初中数学人教版（2024）七年级上册解一元一次方程(二)----去括号与去分母导学案

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知识点01 解一元一次方程——去分母
去分母方法：
在方程左右两边 每一项 同时乘上各分母的 最小公倍数 ，将分母去掉，这一过程叫做去分母。
去了分母之后再按照去括号、移项、合并以及系数化为1进行解一元一次方程。
【即学即练1】
1．解方程3x−12=1−x+33时，去分母正确的是（ ）
A．2（3x﹣1）＝1﹣3（x+3）B．3（3x﹣1）＝1﹣2（x+3）
C．2（3x﹣1）＝6﹣3（x+3）D．3（3x﹣1）＝6﹣2（x+3）
【答案】D
【解答】解：原方程两边同乘以6得，3（3x﹣1）＝6﹣2（x+3），
故选：D．
【即学即练2】
2．某同学解方程2x−13=1−x+24的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题：
4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2），①
8x﹣4＝1﹣3x+6，②
8x+3x＝1+6+4，③
11x＝11，④
x＝1，⑤
（1）以上步骤中，第 ③ 步是移项，移项的依据是 等式的基本性质 ；
（2）该同学的解答过程从第 ① 步开始出错，这一步的错误原因是 去分母时，1漏乘了12 ；
（3）写出正确的解答过程．
【答案】（1）③，等式的基本性质；
（2）①，去分母时，1漏乘了12；
（3）正确的解答过程见解答．
【解答】解：（1）以上步骤中，第③步是移项，移项的依据是等式的基本性质，
故答案为：③，等式的基本性质；
（2）该同学的解答过程从第①步开始出错，这一步的错误原因是去分母时，1漏乘了12，
故答案为：①，去分母时，1漏乘了12；
（3）正确的解答过程如下：
2x−13=1−x+24，
4（2x﹣1）＝12﹣3（x+2），
8x﹣4＝12﹣3x﹣6，
8x+3x＝12﹣6+4，
11x＝10，
x=1011．
【即学即练3】
3．解方程．
（1）x+32=x+x−16； （2）2y−14=1−3−y8．
【答案】（1）x=52；
（2）y=73．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以6去分母得3（x+3）＝6x+x﹣1，
去括号得3x+9＝6x+x﹣1，
移项得3x﹣6x﹣x＝﹣1﹣9，
合并同类项得﹣4x＝﹣10，
系数化为1得x=52．
（2）方程两边同时乘以8去分母得2（2y﹣1）＝8﹣（3﹣y），
去括号得4y﹣2＝8﹣3+y，
移项得4y﹣y＝8﹣3+2，
合并同类项得3y＝7，
系数化为1得y=73．
知识点02 解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程的一般步骤：
①去分母：方程左右两边 每一项 同时乘以各分母的 最小公倍数 。
②去括号：用括号前的数（包含符号）乘以括号内的每一项。当括号前是负数时，一定要改变每一项的符号。
③移项：把含有未知数的项移到等号的 左边 ，常数项移到等号的 右边 。注意移动过的项一定要 改变符号 。
③合并：按照合并 同类项 的方法进行合并。
④系数化为1：方程的左右两边同时 除以 系数或乘上 系数的倒数 。
【即学即练1】
4．解方程：（1）3x+22−1=2x+14−2x+15；（2）x+13−x−26=2−x2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）去分母得：10（3x+2）﹣20＝5（2x+1）﹣4（2x+1），
去括号得：30x+20﹣20＝10x+5﹣8x﹣4，
移项得：30x﹣10x+8x＝5﹣4，
合并得：28x＝1，
系数化为1得：x=128．
（2）x+13−x−26=2−x2，
2（x+1）﹣（x﹣2）＝12﹣3x，
2x+2﹣x+2＝12﹣3x，
2x﹣x+3x＝12﹣2﹣2，
4x＝8，
x＝2．
知识点03 列方程解决行程问题
