第12章 函数与一次函数【章末复习】-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

第 12 章 函数与一次函数 章末复习幻灯片 1：封面标题：第 12 章 函数与一次函数 —— 章末复习副标题：梳理知识脉络，突破重难点，提升综合应用能力配图：包含函数定义、一次函数图像、函数应用场景的知识框架示意图署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：本章知识框架（思维导图） 幻灯片 3：核心知识点 1—— 函数的基本概念一、关键定义回顾变量与常量：在变化过程中，数值发生变化的量叫变量（如行驶里程\(x\)），数值不变的量叫常量（如单位里程费用）函数定义：对于两个变量\(x\)、\(y\)，若给定一个\(x\)值，有唯一确定的\(y\)值与之对应，则称\(y\)是\(x\)的函数（\(x\)为自变量，\(y\)为因变量）自变量取值范围：解析式有意义：分式分母≠0，二次根式被开方数≥0（本章以整式为主，\(x\)可取全体实数）实际问题：需符合实际意义（如时间\(x≥0\)，人数为正整数）二、函数的三种表示方法对比表示方法优点适用场景解析式法准确反映变量关系，便于计算需精确求解函数值（如\(y=2x+3\)）列表法直观展示部分对应值变量取值有限或规律明显（如日历中的日期与星期）图像法直观体现函数增减性、交点等特征分析函数变化趋势、解决实际决策问题三、易错点警示误认为 “多个\(x\)对应一个\(y\)” 不是函数（如\(y=x^2\)，多个\(x\)对应一个\(y\)，仍为函数）忽略实际问题中自变量的取值范围（如 “购买商品的数量” 不能为负数或小数）幻灯片 4：核心知识点 2—— 一次函数的图像与性质一、一次函数与正比例函数的关系函数类型解析式图像特征性质联系正比例函数\(y=kx\)（\(k≠0\)）过原点\((0,0)\)的直线\(k>0\)：从左到右上升；\(k0\)：\(y\)随\(x\)增大而增大；\(k0\)→\(m-2>0\)→\(m>2\)；\(b>0\)→\(3-m>0\)→\(m0\)函数图像在\(x\)轴上方对应的\(x\)范围（\(x>-b/k\)）一元一次不等式（\(k>0\)）\(kx+by_2\)，结合图像（\(y_1\)上升，\(y_2\)下降），\(x>2\)；\(y_1=0\)→\(2x-1=0\)→\(x=0.5\)，此时\(y_2=-0.5+5=4.5\)。幻灯片 6：核心知识点 4—— 一次函数的实际应用（分段函数与双函数）一、分段函数问题（阶梯计费）解题步骤：确定分段分界点（如电费的 100 度、出租车的 3 公里）；分区间写出函数解析式（注意每段的\(k\)和\(b\)）；结合自变量取值，代入对应解析式计算；绘制图像（注意分界点的虚实：包含端点用实心，不包含用空心）。示例：某市出租车收费标准：3 公里内 8 元，超过 3 公里后每公里 1.5 元，写出车费\(y\)与行程\(x\)的函数解析式：\(y=\begin{cases}8 & (03)\end{cases}\)二、双函数实际问题（方案决策）解题步骤：设自变量\(x\)（如通话时间、行驶里程），因变量\(y_1\)、\(y_2\)（两种方案的结果）；分别建立\(y_1=k_1x+b_1\)、\(y_2=k_2x+b_2\)的函数模型；联立\(y_1=y_2\)，求临界值\(x_0\)（两方案结果相等的点）；分区间（\(xx_0\)）分析最优方案。示例：A、B 两种手机套餐：A 套餐月租 40 元，通话 0.2 元 / 分钟；B 套餐月租 60 元，通话 0.1 元 / 分钟。当每月通话超过 200 分钟时，B 套餐更划算（临界值\(x_0=200\)分钟）。幻灯片 7：本章重难点突破（易错点专项）一、易错点 1：一次函数的定义判断错误示例：认为\(y=kx\)（未说明\(k≠0\)）是正比例函数，\(y=kx+b\)（未说明\(k≠0\)）是一次函数；纠正：一次函数与正比例函数的核心是\(k≠0\)（若\(k=0\)，则\(y=b\)是常函数，不是一次函数）。二、易错点 2：函数自变量取值范围错误示例：求\(y=\frac{1}{x-2}\)的自变量范围时，忽略\(x≠2\)；求 “购买\(x\)支笔” 的\(x\)范围时，允许\(x\)为负数或小数；纠正：解析式需保证有意义（分式分母≠0、根式被开方数≥0），实际问题需符合现实（如数量为非负整数）。