高三物理一轮复习精讲精练 第四讲 探究弹力和弹簧伸长的关系（2份，原卷版+解析版）

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一、实验目的
1.探究弹簧弹力与形变量的关系。
2.学会利用图像法处理实验数据，探究物理规律。
二、实验原理
1.如图所示，弹簧下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小相等．
2.用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹力大小与形变量间的关系．
三、实验器材
铁架台、弹簧、毫米刻度尺、钩码若干、坐标纸．
四、实验步骤
1.将弹簧的一端挂在铁架台上，让其自然下垂，用刻度尺测出弹簧自然伸长状态时的长度 l0，即原长．
2.如图所示，在弹簧下端挂质量为m1的钩码，测出此时弹簧的长度l1，记录m1和l1，得出弹簧的伸长量x1，将这些数据填入自己设计的表格中．
3.改变所挂钩码的质量，测出对应的弹簧长度，记录m2、m3、m4、m5和相应的弹簧长度l2、l3、l4、l5，并得出每次弹簧的伸长量x2、x3、x4、x5.
五、数据处理
1.以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图．用平滑的曲线连接各点，得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线．
2.以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式．首先尝试一次函数，如果不行则考虑二次函数．
3.得出弹力和弹簧形变量之间的定量关系，解释函数表达式中常数的物理意义．
六、注意事项
1.不要超过弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免弹簧被过度拉伸，超过弹簧的弹性限度．
2.尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据．
七、误差分析
1.钩码标称值不准确、弹簧长度测量不准确以及画图时描点连线不准确等都会引起实验误差。
2.悬挂钩码数量过多，导致弹簧的形变量超出了其弹性限度，不再符合胡克定律(F=kx)，故图线发生弯曲。
3.水平放置弹簧测量其原长，由于弹簧自身受到重力，将其悬挂起来后会有一定的伸长量，故图像横轴截距不为零。
知识训练
考点一、教材原型试验
例1、(2022·广东选择考模拟)某实验小组在“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，操作过程如下：
(1)将弹簧水平放置并处于自然状态，将标尺的零刻度线与弹簧一端对齐，弹簧的另一端所指的标尺刻度如图甲所示，则该读数为________cm。
(2)接着，将弹簧竖直悬挂，由于________的影响，不挂钩码时，弹簧也有一定的伸长，其下端所指的标尺刻度如图乙所示；图丙是在弹簧下端悬挂钩码后所指的标尺刻度，则弹簧因悬挂钩码引起的伸长量为________cm。
(3)逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后弹簧下端所指的标尺刻度和对应的钩码总重力。该实验小组的同学在处理数据时，将钩码总重力F作为横坐标，弹簧伸长量Δl作为纵坐标，作出了如图丁所示的a、b两条Δl－F图像，其中直线b中的是用挂钩码后的长度减去________(选填“图甲”或“图乙”)所示长度得到的。
【答案】(1)7.0 (2)弹簧自身重力 6.9 (3)图甲
【解析】(1)该读数为7.0 cm；
(2)由于弹簧自身重力的影响，不挂钩码时，弹簧也有一定的伸长，其下端所指的标尺刻度为7.4 cm；在弹簧下端悬挂钩码后所指的标尺刻度为14.3 cm，则弹簧因悬挂钩码引起的伸长量为14.3 cm－7.4 cm＝6.9 cm；
(3)由题图丁直线b的位置可知，当外力F＝0时，弹簧有伸长量，则可知直线b中的是用挂钩码后的长度减去图甲所示长度得到的。
课堂随练
训练1、(2021·北京密云区测试)某实验小组同学用铁架台、弹簧和多个质量均为m=50 g的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系,如图甲所示。
(1)该组同学在做实验时,依次在弹簧下端挂上钩码,并在表格内分别记下钩码静止时弹簧下端指针所对应的刻度,记录数据如下:
当挂2个钩码时,指针对应刻度如图甲所示,将指针示数填入表格;在以弹簧弹力为纵轴、指针对应刻度L为横轴的坐标系中,如图乙所示,描点画出第2组对应的数据点,并连线得到F-L 图像。请根据图像分析并得出以下结论:
①弹簧原长为 cm;
②弹簧的劲度系数k= (结果保留2位有效数字)。
(2)弹簧与绳有一点相似之处,都可以认为是一个传递力的媒介。某位同学根据这个观点推广认为:将两个同样的弹簧串接在一起后,弹簧的劲度系数k与原来一样。你认为他的想法正确吗?并解释一下你的理由。 。
【答案】(1)13.70 图见解析
