山东省潍坊市2026届高三上学期开学调研监测考试 数学试卷（含答案）

这是一份山东省潍坊市2026届高三上学期开学调研监测考试 数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 设函数等内容，欢迎下载使用。
2025.9
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】不等式，解得或，即N=xx≤-2或，
又集合，
所以.
故选：C.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的虚部是（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】C
【详解】因为复数对应的点的坐标是，
所以复数，则的虚部是4.
故选：C.
3. 已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】对于A，，，易知时无意义，故A错误；
对于B，，，时，，
时，，时，，故B正确；
对于C，，，时，，故C错误；
对于D，，，时，，故D错误.
故选：B.
4. 若双曲线：过点，则C的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意可得：，解得：，
所以，
所以，
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【详解】，
，
故选：A．
6. 如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由，为中点，则，
因为，，所以为等边三角形，
则，，而，则，
由，，
所以
.
故选：B.
7. Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种数和生物个体总数．如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由变为，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意可得1.8=S-1lnN14.5=S-1lnN2，
两式相除可得，
所以.
故选：C.
8. 设函数（其中，均大于0），若，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【详解】定义域为：-b,+∞.
fx=0⇒x=1a或，若，此时，
为使，则，则此时；
若，则此时，为使，则，
则此时，综上可得.
则a+4b=1a+ba+4b=5+4ab+ab≥5+24ab⋅ab=9，
当且仅当，即时取等号.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（ ）

A. 1月至7月全社会用电量逐月增加
B. 1月至7月全社会用电量的极差是20.7
C. 1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3
D. 1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大
【答案】BD
【详解】A：由图知，3月到4月用电量减少，故错误；
B：由图，用电量的极差为，故正确；
C：数据从小到大有，又，
所以第75百分位数是第六个数据，故错误；
D：由1月至3月用电量极差为，4月至6月用电量极差为，
显然，故对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大，故正确.
故选：BD
10. 已知抛物线：的焦点为，过F的一条直线交于A，B两点（A位于第一象限），过A，B作直线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若直线的倾斜角为，则
D. 记，，的面积分别为，，，则
【答案】ABD
【详解】如图所示，由题意可知直线为抛物线的准线，直线与抛物线必相交，
设，，可得，
对于选项A：因为抛物线：的焦点为，
则，解得，故A正确；
对于选项B：由选项A可知抛物线：，
因为，即，
则，即，所以，故B正确；
对于选项C：若直线的倾斜角为，则直线的斜率，可得直线，
联立方程，消去y可得，解得，
结合图形可知，即，所以AF=x1+1=4+22，故C错误；
对于选项D：设直线，
联立方程，消去x可得，
则，
可得，
y1-y2=y1+y22-4y1y2=16m2+16=4m2+1，
由题意可知：S1=12AA1⋅y1=12y124+1⋅y1，S3=12BB1⋅-y2=-12y224+1⋅y2，
可得S1S3=-14y124+1y224+1⋅y1y2=y12y2216+y12+y224+1=1+4m2+2+1=4m2+1，
且S2=12×2×y1-y2=4m2+1，所以，故D正确；
故选：ABD.
11. 在棱长为6的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，过E，F，G作正方体的截面，则（ ）
A.
B. 截面多边形存在外接圆
C. 截面多边形的面积为
D. 截面所在平面与平面所成角的正弦值为
【答案】ACD
【详解】
如上图所示，根据正方体的性质可知，平面，底面对角线，
因为为中线，则，又因为，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，故A正确.