三、易错点 3：一次函数图像平移错误示例：将\(y=2x+3\)向右平移 2 个单位，错误写成\(y=2x+3-2=2x+1\)；纠正：左右平移改变的是自变量\(x\)，需写成\(y=2(x-2)+3=2x-1\)（遵循 “左加右减自变量”）。四、易错点 4：双函数问题的区间分析错误示例：忽略实际问题中自变量的分段（如通讯套餐的免费分钟数），直接建立单一函数；纠正：先判断是否存在 “分段节点”，再分区间建模，确保每个区间的函数解析式符合实际规则。幻灯片 8：综合题型演练（中考真题改编）题目 1：一次函数性质与图像结合已知一次函数\(y=kx+b\)的图像经过点\(A(1,3)\)和\(B(-2,-3)\)，回答下列问题：求该一次函数的表达式；若该函数图像与\(x\)轴交于点\(C\)，与\(y\)轴交于点\(D\)，求\(\triangle OCD\)的面积；将该函数图像向上平移 4 个单位，求平移后的函数表达式。解析：代入两点得\(\begin{cases}k+b=3 \\ -2k+b=-3\end{cases}\)，解得\(k=2\)，\(b=1\)，表达式为\(y=2x+1\)；与\(x\)轴交点\(C(-0.5,0)\)，与\(y\)轴交点\(D(0,1)\)，面积\(S=\frac{1}{2}×0.5×1=0.25\)；向上平移 4 个单位，表达式为\(y=2x+1+4=2x+5\)。题目 2：一次函数与实际决策某书店销售两种笔记本：A 种笔记本每本 5 元，B 种笔记本每本 8 元。书店推出两种优惠方案：方案 1：购买 A 种笔记本超过 10 本后，超出部分按原价的 8 折付款，B 种笔记本无优惠；方案 2：购买所有笔记本按原价的 9 折付款。设购买 A 种笔记本\(x\)本（\(x>10\)），B 种笔记本 10 本，总费用为\(y\)元。分别写出两种方案下\(y\)与\(x\)的函数表达式；当\(x\)为何值时，两种方案的总费用相等？若购买 A 种笔记本 20 本，哪种方案更划算？解析：方案 1：\(y=10×5 + 0.8×5(x-10) + 10×8 = 4x + 100\)；方案 2：\(y=0.9×(5x + 8×10) = 4.5x + 72\)；联立\(4x + 100 = 4.5x + 72\)→\(x=56\)（本）；\(x=20\)时，方案 1 费用\(4×20+100=180\)元，方案 2 费用\(4.5×20+72=162\)元，方案 2 更划算。幻灯片 9：本章总结与复习建议一、知识总结核心脉络：函数定义→一次函数的图像与性质→一次函数与方程、方程组、不等式的关系→实际应用（分段函数、双函数）；核心思想：数形结合（用图像分析函数性质、方程解、不等式解集）、分类讨论（分段函数、双函数区间分析）、数学建模（实际问题转化为函数模型）。二、复习建议基础巩固：梳理每个知识点的定义、公式、规律，确保无概念漏洞（如一次函数的\(k≠0\)、自变量取值范围）；错题整理：针对易错点（如平移规律、分段建模），整理典型错题，分析错误原因，避免重复犯错；综合提升：多做实际应用类题目，练习 “从问题中提取变量→建立函数模型→求解并解释结果” 的完整过程；图像辅助：遇到函数性质、方程与不等式关系的题目，优先绘制图像，借助几何直观简化问题。幻灯片 10：作业布置基础题复习教材第 12 章所有知识点，整理思维导图；完成教材 PXX 章末复习题 1-8 题（巩固基础概念与性质）。提升题已知一次函数\(y=kx+b\)与\(y=-x+2\)平行，且经过点\((3,4)\)，求该函数表达式，并求其与\(x\)轴的交点坐标；某快递公司收费标准：1kg 内 10 元，超过 1kg 后每 0.5kg 收费 3 元（不足 0.5kg 按 0.5kg 计算），写出运费\(y\)与包裹重量\(x\)（\(x>1\)）的函数解析式，并计算 3.2kg 包裹的运费。拓展题结合生活实际，设计一个 “双函数决策问题”（如购物优惠、出行方式选择），并完成建模与方案分析，下节课分享。【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 知识体系函数表示方法列表法一次函数解析法图象法图象和性质与方程、不等式的关系应用复习回顾1.变量与常量某一变化过程中_____________的量叫作变量.