①11.40 ②0.42 N/cm
(2)不正确;两个劲度系数相同的弹簧串接后,施加外力时,与单独一个弹簧相比,弹簧的等效伸长量变为原来的2倍,所以劲度系数发生改变
【解析】(1)刻度尺的读数为13.70 cm,描点并作图如图所示。
①由图知,弹力为0时,弹簧原长为11.40 cm。
②根据胡克定律F=kx可知,图像斜率的物理意义为弹簧的劲度系数,则
k= N/cm≈0.42 N/cm。
(2)不正确;两个劲度系数相同的弹簧串接后,施加外力时,与单独一个弹簧相比,弹簧的等效伸长量变为原来的2倍,所以劲度系数发生改变。
训练2、一个实验小组做“探究弹簧弹力与弹簧伸长关系”的实验。
(1)甲采用如图a所示装置，质量不计的弹簧下端挂一个小盘，在小盘中增添砝码，改变弹簧的弹力，实验中做出小盘中砝码重力随弹簧伸长量x变化的图象如图b所示。(重力加速度g＝10 m/s2)
①利用图b中图象，可求得该弹簧的劲度系数为________ N/m。
②利用图b中图象，可求得小盘的质量为________ kg，小盘的质量会导致弹簧劲度系数的测量结果与真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“相同”)。
(2)为了制作一个弹簧测力计，乙同学选了A、B两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图c所示的图象，为了制作一个量程较大的弹簧测力计，应选弹簧________(填“A”或“B”)；为了制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选弹簧________(填“A”或“B”)。
【答案】(1)①200 ②0.1 相同 (2)B A
【解析】(1)①由图b中图象可知，弹簧的劲度系数：k＝ eq \f(ΔF,Δx)＝ eq \f(6－2,3.5－1.5) N/cm＝2 N/cm＝200 N/m。
②由图b图象可知：mg＝kx1，解得小盘质量：m＝ eq \f(kx1,g)＝ eq \f(2×0.5,10) kg＝0.1 kg；应用图象法处理实验数据，小盘的质量不会影响弹簧劲度系数的测量结果，即测量结果与真实值相同。
(2)由图c可知，弹簧A所受拉力超过4 N则超过弹性限度，弹簧B所受拉力超过8 N则超过弹性限度，故为了制作一个量程较大的弹簧测力计，应选弹簧B；由图c可知，在相同拉力作用下，弹簧A的伸长量大，则为了制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选弹簧A。
考点二、创新型实验
例1、某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系．实验装置如图所示．一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向0刻度．设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100 kg的砝码时，各指针的位置记为x.测量结果及部分计算结果如下表所示(n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80 m/s2)．已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm.
(1)将表中数据补充完整：①________，②________.
(2)以n为横坐标，eq \f(1,k)为纵坐标，在图给出的坐标纸上画出eq \f(1,k)－n图像．
(3)图中画出的直线可近似认为通过原点．若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系表达式为k＝________ N/m，该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0(单位为m)的关系表达式为k＝________ N/m.
【答案】(1)①81.7 ②0.012 2 (2)见解析图
(3)eq \f(1.75×103,n)(eq \f(1.67×103,n)～eq \f(1.83×103,n)均可) eq \f(3.47,l0)(eq \f(3.31,l0)～eq \f(3.62,l0)均可)
【解析】(1)①k＝eq \f(mg,x2)＝eq \f(0.100×9.80,5.26－4.06×10－2) N/m≈81.7 N/m；
②eq \f(1,k)＝eq \f(1,81.7) m/N≈0.012 2 m/N；
(2)描点法，画一条直线，让大部分的点都落在直线上，不在线上的点均匀分布在直线两侧，如图所示．
(3)设直线的斜率为a，则有eq \f(1,k)＝an，即k＝eq \f(1,a)·eq \f(1,n)，通过计算可得k≈eq \f(1.75×103,n)；弹簧共60圈，则有n＝eq \f(60l0,0.118 8)，把其代入k＝eq \f(1,a)·eq \f(1,n)中可得k≈eq \f(3.47,l0).
