福建省福州第一中学2026届高三上学期11月期中考试 数学试卷（含答案）

这是一份福建省福州第一中学2026届高三上学期11月期中考试 数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．教室常常通风，有利于改善高三学习环境. 若教室内二氧化碳浓度在，则教室如同一般室外环境，若浓度介于之间，教室内则空气清新，呼吸顺畅，若高于浓度，则教室内空气浑浊，会使人开始觉得昏昏欲睡.经测定，某教室刚下课时，空气中二氧化碳浓度为，开窗通风后教室内二氧化碳浓度随时间（单位：分钟）的变化规律用函数（）描述，若要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风（ ）分钟.（参考数据）
A．B．C．D．
5．已知函数和的定义域都为，且图象都是连续不断的，则“和都是奇函数”是“存在最大值或存在最小值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知，均为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数若，，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．的图像关于点中心对称
C．的图像关于直线对称
D．将的图像向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数
10．已知函数，则（ ）
A．点为图象的对称中心
B．当时，有且仅有一个零点
C．过作曲线的切线有条
D．当时，在区间内单调递减
11．在中，，点满足，延长至点，使得.点在线段上，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的面积为
C．当时，四点共圆
D．当时，
三、填空题
12．已知，则 ．
13．在中，内角，，的对边分别是，，，且，则面积的最大值是 .
14．已知函数，，若与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知四边形的顶点坐标为、、，且.
（1）若点在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值.
16．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设的极大值是，求的最小值．
17．如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，．
（1）证明：平面；
（2）已知，，，四点均在球的球面上．
（i）求直线与直线所成角的余弦值；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值．
18．某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点．
（1）若，求的余弦值；
（2）若，求排水沟的长；
（3）若，试用表示4条人行道的总长度，并求出它的取值范围．
19．定义：若存在使得成立，则称为函数和的-平衡点，其中分别为的导函数．已知函数．
（1）若函数和存在-平衡点，求实数的最大值；
（2）若函数和存在3个不同的-平衡点，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
参考答案
1．C
解析：集合，，
则集合.
故选：C
2．D
解析：，
，实部为，虚部为1，不是纯虚数，故A错误；
，实部为1，虚部为1，不是纯虚数，故B错误；
，实部为2，虚部为0，不是纯虚数，故C错误；
，实部为0，虚部为，是纯虚数，故D正确．
故选：D．
3．C
解析：由题意，得，
所以，解得，
所以.
故选：C.
4．C
解析：由题知，当时，即，解得，所以，
令得，
所以要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风分钟.
故选：C
5．D
解析：当时，满足函数和的定义域都为，
且图象都是连续不断的，也满足“和都是奇函数”，
所以，
又函数和的定义域都为，且图象都是连续不断的，
所以函数定义域为，且图象是连续不断的，
所以函数是偶函数，
但因为函数，其函数值周期性出现，
于是函数的函数值在之间周期性震荡，如图所示，

所以“不存在最大值或存在最小值”，故充分性不成立；
当时，满足函数和的定义域都为，
且图象都是连续不断的，也满足存在最值，
但此时均不是奇函数，故必要性不成立.
所以“和都是奇函数”是“存在最大值或存在最小值”的既不充分也不必要条件.
故选：D
6．D
解析：法一：
因为，所以，
所以，
则，整理得，
所以，
又，均为锐角，所以，所以.
法二：
因为，所以，
所以，
所以，
即，
即，所以，
又，均为锐角，所以，所以，
故选：D．
7．D
解析：由题意知的最小值为，故，即．
当时，，不合题意；
当时，在上的最小值为，
为使为全局最小值，还需在上，
此时的下确界为3，故需，
解得，
综上，实数的取值范围为
故选：D．
8．B
解析：因，，则，
因函数与的零点完全相同，
则函数在上恰有个零点，等价于函数在上恰有个零点，
①若，即，则，
则不可能存在个零点；
②若，即，因为区间关于对称，
则，得
综上，的取值范围是.
故选：B
9．BC
解析：正弦函数的单调递增区间为，
令，解得，
在区间中，在上递增，在上递减，故A错误；
正弦函数的对称中心为，令，解得，
当时，，且，
，，
，满足中心对称条件，故B正确；
若的图像关于直线对称，则需满足，
，，
，故C正确；
设的图像向左平移个单位后得到函数，则，，
，故不是偶函数，故D错误．
故选：BC．
10．AB
解析：对于A选项，函数的定义域为，
，
所以，故点为图象的对称中心，A对；
对于B选项，，
，若，则，恒成立，
故在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得，
若，则，恒成立，
故在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得，
综上，有且仅有一个零点，B对；
对于C选项，设切点坐标为，切线斜率为，
所以切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，整理可得，
当时，该方程无解；
当时，可得，该方程有且只有一个解.
