北京市东城区高三上学期期末统考数学试卷（原卷版）(1)-A4

这是一份北京市东城区高三上学期期末统考数学试卷（原卷版）(1)-A4，共5页。
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（ ）
A B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（ ）
A. B. C. D.
4. 近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一.现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（ ）（本题取）
A. 1秒B. 10秒C. 20秒D. 50秒
5. 设等比数列公比为，前项和为，使有最小值的一组和可以为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 下列函数中，使是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过三点，则该圆经过的整点共有（ ）
A. 6个B. 8个C. 10个D. 12个
9. 如图，在棱长为6的正四面体中，以为顶点的圆锥在正四面体的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（ ）

A. B. C. D.
10. 已知．用表示中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为________．
12. 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）
13. 写出一个焦点在轴上且离心率为的双曲线的标准方程：________．
14. 大衍数列来源于《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中，对于，数列是公差为的等差数列，且也是等差数列．已知，，则_________；的前9项和等于_________．
15. 已知非空数集满足：
（i），有；
（ii），有；
（iii）且，有，
则称是的“理想子集”．给出下列四个结论：
①若，则是“理想子集”；
②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则；
③若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”；
④若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”．
其中正确结论的序号是_________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算
16. 在中，为钝角，．
（1）求；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求．
条件①：；
条件②：；
条件③：面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在四棱锥中，侧面与底面垂直，为正三角形，底面为菱形，，分别为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.
（1）从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
（2）从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望；
（3）用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差的大小关系．
19. 设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值点个数；
（3）若时，，求的取值范围．
20. 已知椭圆的一个顶点为，且焦距为2，为第一象限内上的动点，过点作斜率为，的直线分别与交于点，（均异于点），直线与轴交于点，为线段的中点，直线与轴交于点．
（1）求的方程；
（2）当时，求点的横坐标．
21. 已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有．定义数列，其中，．当时，称数列具有性质．
（1）判断下列数列是否具有性质；
①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．
（2）已知数列具有性质，求的最小值；
（3）是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由．
青少年组
中年组
老年组
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
第一款
40
20
80
20
20
20
第二款
30
30
60
40
30
10
第三款
50
10
80
20
10
30