某一变化过程中_________的量叫作常量.不断发生变化保持不变2.函数一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x，y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 练一练1.下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）A. 长方形的宽一定，其长与面积B. 正方形的周长与面积C. 等腰三角形的底边长与面积D. 圆的周长与半径C2.函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ）A. x＞3 B. x＜3 C. x≤3 D. x≥-3B1.函数表达式画图像的步骤1.列表：列出自变量与函数的一些对应值.2.描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点.3.连线：按照自变量的大小顺序，把所描各点用平滑的曲线依次连接起来.描出的点越多，描绘的图象误差越小2.函数的三种表示方法通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法用数学式子表示函数关系的方法能够具体反映自变量的值与函数值的对应关系能够准确地反映函数与自变量间的数量关系用图象来表示两个变量间的函数关系的方法直观、形象，容易从中了解函数的变化情况1.一次函数与正比例函数的概念02.一次函数的图象与性质正半轴负半轴原点第一、二、三象限第一、三、四象限第一、三象限y的值随着x值的增大而增大正半轴负半轴原点第一、二、四象限第二、三、四象限第二、四象限y的值随着x值的增大而减小1.一次函数 y = －5x + 2 的图象不经过第______象限.2.点(－1，y1)，(2，y2)是直线 y = 2x + 1上两点，则 y1____ y2.练一练三＜3.如图，一次函数y=(m－3)x－m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A，B.(1)求m的取值范围；3.如图，一次函数y=(m－3)x－m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A，B.(2)若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的表达式.解：将一次函数y=(m－3)x－m+1的图象向上平移4个单位长度后得到的是函数y=(m－3)x－m+5的图象.由题意，得－m+5=0，解得m=5，所以m－3=5－3=2，所以这个正比例函数的表达式为y=2x.设：设一次函数的一般形式 ；y=kx+b(k≠0)代：将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的 方程组；二元一次解：解二元一次方程组得k，b；写：把k，b代入所设解析式中，写出解析式.练一练如图，经过点A(－2，0)的直线l1：y=kx+b与直线l2：y=－x+1交于点P(－1，a)，直线l2与y轴交于点C，与x轴交于点B.(1)求直线l1的表达式；解：(1)把P(－1，a)带入y=－x+1，得a=2，则点P的坐标为(－1，2).把A(－2，0)， P(－1，2)分别带入y=kx+b，所以直线l1的表达式为y=2x+4.如图，经过点A(－2，0)的直线l1：y=kx+b与直线l2：y=－x+1交于点P(－1，a)，直线l2与y轴交于点C，与x轴交于点B.(2)求四边形PAOC的面积.(2)因为直线y=－x+1交x轴于点B，交y轴于点C，所以易得B(1，0)，C(0，1)，所以OB=1，OC=1.因为A(－2，0)，所以AB=3.因为P(－1，2)，所以|yp|=2.  练一练1.一次函数与一元一次方程一次函数 y = kx + b中，y = 0 时 x 的值求直线 y = kx + b与 x 轴交点的横坐标从“函数图象”看从“函数值”看2.一次函数与一元一次不等式y = kx + b 的值大于(或小于) 0 时，x 的取值范围确定直线 y = kx + b在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x取值范围从“函数图象”看从“函数值”看3.