河北省唐山市重点高中2026届高三上学期11月期中考试 数学试卷（含答案）

这是一份河北省唐山市重点高中2026届高三上学期11月期中考试 数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．或
2．焦点在轴上的双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．“样本数据的平均数为8”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．已知圆锥的母线长为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）．
A．B．C．D．
5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量的起点和终点均在格点上，则向量在向量上的投影向量为（ ）

A．B．C．D．
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
8．在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知实数满足，复数，则（ ）
A．为纯虚数B．的虚部为
C．D．
10．声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，则（ ）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，是的极值点
C．当时，曲线的对称中心在直线上
D．当时，的所有零点都小于0
三、填空题
12．设等差数列的前项和为，若，，则 .
13．已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是 .
14．将1，2，3，4，5，6随机填入如图所示的三角形图形中的 6 个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为 .
四、解答题
15．记的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
16．甲､乙两人共同参加某公司的面试，面试分为初试和复试，若初试不通过，则不用参加复试，复试通过则被录用，否则不被录用.已知甲通过初试和复试的概率分别为，乙通过初试和复试的概率均为，两人是否通过面试相互独立.
（1）求甲､乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率；
（2）设两人中被录用的人数为，求的分布列及数学期望.
17．已知抛物线的焦点为，为上的一个动点（不与坐标原点重合），设．
（1）求的方程；
（2）过作的切线，过作的垂线交于点，求的最小值．
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.
（1）求四棱锥体积的最大值；
（2）设，为线段上的动点.
①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；
②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设m，n是两个不相等的正数，且，证明：.
参考答案
1．D
【详解】，
或，
则或.
故选：D.
2．A
【详解】设焦点在轴上的双曲线的标准方程为，又离心率为2，
所以，所以，所以，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
3．B
【详解】由样本数据的平均数为8，得，解得，
当时，；
由，知必有成立，不等式，因此，
所以“样本数据的平均数为8”是“”的充分不必要条件.
故选：B
4．A
【详解】设圆锥的底面半径为，
则，解得，
所以该圆锥的表面积为.
故选：A.
5．A
【详解】（方法一）如图，建立平面直角坐标系，

可得，则，
向量在向量上的投影向量为.
（方法二）向量在向量上的投影向量等于向量在向量上的投影向量加上向量在向量上的投影向量，
根据投影向量的概念可知向量在向量上的投影向量为，
向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
6．D
【详解】由可得，即，
由题意可得，解得，
所以.
因此.
故选：D.
7．A
【详解】由对数的运算性质，可得，
则；
又由，则，
因为，可得，所以，所以.
故选：A.
8．B
【详解】因为是等比数列，所以，又，
所以和是方程，的两根，解得或，
若递增数列，则，，因为，
所以，解得，
所以，解得；
若是递减数列，则，，
因为，所以，解得，
所以，解得，
综上，数列的项数等于
故选：B
9．BC
【详解】因为，所以，则，A错误；
，的虚部为，B正确；，C正确；
，D错误.
故选：BC
10．AB
【详解】由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，，
或，，
AB选项满足题意，
故选：AB.
11．ACD
【详解】对A：当时，，
由，则当时，有或，解得，故A正确；
对B：当时，，则在上单调递增，
即无极值点，故B错误；
对C：当时，，，
则的图象关于直线对称，
有，
事实上有
，
即曲线的对称中心为，
故曲线的对称中心在直线上，故C正确；
对D：当时，，，
当，即时，
恒成立，则在上单调递增，
又，，
故存在唯一零点，且该零点小于；
若，即或时，
令两根分别为，且；
当时，，当时，，
即在、上单调递增，在上单调递减，
若，则，，即，
又，故当时，，故不存在非负零点；
若，则，，即，
有，即，
即，故，
则
，
又，故当时，，故不存在非负零点；
当时，，故存在负零点；
综上所述，的所有零点都小于，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】利用等差数列中的等差中项性质可知：，
由等差数列的通项公式可得：，
所以，
则，
故答案为：
13．
【详解】由椭圆方程得，，，设，
则：，；
由得： （1）；
又点在椭圆上，可得（2）；
（1）（2）联立消去得，；即；
故点到轴的距离是．
故答案为：．
14．
【详解】将1，2，3，4，5，6填入三角形图形中的6个圈中的填法共有6!种.
设每条边上的3个数之和为，则，
，所以，解得.
①当时，3个顶点所填的3个数只能为1，2，3，
如图（1）.此时共有填法种；
②当时，设3个顶点所填的3个数之和为，
则.
而，，，
则3个顶点所填的3个数只能为，或.
当3个顶点所填的3个数为时，
由于顶点分别填3，4的这条边上的3个数之和为10，
从而这条边中间只能填3，这与每个数恰出现一次矛盾，此时没有适合条件的填法，
同样道理，3个数为时也没有适合条件的填法，只能为1，3，5，
如图（2），此时共有填法种；
③当时，3个顶点所填的3个数应为2，4，6，此时共有填法种；
④当时，3个顶点所填的3个数应为4，5，6，此时共有填法种.
综上，满足条件的填法共有种，故所求的概率为.
图（1） 图（2）
15．（1）
（2）
【详解】（1）由及正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
因为，故.
（2）因为，即，
所以的面积为.
16．（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）记“甲､乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试”为事件A，
甲通过初试且没有通过复试的概率为，
乙通过初试且没有通过复试的概率为，
所以，
即甲､乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率为.
（2）由题意知的所有可能取值为.
甲被录用的概率为，
乙被录用的概率为，
所以，
，
，
则的分布列为
17．（1）
（2）9
【详解】（1）设的准线方程为，∴，又，可得，
即，，解得，∴的方程为.
（2）∵，∴点处的切线斜率为，∴直线斜率为，∴直线，
与联立可得，，解得，
即的横坐标为，∴的纵坐标为，
∴，时取等号．
18．（1）
（2）①；②
【详解】（1）设则，
所以四棱锥体积，.
所以：.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以四棱锥体积的最大值为.
（2）①以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，,
所以，，.
设平面的法向量为，则
.
令，则.
取平面的法向量.
因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.
所以.
因为，，所以.
②设，则，即，解得，
则，，此时平面的法向量，
所以点到平面的距离为：，
设四棱锥的外接球半径为，则,
所以平面截球所得的截面圆半径.
所以平面截球所得的截面面积为：.
19．（1）在上单调递增，在上单调递减
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）的定义域为
由，解得
所以当及时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递增
（2）法一：由题知不等式在上恒成立，
等价于不等式在上恒成立
设，
则，解得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以在上有最小值
①当时，因为，所以不等式恒成立：
②当时，因为，而，此时不满足恒成立；
综上所述，
法二：由题知不等式在上恒成立，
等价于不等式在上恒成立
即在上恒成立．
设，则，解得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以在上有最小值．
因为，所以，即
①当时，因为，所以不等式恒成立；
②当时，因为，而，此时不满足恒成立；
综上所述，
（3）证明：要证，只需证：
由，只需证：
不妨设，则有：；
两边取指数得，化简得
设，则
由（1）得在上单调递减，在上单调递增（如图所示），
要使且，
则，即，从而．
要证，只需证：
由于在上单调递增，只需证：，
又，只需证：
只需证：．
设，则
设，则在上单调递增．
所以，从而
所以在上单调递减，从而，则，
所以X
0
1
2
P