北京市海淀区2025_2026学年高三数学上学期期中练习试题含解析

这是一份北京市海淀区2025_2026学年高三数学上学期期中练习试题含解析，共20页。
效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 设全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次不等式求集合 B，再结合题设韦恩图确定阴影部分的集合.
【详解】因为 ，
所以阴影部分的集合为 ，
故选：A
2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义得到 ，再利用共轭复数的概念和复数的乘法计算法则即可得到答
案.
【详解】由题意得 ，则 .
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故选：D.
3. 已知向量 ， 在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为 1，则
（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】直接建立平面直角坐标系，再根据向量的坐标运算可得.
【详解】建立平面直角坐标系可得， ， ，
所以 ，所以 .
故选：A.
4. 设 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对 A 反例即可；对 B 和 C 利用不等式性质即可判断；对 D，去绝对值，再比较大小即可.
【详解】对于 A： ，则 ，则 ，故 A 错误；
对于 B： ，所以 ，B 错误：
对于 C：因为 ，所以 ，所以 ，C 错误；
对于 D，由题知 ，又因为 ，则 ，即 ，
故 D 正确，
故选：D
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5. 函数 （ ）
A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值
C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值
【答案】B
【解析】
【分析】先换元设 ，再应用指数函数的值域及二次函数单调性计算求解.
【详解】因为函数 ，
设 ，
当 函数单调递减，当 函数单调递增，
所以当 时，函数取最小值 ，函数无最大值.
故选：B.
6. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A. 是偶函数 B.
C. 是奇函数 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得 ，结合导数确定正确答案.
【详解】函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到函数 ，则 是奇函数，A 选项错误.
，B 选项正确.
为偶函数，C 选项错误.
，D 选项错误.
故选：B
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7. 函数 的图象可能是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性排除 AB，再利用函数单调性或是极限值即可排除 D.
【详解】 ，定义域为 ，关于原点对称，
当 时，则 ，且 ，显然图中没有符合的，
当 时， ，其既不恒等于 ，
也不恒等于 ，则其不具有奇偶性，即为非奇非偶函数，故 AB 错误；
当 时，取 的情况，此时 ，则 ，则 CD 图象不适合，
则只考虑 的情况，
当 时，取 的情况，此时 均在 上单调递减，则 在 上
单调递减，故 D 错误，
从极限角度考虑则当 ，且 时，此时 ，则 ，故 D 错误.
故选：C.
8. 已知角 ， 是象限角，则“存在 ，使得 ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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【答案】C
【解析】
【分析】根据正切函数的性质及充分必要条件的定义可得.
【详解】因角 ， 是象限角，且 ，正切函数的最小正周期为 ，且为奇函数.
所以 ，即 .所以充分性成立.
反过来，当 ，即 ，
根据正切函数的性质可得，存在 ，使得 ，即 .
所以必要性成立.所以“存在 ，使得 ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
9. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如
果把这种方法写成公式，就是 ，其中 ， ， 是三角形的三边， 是三角
形的面积．若 ，则（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
【答案】A
【解析】
【分析】对 A，C 选项可用基本不等进行判断得出，对 C，D 选项除了用基本不等式判断，还要结合能够成
三角形来判断即可.
【详解】当 时， ，再由 ，且 .
所以 ,
当且仅当 时，即 等号成立.所以 时， ，故 A 正确，C 错误；
当 时， ，再由 ，且 .
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所以 ，
当且仅当 时，即 等号成立.也就是说当 时 ，
但满足 ， 的条件三边有可能不能够成三角形，如 ，
故 选项的结论不具有普遍性，故 B 错误，D 错误.
故选：A
10. 已知数列 满足 ， ， 为 的前 项和，则下列结论错误的是
（ ）
A. 存在 ，使得 成立
B. 存在 ，使得 且 对任意 成立
C. 对任意 ，存在 ，使得 成立
D. 对任意奇数 ，存在 和 ，使得 成立
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设有 且 ，对于 从第二项开始符号不定，再结合各项的描述，应用特例
法，对不同项赋予不同符号的组合判断各项的正误即可.
【详解】由题设 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 ，且 ，
对于 A：若 ， ， ，此时 ，对；
对于 B：存在数列 ，使得对任意 ，都有 且 成立，
此条件等价于 且 对任意 成立，
构造数列 ，该数列满足 ， ，
此时 ， ，满足条件，故 B 正确；
对于 C：当 时， 成立；
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当 时，通过选择前 项符号为正且第 项符号为负，则 ，故 C 正确；
对于 D：当 时， ，
当 时， （其中 ）。
由于 ，令括号内为 ，
因为 为奇数，后续项为偶数，所以 必为奇数，
则 为一个 2 倍的奇数，即该数能被 2 整除但不能被 4 整除。所以 ，其形式为
型奇数，
因此， （ ）不可能等于 型的奇数，例如 ，又 ，
故不存在 使得 ，所以 D 错误。
故选：D
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11. 函数 的定义域是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用对数函数和二次根式的性质建立不等式组，求解参数即可.
