(A|B)等于
A. 25B. 35100C. 78D. 57
5.设函数f(x)是R上可导的偶函数，且f(2)=3，当x>0，满足2f(x)+xf′(x)>2，则x2f(x)>12的解集为( )
A. (−2,2)B. (−∞,−3)∪(3,+∞)
C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−3,3)
6.朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为A1，前八个音的频率总和为A2，则A2A1=( )
A. 1+212B. 1+213C. 1+214D. 1+216
7.设函数f(x)=ex−x，直线y=ax+b−1是曲线y=f(x)的切线，则a+b的最大值是( )
A. 1−1eB. eC. e−1D. e2−2
8.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )
A. 600B. 288C. 576D. 以上答案均不对
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若00．
因为f(x)在x=1处取得极值，所以f′(1)=2−(2a+1)+a=0，则a=1．
所以f(x)=x2−3x+lnx，f′(x)=2x−3+1x=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，
令f′(x)=0得x=12或1，列表得
所以f(x)的极大值为f(12)=14−32+ln12=−54−ln2，极小值为f(1)=1−3+ln1=−2．
(2)f′(x)=2x−(2a+1)+ax=2x2−(2a+1)x+ax=(2x−1)(x−a)x．
①当a≤1时，x∈[1,e],f′(x)>0，所以f(x)在[1,e]上单调递增，f(x)的最小值为f(1)=−2a，满足题意；
②当1a或00，函数f(x)单调递增，
当x∈1m,+∞时，f′(x)0符合题意，所以m的值为1．
(2)解：对任意x>0，f(x)≤g(x)恒成立，即−m+1≤ex−lnx+1x在(0,+∞)上恒成立，
设φ(x)=ex−lnx+1x，可得φ′(x)=x2ex+lnxx2，
设q(x)=x2ex+lnx，可得q′(x)=x2+2xex+1x>0，
所以q(x)在(0,+∞)上单调递增，且q120，
所以q(x)有唯一零点x0∈12,1，且x02ex0+lnx0=0，
所以x0ex0=−lnx0x0=−lnx0⋅e−lnx0，
构造函数ℎ(x)=xex，则ℎx0=ℎ−lnx0．
又由函数ℎ(x)=xex在(0,+∞)上是增函数，所以x0=−lnx0，
由φ(x)在0,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，
可得φ(x)≥φx0=ex0−lnx0+1x0=1x0+x0−1x0=1，
所以−m+1≤1，解得m≥0，所以m的取值范围是[0,+∞)．
19.(1)走完这半层14个台阶可分为以下情况：
14步走完时0个2和14个1，有C140=1种走法；
13步走完时1个2和12个1，有C131=13种走法；
12步走完时2个2和10个1，有C122=66种走法；
11步走完时3个2和8个1，有C113=165种走法；
10步走完时4个2和6个1，有C104=210种走法；
9步走完时5个2和4个1，有C95=126种走法；
8步走完时6个2和2个1，有C86=28种走法；
7步走完时7个2和0个1，有C77=1种走法；
所以甲走完这半层14个台阶有1+13+66+165+210+126+28+1=610种不同的走法．
(2)(Ⅰ)由已知可得P1=34，
根据全概率公式可知Pi+1=Pi×12+1−Pi×14，
整理可得Pi+1=14Pi+14，
可化为Pi+1−13=14Pi−13．
又P1−13=34−13=512，
所以Pi−13是以512为首项，14为公比的等比数列，
所以Pi−13=512×14i−1，
所以Pi=13+512×14i−1．
(Ⅱ)由已知可得An+1=An×12+Bn×14Bn+2=An×12+Bn×34,
由An+1=An×12+Bn×14可得，Bn=4An+1−2An，且An+3=An+2×12+Bn+2×14．
又Bn+2=An×12+Bn×34，
所以有An+3=An+2×12+14An×12+Bn×34=12An+2+18An+316Bn=12An+2+18An+3164An+1−2An=12An+2+34An+1−14An．
同理可求得Bn+3=12Bn+2+34Bn+1−14Bn．
所以有An+3+Bn+3=12An+2+Bn+2+34An+1+Bn+1−14An+Bn．
又f(n)=An+Bn，
所以有f(n+3)=12f(n+2)+34f(n+1)−14f(n)，得证．
又由已知可得A1=34，B1=0，则f(1)=A1+B1=34，
A2=A1×12+B1×14=38，B2=14，f(2)=A2+B2=58，
A3=A2×12+B2×14=14，B3=A1×12+B1×34=38，f(3)=A3+B3=58．
代入f(1)=34，f(2)=58，f(3)=58，得f(4)=1932，f(5)=3964．
X
0
1
2
3
P
a
13
5a
16
x
(0,12)
12
(12,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