例2、(2022·唐山二模)某实验小组通过如图甲所示的装置探究轻质橡皮筋弹力与长度的关系，实验步骤如下：
①将橡皮筋一端固定在长木板的左端，皮筋另一端系一段细线，细线跨过长木板右端的定滑轮与小桶相连；
②向小桶内注入一定质量的细沙，稳定后测量橡皮筋的长度l；
③取出细沙，并测量细沙的质量m；
④重复②③步骤，获得多组对应的m、l数值；
⑤描点连线，得到l－m的关系图线如图乙所示。
完成下列填空：
(1)已知重力加速度为g，橡皮筋的劲度系数为________。
(2)图乙中纵截距的数值________(选填“大于”“等于”或“小于”)橡皮筋的原长。
(3)下列情况对劲度系数测量有影响的是________。
A．橡皮筋与长木板不平行
B．定滑轮不光滑
C．细线质量不可忽略
D．未考虑小桶质量
【答案】(1)eq \f(m2－m1,l2－l1)g (2)大于 (3)BC
【解析】(1)橡皮筋的劲度系数为k＝eq \f(ΔF,Δl)＝eq \f(m2g－m1g,l2－l1)＝eq \f(m2－m1,l2－l1)g。
(2)题图乙中纵截距表示没有注入细沙时，橡皮筋的长度，但是没有注入细沙时，已经挂小桶了，所以橡皮筋已经伸长了，则题图乙中纵截距的数值大于橡皮筋的原长。
(3)根据k＝eq \f(ΔF,Δl)可知，劲度系数的测量只与拉力的变化量和橡皮筋的伸长量有关，所以橡皮筋与长木板不平行不影响橡皮筋的伸长量的测量，不考虑小桶的质量也不影响拉力的变化量，但是定滑轮不光滑，有摩擦力作用会影响拉力的变化量，细线的质量也会影响拉力的变化量，A、D错误，B、C正确。
课堂随练
训练1、（2019海南）某同学利用图（a）的装置测量轻弹簧的劲度系数。图中，光滑的细杆和直尺水平固定在铁架台上，一轻弹簧穿在细杆上，其左端固定，右端与细绳连接；细绳跨过光滑定滑轮，其下端可以悬挂砝码（实验中，每个砝码的质量均为），弹簧右端连有一竖直指针，其位置可在直尺上读出，实验步骤如下：
①在绳下端挂上一个硅码，调整滑轮，使弹簧与滑轮间的细线水平且弹簧与细杆没有接触；
②系统静止后，记录砝码的个数及指针的位置；
③逐次增加砝码个数，并重复步骤②（保持弹簧在弹性限度内）；
④用n表示砝码的个数，l表示相应的指针位置，将获得的数据记录在表格内。
回答下列问题：
(1)根据下表的实验数据在图（b）中补齐数据点并做出图像______；
(2)弹簧的劲度系数k可用砝码质量m、重力加速度大小g及图线的斜率表示，表达式为_____；若g取，则本实验中____（结果保留3位有效数字）。
【答案】 (1) .
(2). ； (3). 109N/m
【解析】(1)做出图像如图；
(2)由胡克定律：，即，则，解得；由图形可知，解得
训练2、（2014·浙江）在“探究弹力和弹簧伸长的关系”时，某同学把两根弹簧如图连接起来进行探究．
表1
(1)某次测量如图2所示，指针示数为________ cm.
(2)在弹性限度内，将50 g的钩码逐个挂在弹簧下端，得到指针A、B的示数LA和LB如表1.用表1数据计算弹簧Ⅰ的劲度系数为____ N/m(重力加速度g取10 m/s2)．由表Ⅰ数据________(选填“能”或“不能”)计算出弹簧Ⅱ的劲度系数．
题图2
【答案】 (1)(15.95～16.05)cm，有效数字位数正确 (2)(12.2～12.8) N/m 能
【解析】：(1)由图2可知刻度尺能精确到0.1 cm，读数时需要往后估读一位．故指针示数为16.00±0.05 cm.