【详解】由题意得 ，解得 .
故答案为：
12. 已知等差数列 中， ，且 ，则 的公差 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式即可即可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 .
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故答案为：2.
13. 若向量 ， ，则 ______； ______．
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】根据数量积的坐标运算及夹角公式直接计算可得.
【详解】因 ， ，所以 .
又 ， ，
所以 ，且 ，所以 .
故答案为 ； .
14. 设函数 若存在点 在函数 的图象上，则 的一个取值为______，
的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用分段函数性质结合题意求解第一空，结合一元二次方程性质求解第二空即可.
【详解】当 时，将点 代入 ，
得到 ，解得 ，则 一个取值为 ，
当 时，满足 ，则 ，
由题意得此方程在 上有解，得到 ，解得 ，
则 的最小值为 .
故答案为：1；0
15. 某社区内有一扇形草坪如图．，扇形的半径 为 60 米， ．甲从圆心 出发，沿 以每
秒 1 米的速度向 慢走，同时乙从 出发，沿 以每秒 米的速度向 慢跑．若经过 秒，
甲和乙所在位置分别为 和 ，记 的长度为 米．给出下列四个结论：
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①当 时， ；
②函数 在区间 上单调递增；
③方程 在区间 上恰有一个根；
④若函数 在 处取得最小值，则 ．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】先根据甲、乙的运动速度和时间得出 的表达式，再利用余弦定理求出 的表达式，
结合导数逐一分析各个结论后可得正确的选项.
【详解】由题意得， .
在 中， ，
根据余弦定理 ，
可得 .
结论①：
当 时， ，
故 ，即 ，所以①正确；
结论②：
设 ，则 .
当 时， ，
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故 ，而 ， ，
故 ，即 在 上单调递增，
所以 在 上也单调递增，所以②正确；
结论③：
若 ，则 ，
化简可得 .
设 ，则 .
当 时， ，故 ，
故 ，故 在 单调递增，且 ，
所以 在 上无零点，即方程 在区间 上无根，所以③错误；
结论④：因为 ，其中 ，
设 ， ，
则 ，
当 ，故 ，故 ，
故当 时 ，
当 ，故 ，故 ，
故 ，
故当 时 ，
故 在 上单调递增，而 ， ，
故存在 ，使得 ，
且当 时， ，当 时， ，
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故 在 取最小值，即 在 取最小值，其中 ，
故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若 ，且 是函数 的一个零点，直线 是曲线 的一条对称轴，求
的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式与二倍角公式化简原函数，再结合整体代入法求解单调区间即可.
（2）利用正弦函数的性质求出 和 ，最后求出 即可.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，
令 ，
解得 .
【小问 2 详解】
因为 是函数 的一个零点，
所以 ，而 ，则 ，
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可得 ，解得 ，
因为直线 是曲线 的一条对称轴，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以令 ，得到 ，
故
17. 已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）求 的通项公式；
（3）若 的各项都为正数，记 ，求 ．
【答案】（1） 或
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法求解参数即可.
（2）利用前 项和与通项公式的关系求解通项公式即可.
（3）结合题意确定 ，再结合指数幂的性质和等差数列求和公式求解即可.
【小问 1 详解】
对于 ，令 ，
可得 ，解得 或 .
【小问 2 详解】
当 时， ，此时 ，
则 ，
当 时，则 ，可得 ，
得到 ，即 ，
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则 ，化简得 ，
可得 是以 为首项， 为公比的等比数列，
故 .
【小问 3 详解】
因为 的各项都为正数，所以 ，
则 .
18. 已知函数 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
唯一确定，求：
（1）曲线 在点 处的切线方程；
（2）函数 的单调区间．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，本题得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
分．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意求出 的解析式，再结合导数的几何意义求解切线方程即可.
（2）利用导数 性质结合函数的定义域求解单调区间即可.
【小问 1 详解】
选择条件①，可得 ，
此时无法使得 唯一确定，故排除，
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选择条件②，可得 ，解得 ，
选择条件③，因为 ，所以 ，
可得 ，解得 ，
故选择条件②或条件③可使得 唯一确定，且 在两种情况下一致，
故 ， ，定义域为 ，
而 ， ，则切线方程为 .