行程问题中的基本量的等量关系：
若路程为s，时间为t，速度为v。则：
s＝ vt ；t＝ sv ；v＝ st 。
行程问题之相遇问题：
①甲、乙同时出发相向而行相遇。如图：
等量关系：
时间： ；路程： 。
②甲、乙同地不同时同向而行相遇。，乙先出发。如图：
等量关系
路程： ；时间： 。
行程问题之相距问题：
①甲、乙同时出发相向而行相遇前相距。如图
等量关系
时间： ；路程： 。
②甲、乙同时出发相向而行相遇后相距。如图：
等量关系：
时间： ；路程： 。
③甲、乙先后同地出发同向而行相遇前相距。
等量关系： 时间： ；路程： 。
④甲、乙向后同地出发同向而行相遇后相距。如图：（慢的先出发）
等量关系：
时间： ；路程：
火车过桥进洞问题：
车头进到火车车尾出：如图：
行驶路程＝ 桥长（洞长）＋火车长 。
车尾进到货车车头出：如图：

行驶路程＝ 桥长（洞长）－火车长 。
火车追及错车与相遇错车问题：
①追及错车问题：如图：
等量关系：
快车行驶的路程－慢车行驶的路程＝两车车长之和。
②相遇错车问题：如图：
两车行驶的路程之和＝两车车长之和。
【即学即练1】
6．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（ ）
A．240x＝150（x﹣12）B．150x＝240（x+12）
C．240x＝150（x+12）D．150x＝240（x﹣12）
【答案】C
【解答】解：由题意得240x＝150（x+12）．
故选：C．
【即学即练2】
7．甲、乙两人在400m长的环形跑道上练习跑步，甲跑步的速度是5m/s，乙跑步的速度是3m/s．若两人相距100m，两人同时同向出发（甲在乙前），两人第一次相遇需要的时间是（ ）
A．120sB．130sC．140sD．150s
【答案】D
【解答】解：设两人第一次相遇需要的时间是xs，
由题意得：5x﹣3x＝400﹣100，
解得x＝150，
所以两人第一次相遇需要的时间是150s，
故选：D．
【即学即练3】
8．一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是5：4，慢车先从A站开出27千米，快车才从B站开出．相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？
【答案】A、B两站相距558千米．
【解答】解：设快车速度为5xkm/h，相遇时快车走了t小时，
相遇时快车走的总路程为5xtkm；相遇时慢车走的总路程为（4xt+27）km，
由题意得：5xt﹣32＝4xt+27
解得：xt＝59，
∴总路程为相遇时快车与B站的距离加上慢车与A站的距离，
即（5xt）+（4xt+27）＝9×59+27＝558（km），
答：A、B两站相距558千米．
题型01 解一元一次方程
【典例1】解方程：（1）2−x+56=x （2）y−y−12=2−y+25．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）去分母得：12﹣x﹣5＝6x，
移项、合并得：7x＝7，
系数化为1得：x＝1；
（2）去分母得：10y﹣5y+5＝20﹣2y﹣4，
移项、合并得：7y＝11，
系数化为1得：y=117．
【变式1】解方程（1）0.48x﹣6＝﹣0.02x
（2）（x+1）﹣2（x﹣1）＝1﹣3x
（3）−34x+2=13−14x
（4）2x−1−x3=x6+1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）移项得：0.5x＝6，
系数化为1得：x＝12；
（2）去括号得：x+1﹣2x+2＝1﹣3x，
移项合并得：2x＝﹣2，
系数化为1得：x＝﹣1；
（3）移项合并得：x2=−11，
系数化为1得：x＝﹣22；
（4）去分母得：12x﹣2+2x＝x+12，
移项合并得：13x＝14，
系数化为1得：x=1413．
【变式2】解下列方程．
（1）2（x﹣3）﹣3（x﹣5）＝7（x﹣1）；
（2）7x−12(53x−12)=8−23(6x−9)；
