四川省成都市第七中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省成都市第七中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=y y=2x+1 ，集合 B=y y=3−x2 ，则 A∩B= ( )
(A) −∞,1 (B) 1,3 (C) 1,3 (D) [3,+∞)
2. 已知复数 z 满足 i⋅z=1+i ，则 z= ( )
(A) 2 (B) 23 (C) 3 (D) 2
3. 五人排队，站成一排，其中甲、乙相邻，则所有的排队方法数为( )
(A) 120 (B) 48 (C) 24 (D) 12
4. 已知向量 a=2,x ，向量 b=3−2x,1 ，且 a⋅b=3 ，则 a+2b=1 ()
(A) 5 (B) 25 (C) 6 (D) 36
5. 已知 2x+15=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ，则 a1+a3+a5= ( )
(A) 244 (B) 243 (C) 122 (D) 121
6. 满足 a1=a2=1,an=an−1+an−2n≥3 的数列 an 叫做斐波那契数列,又称黄金分割数列. 其通项公式可以表示为: an=151+52n−1−52n . 则下列说法中错误的是 ( )
(A) a5=5
(B) 数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn=an+1 .
(C) 数列 bn=an+1an ,则数列 bn 满足递推关系: bn=1+1bn−1,n≥2,b1=1 .
(D) 对任意正整数 n,1+5n−1−5n5 一定是一个整数.
7. 已知 a>0,b>0 ，双曲线 H1:x2a2−y2b2=1,H2:y2b2−x2a2=1 互为“共轭双曲线”，下列说法错误的是( )
(A) 双曲线 H1 与 H2 的渐近线相同.
(B) 若 H1 的离心率为 e1,H2 的离心率为 e2 ,则 1e12+1e22=1 .
(C) 设 l 是经过原点的直线,则 l 不可能同时与 H1 和 H2 各有两个不同交点.
(D) 当 a=b 时,存在直线 l 过点 A2,2 ,与 H1 交于 C、D 两点,使得点 A 为线段 CD 的中点,此时直线 l 的方程为: x+y−4=0 .
8. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足对 ∀x∈R ,有 f1−x+f3+x=f2 ,且对 ∀x1≠x2 ,都有 fx1−fx2x1−x2>0 . 设 gx=fx+1+4x+ex−1−e1−x ,若对 ∀x∈0,+∞ ,都有 gxeax+ax+lnx≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围为 ( )
(A) −∞,−1e (B) −1e,+∞ (C) −∞,−2e2 (D) −2e2,+∞
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设 A,B 为两个相互独立的随机事件,且 PA∣B=16,PB=12 ,下列命题中,正确的是 ( )
(A) PA∣B=56 (B) PB∣A=12 (C) PAB=112 (D) PA∪B=1112
10. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=3 ,且 Sn=3Sn−1+2×3nn≥2 ,则下列说法正确的有( )
(A) Sn3n 是一个等差数列
(B) an4n 是一个等比数列
(C) 对 ∀n∈N∗,3an>2Sn .
(D) 数列 −3n+2anSnSn+1 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn=−23+−1n2n+1 .
11. 类比二倍角公式,我们也可以用 sinx 来表示 sin3x ，用 csx 来表示 cs3x ，下列说法中，正确的有( )
(A) ∀x∈R,sin3x=3sinx−4sin3x ,且 cs3x=4cs3x−3csx .
(B) 函数 fx=cs3x+cs2x+csx 的值域为 −1,3
(C) sinπ36+csπ36 是多项式 px=8x6−24x4+18x2−1 的一个零点.
(D) 设函数 gx=3x−4x3 ,数列 an,bn 满足 a12+b12=1 ,且 an∈0,12,bn∈32,1,an=gan+1 , bn=−gbn+1, ∀n∈N∗ . 若. 则 ∀n∈N∗,k=1nak−bk+10,sinπx+π6,xb>0 ，其中 a=3 ，离心率 e=23 .
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左、右顶点分别为 A1、A2,P 为椭圆上异于 A1、A2 的动点,记直线 PA1 的斜率为 k1 ，直线 PA2 的斜率为 k2 ,求证: k1⋅k2 为定值,并求出这个定值.
16. 如图所示，已知 △ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 asinB=−3bcsA .
(1)求角 A 的值；
(2)若点 D 是 △ABC 的外接圆上一点(不与 A 、 B 、 C 重合)，且满足 AB=3,AC=5,BD=7 ，求四边形 ABCD 的面积.

17. 已知等差数列 an 满足,对 ∀n∈N∗,an+3−an=6 . 且 a2=4 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)若数列 cn=an⋅3an ， Sn 为数列 cn 的前 n 项和，求证: 2Sn+1−332n+2 是递减数列.
18. 如图,在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为边长为 2 的正方形,平面 B1AC⊥ 平面 ABCD .
(1)若 AB1⊥A1B ，① 求证: AB1⊥B1C ；
② 求三棱锥 B1−ACD1 的体积的最大值.
