河南省洛阳市老城区2025-2026学年八年级上学期期中考试 数学试卷

这是一份河南省洛阳市老城区2025-2026学年八年级上学期期中考试 数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图四个图形中，轴对称图形是( )
A. B.
C. D.
2.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 三角形具有稳定性
D. 两直线平行，内错角相等
3.将一副三角板如图摆放，则图中∠1的度数是( )
A. 105∘B. 120∘C. 135∘D. 150∘
4.如图，点E、点F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( )
A. ∠A=∠D
B. ∠AFB=∠DEC
C. AB=DC
D. AF=DE
5.已知点A(m,2023)与点B(2024,n)关于y轴对称，则m+n的值为( )
A. −1B. 1C. 4043D. −2022
6.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABE是四边形ABCD的外角，且∠ABE=∠D，∠C=110∘，则∠A的度数是( )
A. 110∘
B. 50∘
C. 70∘
D. 35∘
7.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，20，三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BOC：S△CAO等于( )
A. 1：1：1
B. 2：2：3
C. 2：3：2
D. 3：2：2
8.如图，小虎用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90∘)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为( )
A. 40cmB. 36cmC. 27cmD. 24cm
9.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为( )
A. 21B. 7C. 6D. 3.5
10.如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③∠BOE=120∘.其中结论正确的( )
A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出点M(−2,3)关于x轴对称的点N的坐标______.
12.若正多边形的一个外角是45∘，则该正多边形的边数是______.
13.工人师傅常用角尺平分一个任意角.作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.这种作法的依据是 .
14.如图所示，已知AB⊥BC，AD⊥DC，要使△ABC≌△ADC.
(1)若利用AAS，需补充一个条件 .
(2)若利用HL，需补充一个条件 .
15.如图，在△ABC中，∠A=m，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1.
(1)∠A1的大小是______；
(2)若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A2025BC与∠A2025CD的平分线相交于点A2026，则∠A2026的大小是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线.
求证：(1)______.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(2)______.
∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠CBD=12∠ABC，∠BCE=12∠ACB(3)______.
即∠BCE=∠CBD.
∵在△BCE和△CBD中，
∠EBC=∠DCBBC=BC∠ECB=∠DBC
∴△BCE≌△CBD(ASA).
∴BD=CE(4)______.
17.(本小题9分)
已知：如图，在△ABC中，∠C=120∘，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E.
(1)作出边AC的垂直平分线DE；
(2)当AE=BC时，求∠A的度数．
18.(本小题9分)
(1)如图1，A、B是两个蓄水池，都在河岸a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站M，将河水送到A、B两地，问该站M建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点；(尺规作图，保留作图痕迹)
(2)如图2，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形，并直接写出△ABC关于y轴对称的三角形的各顶点坐标.
19.(本小题9分)
已知：如图，AB//DE，AB=DE，AF=DC.求证：∠B=∠E.
20.(本小题10分)
若关于x，y的两个方程组m2x+ny=−2x+y=1与x−y=3nx+my=5有相同的解.
(1)求这个相同的解；
(2)若m，n是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长.
21.(本小题10分)
在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90∘，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC.
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30∘，求∠BDC的度数.
22.(本小题10分)
已知：如图1，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证：点F在∠DAE的平分线上.
某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法：
如图2，过点F作FG⊥AD于点G，作FH⊥AE于点H，作FM⊥BC于点M，由角平分线的性质定理可得：FG=FM，FH=FM.
∴FG=FH.
∵FG⊥AD，FH⊥AE，
∴F在∠DAE的平分线上.
(1)小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中BG、BC和CH三条线段存在一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并说明理由；
(2)小明也发现∠BFC和∠GFH之间存在一定的数量关系.请你直接写出它们的数量关系：______.
23.(本小题10分)
引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
【理解概念】：
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”.
①______；②______.
(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40∘，∠B=60∘.请你说明CD是△ABC的等角分割线.
【应用概念】：
(3)在△ABC中，若∠A=40∘，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数.
参考答案
1.【答案】D
【解析】解：A，B，C中的图形不是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；
D、此图形是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D.
2.【答案】C
【解析】解：这样做的道理是三角形具有稳定性．
故选：C.
3.【答案】A
【解析】解：如图，
由题可得∠2=180∘−30∘−45∘=105∘，
∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1=∠2，
∴∠1=105∘.