(2)由表1中数据可知每挂一个钩码，弹簧Ⅰ的平均伸长量Δx1≈4 cm，弹簧Ⅱ的总平均伸长量Δx2≈5.80 cm，根据胡克定律可求得弹簧Ⅰ的劲度系数为12.5 N/m，同理也能求出弹簧Ⅱ的劲度系数．
同步训练
1、(2018·全国卷Ⅰ)如图a，一弹簧上端固定在支架顶端，下端悬挂一托盘；一标尺由游标和主尺构成，主尺竖直固定在弹簧左边；托盘上方固定有一能与游标刻度线准确对齐的装置，简化为图中的指针。
现要测量图a中弹簧的劲度系数。当托盘内没有砝码时，移动游标，使其零刻度线对准指针，此时标尺读数为1.950 cm；当托盘内放有质量为0.100 kg的砝码时，移动游标，再次使其零刻度线对准指针，标尺示数如图b所示，其读数为________ cm。当地的重力加速度大小为9.80 m/s2，此弹簧的劲度系数为________ N/m(保留三位有效数字)。
【答案】3.775 53.7
【解析】游标卡尺精度为0.05 mm，游标卡尺上游标第15条刻度线与主尺刻度线对齐，根据游标卡尺的读数规则，题图b所示的游标卡尺读数为3.7 cm＋150.05 mm＝3.7 cm＋0.075 cm＝3.775 cm。托盘中放有质量为m＝0.100 kg的砝码时，弹簧受到的拉力F＝mg＝0.100×9.80 N＝0.980 N，弹簧伸长x＝3.775 cm－1.950 cm＝1.825 cm＝0.01825 m，根据胡克定律，F＝kx，解得此弹簧的劲度系数k＝eq \f(F,x)＝53.7 N/m。
2、(2022·天津南开区二模)(1)某次研究弹簧所受弹力F与弹簧长度L关系实验时得到如图甲所示的F－L图像。由图像可知：弹簧原长L0＝________cm，由此求得弹簧的劲度系数k＝________N/m。
(2)用如图乙所示的方式挂上钩码(已知每个钩码重G＝1 N)，使(1)中研究的弹簧压缩，稳定后指针指示如图乙，则指针所指刻度尺示数为________cm。由此可推测图乙中所挂钩码的个数为________个。
【答案】(1)3.0 200 (2)1.50 3
【解析】(1)由题图甲可知，弹簧原长L0＝3.0 cm。由胡克定律F＝kΔx，得k＝eq \f(F,Δx)＝eq \f(12 N,0.09 m－0.03 m)＝200 N/m。
(2)由题图乙可知，指针所指刻度尺示数为L＝1.50 cm。设钩码个数为n，由胡克定律得nG＝k(L0－L)
解得n＝eq \f(k（L0－L）,G)＝eq \f(200 N/m×（0.03 m－0.015 m）,1 N)＝3。
3、(2018·全国卷Ⅱ)某同学用图a所示的装置测量木块与木板之间的摩擦因数。跨过光滑定滑轮的细线两端分别与木块和弹簧秤相连，滑轮和木块之间的细线保持水平，在木块上放置砝码。缓慢向左拉动水平放置的木板，当木块和砝码相对桌面静止且木板仍在继续滑动时，弹簧秤的示数即为木块受到的滑动摩擦力的大小。某次实验所得数据在下表中给出，其中f4的值从图b中弹簧秤的示数读出。
回答下列问题：
(1)f4＝________ N。
(2)在图c的坐标纸上补齐未画出的数据点并绘出f­m图线。
(3)f与m、木块质量M、木板和木块之间的滑动摩擦因数μ及重力加速度大小g之间的关系式f＝________，f­m图线(直线)的斜率的表达式k＝________。
(4)取g＝9.80m/s2，由绘出的f­m图线求得μ＝________。(保留两位有效数字)
【答案】(1)2.75 (2)图见解析 (3)μ(M＋m)g μg (4)0.41
【解析】(1)指针在2.7 N与2.8 N之间，估读为2.75 N。
(2)描点画线注意让尽可能多的点分布在线上，不能分布在线上的点尽可能均匀地分布在线的两侧，作图如图所示。
(3)木块受到的是滑动摩擦力，根据滑动摩擦力的计算式知f＝μ(M＋m)g。化简可得：f＝μ(M＋m)g＝(μg)m＋μMg，所以图象的斜率k＝μg。
(4)取g＝9.80 m/s2，取图象上相距较远的两点求斜率，k＝eq \f(2.94－2.14,0.25－0.05)＝4，则μ＝eq \f(k,g)＝eq \f(4,9.8)≈0.41。
钩码个数
长度
伸长量x
钩码质量m
弹力F
0
l0
1
l1
x1＝l1－l0
m1
F1
2
l2
x2＝l2－l0
m2
F2
3
l3
x3＝l3－l0
m3
F3
…
…
…
…
…
钩码个数
1
2
3
4
5
弹力F/N
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
指针对应刻度/cm
12.51
15.39
16.11
17.30
P1
P2
P3
P4
P5
P6
x0(cm)
2.04
4.06
6.06
8.05
10.03
12.01
x(cm)
2.64
5.26
7.81
10.30
12.93
15.41
n
10
20
30
40
50
60
k(N/m)
163
①
56.0
43.6
33.8
28.8
eq \f(1,k)(m/N)
0.006 1
②
0.017 9
0.022 9
0.029 6
0.034 7
n
1
2
3
4
5
10.48
10.96
11.45
11.95
12.40
钩码数
1
2
3
4
LA/cm
15.71
19.71
23.66
27.76
LB/cm
29.96
35.76
41.51
47.36
砝码的质量m/kg
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
滑动摩擦力f/N
2.15
2.36
2.55
f4
2.93