【小问 2 详解】
由已知得 ， ，
令 ， ，令 ， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上，单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
19. 某城市公园计划将园内三角形区域 （如图）．建造为多功能区，其中 米， 米，
．
（1）求 的长度；
（2）公园拟在 边上设置休息点 与 ， 不重合．，同时将 ， ， 修建为三种不同功能的
AI 智慧步道，其每米造价分别为 0.1 万元，0.2 万元，0.3 万元．记 ，三段 AI 智慧步道的造价
总和记为 （单位：万元）．
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①将 表示为 的函数；
②若 不超过 48 万元，求 的最大值．只需写出结论．
【答案】（1） ；
（2）① ，其中 ；② .
【解析】
【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；
（2）①利用正弦定理分别求出 ， ，从而得到 表达式，再写出 的
表达式，最后求出 范围即可；
②根据 解得 ，再结合 即可得到 的最大值.
【小问 1 详解】
在三角形 中，
由余弦定理 ，
代入，得到 ，
解得 ．
【小问 2 详解】
① ，则
因为 ，
所以 ，
在三角形 中，由正弦定理 ，
所以 ， ，
又 ，
所以 ，其中
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．
②若 ，即 ，即 ，即
因为 ，因此只需 ，化简得 ，
则 ，当 ，则 ，
则 ，解得 ，
再考虑到 ，其中 ， ，
故 的最大值为 ．
20. 已知函数 有两个极值点 ．记 ， ．
（1）若点 在直线 上，求 的值；
（2）若函数 的图象上存在点 ，使得 是以 为顶点的等腰三角形，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对 求导，然后解方程 ，找到函数 的极值点，利用点 A 在直线 上
这一条件，可以建立关于 a 的方程，从而求解 a 的值；
（2）先求出 A，B 两点的坐标，再根据 是以 P 为顶点的等腰三角形得到 ，然后通过距离公
式可得 ，则所求问题转化为：当 时， 有实数解，求 的范围．令
，利用导数研究其单调性及最值，结合零点存在性定理列出不等式求解 a 的取值范围．
小问 1 详解】
，得 ，
令 ，即 ，
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∵函数 有两个极值点
∴方程 有两个不等的实根，则 ，
∴解方程得 ．
因为点 在直线 上，所以 ，
即 ，
解得 ．
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，其中 ，
则 ，
，
所以 ， ，
设 ，因为 是以 为顶点的等腰三角形，所以 ，
则 ，
展开并化简可得： .
即所求问题转化为：当 时， 有实数解，求 的范围.
令 ， ，
令 ，所以 ，其中 ，
当 时， ， 单调递增，
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当 时， ， 单调递减，
因此，当 时， 有极大值，也是最大值，
且 ，
当 时， ， ， ， ，
当 时， ， ， ， ，
要使 有实数解，则 ，
因为 ，所以 ，解得 .
因此， 的取值范围是 ．
21. 给定正整数 ，已知 是一个 行 列的数表，其中
．若数表 同时满足如下三个性质，则称数表 具有性质 ：
①对任意 ，有 ；
②对任意 ，且 ，有 ；
③对任意 ，有 ．
（1）判断数表 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）若数表 具有性质 ，求 的最小值；
（3）若数表 具有性质 ，记 ，求 的最大值
（ 表示集合 中最大的数， 表示集合 中的元素个数）．
【答案】（1）不具有；
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（2）5； （3） 最大值 .
【解析】
【分析】（1）取 ，验证即可；
（2）求出数表元素总和为 ，再求出 ，再构造出 时的数表即可；
（3）分 讨论即可.
【小问 1 详解】
数表 不具有性质 ，
因为取 ，则有 ，不满足条件③．
【小问 2 详解】
由①②知数表中的元素总和为 ．
设 ，
又由③，有 ，解得 ．
又当 时，可构造数表 具有性质 ，
所以 的最小值为 5．
【小问 3 详解】
当 时，由（2）知 ，
所以 的最大值为 ．
当 时，
因为 ，所以 ．
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若 ，则 ，矛盾．
所以 ．
所以 ．
当 时，若 ，则 ，
此时 ，矛盾．
所以 ．
又可构造数表 具有性质 ，且 ，
所以 的最大值为 7．
当 时， ，则
当 时，所有数和为 ，
若 时， ，
则所有数之和 ，矛盾舍去，
所以 ，此时 ，
若 ，则 ，
所以当 时， 最大值为 ，
综上所述， 最大值为 .