如上图，延长交于，交于，连接交于，连接交于.
根据正方体的性质可知，GE=GF,NE=FX,GN=GX，即，且公用顶点，
显然这两个三角形外心不重合，故这个五边形没有外接圆，B错误；
如上图，因为，为中点，则GL=GM=32+92=310，
GN=GX=23GL=210，EN=FX=32+12=10，
ML=92+92=92，LO=MO=12ML=922，
GO=3102-9222=3222，LE=FM=32，LN=XM=32+12=10，
所以S△GLM=12LM⋅GO=12×92×3222=27112，
S△LNE=S△MXF=12LN⋅LE⋅sin∠GLO=12×10×32×3222310=3112，
所以，故C正确.
如上图，因为，，由二面角定义可知，为截面与底面所成角（或补角），
因为A1O=322，A1G=622+32=9，
由余弦定理得cs∠A1OG=A1O2+OG2-A1G22A1OOG=3222+32222-922⋅322⋅3222=-31111，
所以sin∠A1OG=1-cs2∠A1OG=1--311112=2211，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 等差数列的前项和为，已知，，则_____．
【答案】5
【详解】由题设，即，则，
S10=10(a1+a10)2=25，即，则.
故答案为：5
13. 袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______．
【答案】1
【详解】记取出的两个球都是红球为事件,则PA=C32C5+m2=15,
∴35+m4+m2=15,即
解得或（舍），
故的可能取值为，
则PX=0=C32C62=15,PX=1=C31C31C62=35,PX=2=C32C62=15,
∴EX=0×15+1×35+2×15=1
故答案为：1.
14. 已知函数，则曲线在处的切线方程_____；若，则a的值为_____．
【答案】 ①. ②. 2
【详解】因为，则，
可得，，即切点坐标为，切线斜率，
所以所求切线方程为，即；
若fx≥ax-ex+2，可得，
构建gx=ex+sinx+csx-ax-2，则g'x=ex+csx-sinx-a，
注意到，则g'0=2-a=0，可得；
下证当时，gx=ex+sinx+csx-2x-2≥0，
构建hx=2x-sinx-csx+2ex，
则h'x=2-csx+sinxex-2x-sinx-csx+2exex2=2sinx-xex，
构建tx=sinx-x，则t'x=csx-1≤0，
可知在内单调递减，且，
当时，则，即；当时，则，即；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
即，且，整理可得，
即，可知符合题意；
综上所述：.
故答案为：；2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）求的前项和．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为，所以，
则，且，
所以数列是等比数列，其公比为4，首项为，
则，
所以通项公式为
【小问2详解】
由于，
所以，
则，
即的前项和
16. 如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点．

（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
连接，
因，AD=CD,BD=BD,，则，则，
又，，则，
则，即为线段的中点，
因为中点，则为的中位线，则，
因平面，平面，则平面；
【小问2详解】
设点到平面的距离为，
因，，则，
由（1）可知，则，即，
因，则，则，
因底面，平面，则，
因，则，
因，
则，即，
又底面，，则底面，
又底面，则，则，
则与平面所成角的正弦值为.

17. 在中，．
（1）求；
（2）若的角平分线与边相交于点，且，，求的面积
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：由sin2A+sinπ2+A=14，可得，
即，解得或，
因为，可得，所以，所以.
【小问2详解】
解：由（1）知：，
因为为的角平分线，且，，可得，
在中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2ADACcs∠CAD，
即(7)2=22+AC2-2×2AC×12，整理得AC2-2AC-3=0，
解得或AC=-1（舍去），
设，由，
可得12ACABsin∠BAC=12ABADsin∠BAD+12ACADsin∠CAD，
即，解得，即，
所以的面积为S△ABC=12ACABsin∠BAC=12×3×6×32=932.
18. 已知椭圆：的离心率为，右顶点为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于M，N两点（B不在上），过N作直线的垂线，垂足为Q．
①求的最小值；
②求的最大值．
【答案】（1）；
（2）①；②.
【小问1详解】
因的离心率为，则，
从而，又右顶点为，则，，
则椭圆方程为：；
【小问2详解】
①因过点的直线不过点B，则直线斜率不为0，
设：.将直线与椭圆联立，则，消去得：.
因Δ=16m2+48>0，设，
则.
则MN=x1-x22+y1-y22=m2+1⋅y1+y22-4y1y2
，令，则MN=4t-3t-1t=4t2-4t+3t2=41-4t+3t2.
设,则1-4t+3t2=1-4u+3u2=3u-232-13，
因函数g(u)=3u-232-13在u∈(0,14]上单调递减，
故316=g(14)≤g(u)