江苏省无锡市江阴市三校联考2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

这是一份江苏省无锡市江阴市三校联考2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
已知集合 A  {4, 0,1, 2,8}, B  x∣x3  x, 则 A ∩ B ( )
A. {0,1, 2}B. {1, 2,8}C. {2,8}D. {0,1}
1  i
z
在复平面内，点 Z(1，﹣2)对应的复数为 z，则=()
A． 2B．
5
2C．
5
10D． 5
55
直线l1, l2 互相平行的一个充分条件是()
l1, l2 都平行于同一个平面B． l1, l2 与同一个平面所成的角相等
C． l1, l2 都垂直于同一条直线D． l1, l2 都垂直于同一个平面
3
5
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面上两点，定义 d(A，B)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为 A，B 的“直角距离”．若 d(A， B)＝2，则线段 AB 长度的最小值为()
2
​
​
C．2D．
已知an 是首项和公差均为 m 的等差数列，bn 是首项和公比均为 m 的等比数列，m  N  ，若an 的前
5 项和与bn 的前 4 项和都等于 S ，则 S =（）
A. 30B. 32C. 42D. 46
某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P(单位：mg/L)与时间(单位：h)间的关系为： P  P0ekt ，其中 P0，k 是正的常数．如果在前 5h 消除了 10%的污染物，则污染物减少 50%需要花费的时间为( )(精确到 1h，参考数据 lg0.90.5≈6.579)
A．30B．31C．32D．33
古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前 262～公元前 190 年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数 λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗
尼斯圆．已知点 O(0，0)，A(3，0)，动点 P(x，y)满足
切线的条数为()
 1 ，则点 P 的轨迹与圆 C：(x﹣2)2+y2＝1 的公
PO
PA
2
A．1B．2C．3D．4
已知 f  x 的导函数为 f  x ，当 x  0 时， f  x x ln x  f  x  0 ，则下列结论一定正确的是()
f 1  0B. f 2  0
f  x 在0,1 上单调递减D. 当 x  0 时， f  x  0
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AD＝AA1＝1，AB＝2，动点 E 在棱 AB 上，则 () A．D1E∥C1CB．D1E⊥A1D
C．三棱锥 D1﹣ECC1 的体积是定值D．若 D1E⊥EC，则 AE 长为 1
已知圆C : (x  2)2  y2  1 ，点 P 是直线 x  y  0 上一动点，过点 P 作圆C 的切线 PA ，PB ，切点分别是A
和 B ，下列说法正确的为 ()
圆C 上恰有一个点到直线l 的距离为 1
2
四边形 ACBP 面积的最小值为1
存在唯一 P 点，使得APB  90∘D．直线 AB 恒过定点( 3 ,  1 )
22
设函数 f(x)＝|sinx|＋|csx|，则 ()
A．f(x)的图象关于直线 x   对称
4
B．f(x)的一个正周期为 
2

C．f(x)的一个单调减区间是 3
7 

，
 24
D．函数 g x  f x6
2
在区间[m，n](m＜n)上有 2026 个零点，则 n﹣m 的最小值为 3037  .
6
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
→→→
，
如图，平面向量e1 ， e2 ，向量 a 的起点与终点均在正方形网格的格点上
→→→
请用基底e1 ， e2 表示 a = ．
若直线 l 为曲线 f(x)＝ex﹣1 与 g(x)＝lnx+1 的公切线，
则直线 l 的方程可以为．(写出符合条件的一个方程即可)
e2
函数 f x  xln x  ax
2
有两个零点，则实数a 的取值范围为.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13 分)已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上一点．
若焦距为4 2 ，点 P 的坐标为(﹣3，1)，求椭圆 C 的标准方程；
若，且△F1PF2 的面积为
3 ，求 b 的值．
2
16.(15 分)已知函数 f x  x3  a  2x2  bx  a2 在 x  1 处有极值为－2.(1)求a, b ；
n
(2)已知数列a 的前n 项和 S ，满足 S = 1 f n 2 ，记T  1 1
 3 
1, 求T
nnn3
a1a2
a2 a3
ana
n
n1
(15 分)如图，在四边形 ABCD 中，AB / /CD, DAB  90 ，F 为 CD 的中点，点 E 在 AB 上，EF //AD ， AB  3AD, CD  2 AD ，将四边形 EFDA 沿 EF 翻折至四边形 EFDA ，使得面 EFDA 与面 EFCB 所成的二面角为60 ．
证明: AB// 平面CDF ；
求面 BCD 与面 EFDA 所成的二面角的正弦值．
(17 分)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且1  sin 2 A  1  sin 2B ．
判断△ABC 的形状；
cs 2 A
cs 2B
设 AB＝1，且 D 是边 BC 的中点，当∠CAD 最大时，求△ABC 的面积．
(17 分)若有穷数列a (n  N * 且 n≥3)满足| a  a
| | a a
| (i  1，2，3 ， n  2) ，
n
则称数列{an } 为 M 数列．
判断下列数列是否为 M 数列，并说明理由；
ii 1
i 1
i  2
①1，2，4，3．②4，2，8，1．
已知 M 数列{an } 中各项互不相同．令bm | am  am1 | (m  1 ，2，3 ， n  1) ，求证：数列{an } 是等差数列的充分必要条件是数列{bm } 是常数列；
已知一个 M 数列{an } 是 m(m  N * 且m3) 个连续正整数 1，2，3 ， m 的一个排列．

m1
若| ak  ak 1 |  m  2 ，求m 的所有取值．
k 1
江阴市三校 2025-2026 学年度第一学期 12 月联合考试数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
D
A
A
B
C
D
题号
9
10
11
答案
BCD
BCD
ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.2 → +4 →13． y＝x（或 y＝ex﹣1）14.