综上所述，过作曲线的切线至多一条，C错；
对于D选项，，因为，即，
所以，
当时，若，则，
在区间内单调递减，
若，则不能得到，此时在区间内不一定单调递减，
不妨取，此时，
令得，令时，，
所以在、上单调递减，在上单调递增，
不满足在区间内单调递减，D错误.
故选：AB.
11．AB
解析：设，，，，，
因为，则,故，
设，则，,
因为,
则即,
从而
化简，即，因为，
故解得.故.
又，故即
从而，
化简得，即，
，所以，.
对于A选项，因为，
,
故A选项正确.
对于B选项，因为，故即，
点在线段上，点到线段距离为定值，
故,
中，,.,
则,，
所以，
故B选项正确.
对于C选项，因为平面内三点确定一个圆，
因为，，，,所以为直角三角形，
故过的圆的圆心在线段的中点处，
若四点共圆，则圆与线段交点为，连接,,
可得,
又因为在中，，，
可得，故，
所以,为等边三角形，此时，
故C选项错误.
对于D选项，连接,当时
故，，
在中, ,,
,，
故，
又因为,
所以,所以,
故,
故D选项错误.
故选:AB.
12．/0.6
解析：，，
．
故答案为：．
13．
解析：由余弦定理可得，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
因为，在上单调递减，
所以，则，
所以的面积.
故答案为：.
14．
解析：因为与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，
所以方程有且仅有两解，
而，
设，即与图象有两个交点，
所以，
令，即；令，即.
所以函数在单调递减，在单调递增，且两边趋向正无穷，
所以，
所以要满足题意则.
故答案为：.
15．（1）因为、，所以.
设点的坐标为，，，则.
由，得，解得，
因为点在第一象限，所以，，则，解得.
故实数的取值范围是.
（2）由得，
即，所以.
因为，所以，
又点恰为四边形对角线的交点，
所以，则，
又，所以.
16．（1），定义域为，
求导得，
，令，解得或，
当时，，此时恒成立，故在上单调递增，
当时，，令，解得或，令，解得，
在上单调递减，在，上单调递增，
当时，，令，解得或，令，解得，
在上单调递减，在，上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在，上单调递增，
当时，取得极大值，即，
则，
，，
令得，解得，即，
令得，解得或（舍去），即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
的最小值为．
17．（1）方法1：，，，
又，，
，，，
又，，平面，平面，
平面．
方法2：如图，连接，，为的中点，
，又，，
，
又，，则，，
又，，平面，平面，
平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面．
（2）（i）由（1）知，平面，在平面内过点作交于，
则，，两两垂直，如图所示，以为原点，，，分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
，，，，，，
设，，
，
解得，，
点的坐标为，故，
，
设直线与直线所成角为，
，
直线与直线所成角的余弦值为．
（ii），，，
设平面的法向量为，则，即，令，则，
设直线与平面所成的角为，
，
直线与平面所成的角的正弦值为．
18．（1）百米，百米，，
在直角三角形中，百米，
，，
又，，百米，
在等腰直角三角形中，百米，，，
．
的余弦值为．
（2）由（1）知，当时，，，
在中，，
（百米）．
排水沟的长为百米．
（3）设，，，、、分别为边、、的中点，
，百米，，
，百米，，
在中，由余弦定理得，
由正弦定理，得，，
连接，，，为边的中点，
，，
在中，，
由余弦定理得
，
在中，，
由余弦定理得
，
，.
令
在单调递增，
．
19．（1）函数的定义域为，．
函数的定义域为，
令，则；.所以.
由函数和存在-平衡点，知和存在-平衡点，所以存在实数使得成立，即存在实数使得成立.
令，当且仅当，即时，等号成立.
所以当时，取得最大值，最大值为.
实数的最大值为.
（2）若函数和存在3个不同的-平衡点，且，则有3个不同的解.
当即时，，所以是的一个解，此时.
所以当时，，即有2个不同的解.
令，则由（1）得：且.
，且.
令，则，所以单调递减.
因为 ，所以当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
当时，；当且时，，，所以；
当且时，，所以；
当时，，所以；
因此，的简图如下：
所以当时，有两个不同的解.
①所以实数的取值范围是.
②若且，则
如图可知：，且，所以.
要证，只需证，
即证，即证，
即证，
即证.
令，则，
令，则
令，则.
所以当时，，单调递减，所以，即.
所以单调递减，且，即.所以单调递减，所以.
即当时，.
因此，.
故得证.