一次函数与二元一次方程二元一次方程ax+by+c=0(ab≠0) 一一对应相互转化解一条直线以解为坐标的点组成的图象直线上点的坐标是方程的解无数多组图像4.一次函数与二元一次方程组二元一次方程组的解两个一次函数所在直线的交点坐标对应5.图象法解二元一次方程组的步骤 练一练A.(－1，－2) B.(1，2) C. (2，1) D.(－2，－1)B2. 如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=kx+b (k≠0)相交于点P(m，5)，则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为_______.x ≤4利用一次函数进行方案决策①从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；②列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系；③结合实际需求，选择最佳方案.1.求下列函数中自变量x的取值范围：(1) y =1－ x ；(2) y = 2(x－1) 2； 解：(1)x可取全体实数. (2)x可取全体实数.(3)x ≠－1. (4)x可取全体实数.2.小李某天上午9:00骑自行车离开家，15:00回到家. 如图，图象描述了他离家的路程s与时间t的变化关系.(1)10:00和13:00时，他分别离家多远？(2)他何时开始到达离家最远的地方？离家多远？(3)11:00到12:00他骑行了多少千米？(4)他在哪些时段休息了？(5)他返程回到家的平均速度是多少？解：(1)10:00时，他离家10km远；13:00时，他离家30 km远.(2)他到达离家最远的地方时，时间是12:00，他离家最远30 km.(3)13 km.(4)他可能在 12:00~13:00这段时间内休息，并吃午餐.(5)15 km/h.3.已知一次函数y=(m－2)x+3－m(m为常数)．求m分别为何值时，下列各结论成立：(1)у随x的增大而减小；(2)函数的图象经过原点；(3)函数的图象不经过第三象限。解： (1)my2， y1 = y2 ， y1 < y2 ？(3)求三角形ABP的面积. 11.甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地向B地行进，两地之间的距离是60km，他们行驶的路程y km与时间x h的函数关系如图所示，请根据图象回答：(1)甲和乙的速度分别是多少？(2)两人相遇的时候，距B地还有多远？(3)乙比甲晚多久出发，又早到多久？解：(1) 10 km/h；40 km/h. (2)20 km. (3)3 h；1.5 h.1.在同一平面直角坐标系中，画出直线3x -y-2=0和直线2x -y+3=0.利用图象求：(1)方程3x -2=2x+3的解； (2)方程组 的解；(3)不等式3x -2>2x+3的解集.x =5x ＞52. 已知直线x-2y = -k+6和直线x+3y=4k+1，其中k为常数，如果两直线的交点在第四象限内，求k的取值范围.解：-4＜k ＜13.两个一次函数表达式写成如下形式，直线l1：y=k1x+b1，直线l2：y=k2x+b2. 问当k1，k2，b1，b2分别有何关系时，直线l1与l2相交、平行、重合？解：当k1 ≠k2时相交；当k1=k2但 b1 ≠ b2时平行；当k1 =k2 且 b1 =b2时重合. 解：(1)互相垂直. (2)互相垂直.5.若某种产品在市场上的供给量q1(单位：万件)与价格p(单位：万元)之间的关系为p-4q1-5=0，需求量q2(单位：万件)与价格p(单位：万元)之间的关系为p+ q2-25=0，试求达到市场的供需平衡点(即供给量和需求量相等的点)时该产品的价格.解：达到市场的供需平衡点时，该产品的市场价格为21万元.6.一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元. 在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件.(1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式；(2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？解： (1)y= -400x+26000(0