 0，3 
e1e2
2e2 
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
解：（1）已知椭圆?： ?2 + ?2 = 1(?＞?＞0)的左、右焦点分别为 F ，F ，P 为椭圆 C 上一点，
?2?212
已知|?1?2| = 4√2，则2?? = 4√2，即?? = 2√2，1 分
?2?2
由于点 P（﹣3，1）在椭圆上，将其代入椭圆方程+
?2
?2 = 1(?＞?＞0)，
(−3)21291
?
可得：+= 1，即+= 1，2 分
?2?22?2
又因为 c2＝a2﹣b2，即 a2﹣b2＝8，
?2 − ?2 = 8
联立� 9 1 ，整理得：b4﹣2b2﹣8＝0，4 分
?2 + ?2 = 1
解得：b2＝4 或 b2＝﹣2（舍），5 分
所以 a2＝b2+c2＝4+8＝12，
?2
故椭圆 C 的标准方程为
12
?2
+
4
= 1；6 分
（2）因为∠? ??? = ??，
123
所以△F PF 的面积?? = 1 |??? ||??? | ⋅ ????? ?? = �3，8 分
1221232
则|PF1|•|PF2|＝2，根据椭圆定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a，9 分
根据余弦定理可得：|? ? |2 = |??? |2 + |??? |2 − 2|??? ||??? |?????? ??，
1 212
123
整理得：|? ? |2 = (|??? | + |??? |)2 − 2|??? ||??? | − 2|??? ||??? |?????? ??，11 分
1 212
12123
代入得：4c2＝4a2﹣6，即?2 − ??2 = ?2 = 3，
2
即得：? = �6．13 分
2
解：(1) f x  3x2  2a  2x  b
由题意得： f  1  3  2a  2x  b  0 化简得： b  2a  12 分
f  1   13  a  2 12  b 1 a2  2 化简得：  a2  a  b  3  03 分
a  1
联立方程代入求解得： 
b  3
a  2

或b  3
.5 分
当 a  1，b  3 此时 f x  3x  12 ，导数在 x  1 处不变号，不是极值点，舍去；6 分
当 a  2，b  3 此时 f x  3x  1x  1 ，导数在 x  1 处左右符号变号，是极值点。
 a  2, b  37 分
（列表格同样给分）
（2）解：由（1）得 f x  3x2  3 ，故 f n  3n2  3 ， Sn
当 n  1 时， a1  S1  2 ；
nnn1
当 n  2 时， a  S  S n2  1  n  12  1= 2n  1
 1 3n2  3 2  n2  18 分
3
 2,n  1

而 a1  2 不满足上式 an  2n  1,
.10 分
n  2
 n  2 时， T 
1  1  1
 3 
1= 1  1  1  1  1  1  3 1
1
n2  3
3  5
5  7