故选：A.
4.【答案】D
【解析】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D.
5.【答案】A
【解析】解：∵点A(m,2023)与点B(2024,n)关于y轴对称，
∴m=−2024，n=2023，
∴m+n=−2024+2023=−1.
故选：A.
6.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，∠C=110∘，
∴∠ABC+∠C=180∘，
∴∠ABC=70∘，
∵∠ABE是四边形ABCD的外角，
∴∠ABE=110∘，
∴∠ABE=∠D，
∴∠D=110∘，
∴∠A=360∘−∠ABC−∠C−∠B=360∘−70∘−110∘−110=70∘.
故选：C.
7.【答案】C
【解析】解：过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，
∵点O是内心，
∴OE=OF=OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12⋅AB⋅OE：12⋅BC⋅OF：12⋅AC⋅OD=AB：BC：AC=2：3：2，
故选：C.
8.【答案】A
【解析】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90∘，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90∘，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，∠ACD+∠DAC=90∘，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由题意得：AD=EC=12cm，DC=BE=28cm，
∴DE=DC+CE=40(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为40cm.
故选：A.
9.【答案】B
【解析】解：连接AD，AM，
∵AB=AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=14，
解得AD=7，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM=CM，
当点M在AD上时，CM+MD最小，最小值为AD，
∴CM+DM的最小值为7.
故选：B.
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60∘，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD，∠CBD=∠CAE，
∴①正确；
∵∠ACB=∠ECD=60∘，
∴∠ACD=60∘，
在△BCF和△ACG中，
∠CBF=∠CAGBC=AC∠BCF=∠ACG，
∴△BCF≌△ACG(ASA)，
∴AG=BF，
∴②正确；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠AEC，
∵∠DCE=60∘，
∴∠AOB=∠CBD+∠CEA=∠CBD+∠CDB=∠DCE=60∘，
∴∠BOE=120∘，
∴③正确．
故选D.
11.【答案】(−2,−3)
【解析】解：∵M(−2,3)，3的相反数为−3，
∴M点关于x轴对称的点N的坐标为：(−2,−3)
故答案为(−2,−3)
12.【答案】8
【解析】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45∘，
∴360∘÷45∘=8
即该正多边形的边数是8.
13.【答案】SSS
【解析】解：在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，
∴CM=CN，
在△COM和△CON中，
CM=CNOM=ONOC=OC，
∴△COM≌△CON(SSS)，
∴∠MOC=∠NOC，
即OC是∠AOB的平分线，
∴这种作法的依据是SSS.
故答案为：SSS.
14.【答案】∠BAC=∠DAC(答案不唯一)
AB=AD(答案不唯一).

【解析】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90∘，
(1)在△ABC≌△ADC中，
∠B=∠D∠BAC=∠DACAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(AAS)，
∴利用AAS，需补充一个条件是∠BAC=∠DAC(答案不唯一).
故答案为：∠BAC=∠DAC(答案不唯一).
(2)在Rt△ABC和Rt△ADC中，
AC=ACAB=AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴利用HL，需补充一个条件AB=AD(答案不唯一).
故答案为：AB=AD(答案不唯一).
15.【答案】m2；
m22026
【解析】解：(1)∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC=12∠ABC,∠A1CD=12∠ACD，
∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
即12∠ACD=∠A1+12∠ABC，
∴∠A1=12(∠ACD−∠ABC)=12∠A，
∵∠A=m，
∴∠A1=m2，
故答案为：m2；
(2)由(1)可知，∠A2=12∠A1=122∠A,∠A3=12∠A2=123∠A，
以此类推，∠A2026=122026∠A=m22026，
故答案为：m22026.
16.【答案】BD=CE； 等边对等角； 角平分线的定义； 全等三角形的对应边相等
【解析】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
求证：(1)BD=CE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(2)(等边对等角).
∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠CBD=12∠ABC，∠BCE=12∠ACB(3)(角平分线的定义)，
即∠BCE=∠CBD.
在△BCE和△CBD中，
∠EBC=∠DCBBC=BC∠ECB=∠DBC，
∴△BCE≌△CBD(ASA)，
∴BD=CE(4)(全等三角形的对应边相等).