(2)若 △ABC 的面积为 2 ，且 B1B 与平面 ACB1 所成角 30∘ . 求平面 BCC1B1 与平面 ABCD 所成角的大小.
19. 设函数 fx=tanx,gx=x+13x3 .
(1)求证: f′x=1+fx2 ;
(2)求证:对 ∀x∈0,π2,fx>gx ；
(3)若函数 Hx 的图象是一条连续的曲线,且满足: gx≤Hx≤fx ，对 ∀x∈0,π2 恒成立，则称函数 Hx 为“隔离曲线”. 是否存在一条曲线 Hx=ax2+bx+c,a≠0 ,使得 Hx 为“隔离曲线”？若存在，求 a 的取值范围； 若不存在, 请说明理由.
成都七中高 2026 届高三上学期数学半期考试参考答案及评分标准
一、选择题
8.【解析】由题意,令 x=−1 ,则 f2+f2=f2 ,所以 f2=0,fx 关于 2,0 中心对称,且函数在 R 上单调递增. 又因为 gx+g2−x=fx+1+4x+ex−1−e1−x+f3−x+42−x+e1−x−ex−1=8 ,所以 gx 关于 1,4 中心对称,又 4x−4+ex−1−e1−x 在 R 上单调递增,所以 gx 在 R 上单调递增.
若对 ∀x∈0,+∞ ,都有 gxeax+ax+lnx≤4 恒成立, 4=g1 ,所以 gxeax+ax+lnx≤g1 .
所以 xeax+ax+lnx≤1 对任意正实数 x 恒成立,所以 eax+lnx+ax+lnx≤1 ,记 hx=ex+x ,所以 hx 在 R 上单调递增,且 h0=1 . 于是 hax+lnx≤1 恒成立,等价于 ax+lnx≤0 对任意正实数成立. 即 −a≥lnxx ,对 ∀x>0 . 记 φx=lnxx ,则 φ′x=1−lnxx2 ,所以 φx 在区间 0,e 上单调递增,在 [e,+∞) 上单调递减,所以 −a≥φxmax=φe=1e . 所以解得: a≤−1e .
10.【解析】(A) Sn3n=Sn−13n−1+2 ,所以 Sn3n 是一个以 S13=a13=1 为首项,2 为公差的等差数列. 则 Sn=2n−1×3n . (A) 选项正确.
(B) 对任意 n≥2,Sn−1=2n−3×3n−1 ,所以 an=Sn−Sn−1=4n×3n−1 ,又 a1=3 ,所以 an=3,n=1,4n×3n−1,n≥2.所以 an4n 从第二项起才是等比数列, an4n 不是等比数列. (B) 选项错误.
(C) 当 n=1 时, 3a1=9>2S1=6 ; 对 ∀n∈N∗ ,且 n≥2,3an−2Sn=4n×3n−4n−2×3n=2×3n>0 ,所以 2an> 3Sn . 综上,对 ∀n∈N∗,2an>3Sn . (C) 选项正确.
(D) 记 bn=−3n+2anSnSn+1 ,则 b1=−1 ,
当 n≥2 时, bn=−3n+2×4n×3n−12n−1×3n×2n+1×3n+1=−1n×4n2n−12n+1=−1n12n−1+12n+1 ,
所以 n=1 时, T1=b1=−1 ,
当 n≥2 时, Tn=b1+k=2n−1k12k−1+12k+1=−1+13+15−15+17+…+−1n12n−1+12n+1 =−1+13+−1n2n+1=−23+−1n2n+1 ;
经检验, n=1 时符合通项,所以 Tn=−23+−1n2n+1 ,(D) 选项正确.
11.【解析】(A) sin3x=sin2x+x=sin2xcsx+cs2xsinx=2sinxcs2x+1−2sin2xsinx=2sinx1−sin2x+sinx− 3sin3x=2sinx−2sin3x+sinx−3sin3x=3sinx−4sin3x
cs3x=cs2x+x=cs2xcsx−sin2xsinx=2cs2x−1csx−2sin2xcsx=2cs3x−csx−21−cs2xcsx= 2cs3x−csx−2csx+2cs3x=4cs3x−3csx . 所以 (A) 选项正确.
(B) 根据三倍角公式, fx=4cs3x−3csx+2cs2x−1+csx=4cs3x+2cs2x−2csx−1 ,令 t=csx ∈−1,1 ,只需要求函数 gt=4t3+2t2−2t−1,t∈−1,1 的值域, g′t=26t2+2t−1 ,注意到 g0=−1 ,但 g′0=−2 ,所以 t=0 不是函数的极小值点,故函数最小值必定小于-1,所以 B 选项错误. 事实上,可以知道, gt 在区间 −1,−1−76 单调递增,在 −1−76,−1+76 上单调递减,在 −1+76,1 上单调递增,而且 g−1=−1,g1=3 ,设 6t02+2t0−1=0 ,则 t02=1−2t06 ,则 gt0=4t03+2t02−2t0−1=4t01−2t06+2t02−2t0−1 =−149t0−89 ,所以 g−1−76=77−1727∈0,1,g−1+76=−77−1727