2n  12n  16

2  3557
2n  1

2n  1 
= 1  1 1 1 113 分
664n  234n  2
且T  1 也满足上式，T  1 1
16n34n  2
Tn
 1 
3
1
4n  2
.15 分
解：（1）证明：因为在四边形 ABCD 中，AB∥CD，且 EF∥AD，所以▱AEFD，又∠DAB＝90°，所以四边形 AEFD 为矩形，
折叠后，显然 EB∥FC，EB⊄平面 CD′F，FC⊂平面 CD′F，
所以 EB∥平面 CD′F，2 分
又 EA′∥FD′，且 FD′⊂平面 CD′F，EA′⊄平面 CD′F，所以 EA′∥平面 CD′F，4 分
又 EA′∩EB＝E，所以平面 EA′B∥平面 CD′F，又 A′B⊂平面 EA′B，所以 A′B∥平面 CD′F；6 分
（2）由∠DAB＝90°，EF∥AD，所以 EF⊥CD，所以 EF⊥FC，EF⊥FD′，所以面 EFD′A′与面 EFCB 所成二面角的平面角为∠CFD′＝60°，
结合 CF∩FD′＝F，所以 EF⊥平面 CFD′，可得平面 CFD′⊥平面 EBCF，又 F 为 CD 的中点，所以△CFD′为等边△，8 分
如图以 F 为原点建立空间直角坐标系，9 分
设 AB＝3AD＝6，则 CD＝2AD＝4，
所以 F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，2，0），B（2，4，0），D′（0，1，√3），
→→→→
所以?? = (2，0，0)，??′ =（0，1，√3），?? = (2，2，0)，??′ = (0， − 1，√3)，
→
设平面 EFD′A′的法向量为? = (?，?，?)，
→→
? ⋅ ?? = 2? = 0→
则� →→
，可得? = (0， − √3，1)，11 分
? ⋅ ??′ = ? + √3? = 0
→
再设平面 BCD′的法向量? = (?，?，?)，
→→
? ⋅ ?? = 2? + 2? = 0→
则�→→
，解得? = (−√3，√3，1)，13 分
? ⋅ ??′ = −? + √3? = 0
设面 BCD′与面 EFD′A′所成二面角为 θ，
→ →
则|csθ|= |?⋅?| = |0×(−�3)−�3×�3+1×1| = 1 ，14 分
→ → 22
2 22�7
|?||?|
�(−�3) +1 �(−�3) +(�3) +1
所以 sinθ= √1 − ??????2?? = �42．15 分
7
1+???2?
解：（1）根据题意可知，
???2?
1+???2?
=，
???2?
(????+????)2(????+????)2
所以???2?−???2? = ???2?−???2? ，2 分
????+????
即
????−????
????+????
=，
????−????
整理得 sinAcsB﹣csAsinB＝0，所以 sin（A﹣B）＝0，5 分
因为 A，B∈（0，π），则 A﹣B∈（﹣π，π），所以 A﹣B＝0，即 A＝B，则△ABC 为等腰三角形；7 分
（2）由（1）及题设，有 AC＝BC＝2CD，
222
??2+??2−??2
3??2+??2
所以??????∠??? = ?? +?? −?? = 4 = 410 分
= 3?? + ??
2??⋅??
≥ 2� 3?? ⋅ ??
= �3
2??⋅??
2??⋅??
??√3
=
.12 分
8??
2??
8??
2??
2 ，当且仅当??
时，等号成立，
2
又∠CAD 为三角形内角，所以∠??? ≤ ??，即∠CAD
??
.14 分
??√3
??1
6
?? 2
?? 2
的最大值为，
6
此时=
??
，又
2??
= 2，所以(??)
+ (??)
=1，
故 AD2+CD2＝AC2，可得三角形 ACD 为直角三角形且∠??? = ??，
3
可得△ABC 为正三角形，16 分
又 AB＝1，所以当∠CAD 最大时，△ABC 的面积?? = �3 × 12 = �3．17 分
44
解：（I） ①因为|2﹣4|＞|4﹣3|，所以该数列不是 M 数列；1 分
②因为|4﹣2|＜|2﹣8|＜8﹣1|，所以该数列是 M 数列．2 分
证明：（II） 必要性：若数列{an}是等差数列，设公差为 d，则 bm＝|am﹣am+1|＝|d|．
所以数列{bm}是常数列．4 分
充分性：若数列{bm}是常数列，
则 bm＝bm+1（m＝1，2，⋯，n﹣2），即|am﹣am+1|＝|am+1﹣am+2|（m＝1，2，…，n﹣2）．所以 am﹣am+1＝am+1﹣am+2 或 am﹣am+1＝﹣（am+1﹣am+2）．6 分
因为数列{an}的各项互不相同，所以 am﹣am+1＝am+1﹣am+2．
所以数列{an}是等差数列．7 分
（III） 当 m＝3 时，因为|ai﹣ai+1|≤2（i＝1，2），所以|a1﹣a2|+|a2﹣a3|＜5，不符合题意；当 m＝4 时，数列为 3，2，4，1．此时|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|a3﹣a4|＝6，符合题意；
当 m＝5 时，数列为 2，3，4，5，1．此时|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|a3﹣a4|+|a4﹣a5|＝7，符合题意；10
分
下证当 m≥6 时，不存在 m 满足题意．令 bk＝|ak﹣ak+1|（k＝1，2，⋯，m﹣1），
?=1
则 1≤b1≤b2≤⋯≤ bm﹣1，且∑??−1 ?? = ? + 2，
所以 bk 有以下三种可能：
1，(? = 1，2， ⋯ ，? − 2)
①?? = �
4，(? = ? − 1)
1，(? = 1，2， ⋯ ，? − 4)
；②?? = �
1，(? = 1，2， ⋯ ，? − 3)
2，(? = ? − 2)；③
3，(? = ? − 1)
?? = �
．
2，(? = ? − 3，? − 2，? − 1)
1，(? = 1，2， ⋯ ，? − 2)
当?? = �
4，(? = ? − 1)
时，因为 b1＝b2＝⋯＝bm﹣2，13 分
由（II）知：a1，a2，⋯，am﹣1 是公差为 1（或﹣1 ）的等差数列．
当公差为 1 时，由 bm﹣1＝4 得 am＝am﹣1+4 或 am＝am﹣1﹣4，所以 am＝am﹣1+4＝a1+m+2＞m 或 am＝am
﹣1﹣4＝am﹣s，与已知矛盾．
当公差为﹣1 时，同理得出与已知矛盾．
1，(? = 1，2， ⋯ ，? − 2)
所以当?? = �
4，(? = ? − 1)
其它情况同理．16 分
时，不存在 m 满足题意．
综上可知，m 的所有取值为 4 或 5．17 分