故答案为：(1)BD=CE；(2)等边对等角；(3)角平分线的定义；(4)全等三角形的对应边相等．
17.【答案】解：(1)如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线；
(2)如图，连接CE，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵AE=BC，
∴CE=BC，
∴∠B=∠CEB，
设∠A=x，
则∠CEB=∠A+∠ACE=x+x=2x，
在△BCE中，∠BCE=180∘−2×2x=180∘−4x，
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=x+180∘−4x=120∘，
解得x=20∘，
即∠A=20∘.
18.【答案】解：(1)可使所修的渠道最短的点M，如图1，即为所求；
(2)由图可得：A(−3,2)，B(−4,−3)，C(−1,−1)，
△ABC关于y轴对称的△DEF，如图2即为所求；
由图可得：D(3,2)，E(4,−3)，F(1,−1).
19.【答案】证明：∵AF=DC，
∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF，
∵AB//DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠B=∠E.
20.【答案】解：(1)由题意可得：x+y=1x−y=3，
解得x=2y=−1；
(2)将x=2y=−1代入含有m，n的方程得
m−n=−22n−m=5
解得n=3m=1，
①当若m=1是一个等腰三角形的腰时，1+11，所以这个等腰三角形的周长为3+3+1=7.
21.【答案】(1)证明：在△ABC中，∠ABC=90∘，D为AB延长线上一点，
∴∠ABC=∠CBD=90∘，
在△ABE和△CBD中，
AB=CB∠ABC=∠CBDBE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)；
(2)解：在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90∘，
∴∠BAC=∠ACB=12(180∘−90∘)=45∘，
由(1)得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE，
∵∠CAE=30∘，
∴∠AEB=45∘+30∘=75∘，
∴∠BDC=∠AEB=75∘.
22.【答案】BC=BG+CH，理由见解析；
∠GFH=2∠BFC.
【解析】解：(1)BC=BG+CH，理由如下：
∵BF平分∠DBC，
∴∠MBF=∠GBF，
在△GBF和△MBF中，
∠FGB=∠FMB∠FBG=∠FBMBF=BF，
∴△GFB≌△MFB(AAS)
∴BG=BM；
同理可得CH=CM，
∵BC=BM+CM，
∴BC=BG+CH；
(2)由(1)得：△GFB≌△MFB，△MFC≌△HFC，∠MFC=∠HFC，
∴∠GFH=∠GFB+∠MFB+∠MFC+∠MFC
=2(∠MFB+∠MFC)
=2∠BFC，
故答案为：∠GFH=2∠BFC.
23.【答案】△ABC与△CBD △ACD与△CBD
【解析】(1)解：△ABC与△ACD，△ABC与△CBD是“等角三角形”；
故答案为：△ABC与△CBD，△ACD与△CBD；
(2)证明：∵在△ABC中，∠A=40∘，∠B=60∘，
∴∠ACB=180∘−∠A−∠B=80∘，
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=12∠ACB=40∘，
∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A，
∴CD=DA，
在△DBC中，∠DCB=40∘，∠B=60∘，
∴∠BDC=180∘−∠DCB−∠B=80∘，
∴∠BDC=∠ACB，
∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∠DCB=∠A，
∠B=∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线；
(3)解：当△ACD是等腰三角形，如图2，DA=DC时，∠ACD=∠A=40∘，
∴∠ACB=∠BDC=40∘+40∘=80∘，
∴∠B=180∘−∠A−∠ACB=60∘；
当△ACD是等腰三角形，如图3，DA=AC时，∠ACD=∠ADC=70∘，
∠BCD=∠A=40∘，
∴∠ACB=70∘+40∘=110∘，
∴∠B=180∘−∠A−∠ACB=30∘；
当△ACD是等腰三角形，CD=AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC=BD时，∠ACD=∠BCD=∠B，
∵∠A+∠B+∠ACB=180∘，
∴∠B=180∘−40∘3=(1403)∘，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB=BC时，∠BDC=∠BCD，
设∠BDC=∠BCD=x，
则∠B=180∘−2x，
则∠ACD=∠B=180∘−2x，
由题意得，180∘−2x+40∘=x，
解得x=(2203)∘，
∴∠B=180∘−2x=(1003)∘，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB的情况不存在，
综上，∠B的度数为60∘；30∘；(1403)∘；(1003)∘.