（3）x2−5x+126=1+2x−43；
（4）x0.7−0.17−．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）去括号，得2x﹣6﹣3x+15＝7x﹣7，
移项，得2x﹣3x﹣7x＝﹣7+6﹣15，
合并同类项，得﹣8x＝﹣16，
系数化为1，得x＝2；
（2）去括号，得7x﹣20x+6＝8﹣4x+6，
移项，得7x﹣20x+4x＝8+6﹣6，
合并同类项，得﹣9x＝8，
系数化为1，得x=−89；
（3）去分母，得3x﹣（5x+12）＝6+2（2x﹣4），
去括号，得3x﹣5x﹣12＝6+4x﹣8，
移项，得3x﹣5x﹣4x＝6﹣8+12．
合并同类项，得﹣6x＝10，
系数化为1，得x=−53；
（4）原方程可化为10x7−17−20x3=1，
去分母，得30x﹣7（17﹣20x）＝21，
去括号，得30x﹣119+140x＝21，
移项，得30x+140x＝21+119，
合并同类项，得170x＝140，
系数化为l，得x=1417．
【变式3】解下列方程：
（1）x−34−x−43=12
（2）x+14−1=2x−16
（3）x+34−1=x−32−2
（4）0.4x−+0.2x0.3−0.6．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣3）﹣4（x﹣4）＝6，
去括号后得：3x﹣9﹣4x+16＝6，
移项合并得：﹣x＝﹣1，
解得：x＝1；
（2）去分母得：3（x+1）﹣12＝2（2x﹣1），
去括号得：3x+3﹣12＝4x﹣2，
移项合并得：﹣x＝7，
解得：x＝﹣7；
（3）去分母得：x+3﹣4＝2x﹣6﹣8，
移项合并得：x＝13；
（4）方程变形得：4x−15=1+2x3−0.6，
去分母得：12x﹣3＝5+10x﹣9，
移项合并得：2x＝﹣1，
解得：x=−12．
题型02 方程中的同解方程
【典例1】若方程3（x﹣1）＝2（x+1）的解与关于x的方程6﹣2k＝2（x﹣1）的解相同，则k的值为（ ）
A．59B．−89C．﹣1D．−53
【答案】C
【解答】解：对于方程3（x﹣1）＝2（x+1），
去括号，得：3x﹣3＝2x+2，
移项，得：3x﹣2x＝2+3，
合并同类项，得：x＝5，
∵方程3（x﹣1）＝2（x+1）的解与关于x的方程6﹣2k＝2（x﹣1）的解相同，
∴方程6﹣2k＝2（x﹣1）的解为：x＝5，
∴6﹣2k＝2×（5﹣1），
去括号，得：6﹣2k＝8，
移项，得：﹣2k＝8﹣6，
合并同类项，得：﹣2k＝2，
未知数k的系数化为1，得：k＝﹣1．
故选：C．
【变式1】已知方程2（x﹣6）＝﹣16的解同时也是方程a(x+3)=12a+x的解，则a2−a2+1的值为 19 ．
【答案】19．
【解答】解：2（x﹣6）＝﹣16，
2x﹣12＝﹣16，
2x＝12﹣16，
2x＝﹣4，
x＝﹣2，
∵方程2（x﹣6）＝﹣16的解同时也是方程a(x+3)=12a+x的解，
∴(−2+3)a=12a−2，
解得：a＝﹣4，
∴a2−a2+1=(−4)2−−42+1=19．
故答案为：19．
【变式2】已知关于x的方程12（1﹣x）＝1﹣k的解与3x+k4−5x−18=1的解相同，求k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵关于x的方程12（1﹣x）＝1﹣k的解与3x+k4−5x−18=1的解相同，
∴x＝2k﹣1，
把x＝2k﹣1代入3x+k4−5x−18=1，得2k﹣1+2k＝7，
解得k＝2，
∴k的值为2．
题型03 错解方程问题
【典例1】小李在解关于x的方程5a﹣x＝13时（其中a为已知数），误将“﹣x”中的“﹣”号看成“+”号，得方程的解为x＝﹣2，则原方程的解为（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x＝2D．x＝1
【答案】C
【解答】解：将x＝﹣2代入方程5a+x＝13得：5a﹣2＝13，
解得：a＝3，
∴原方程为5×3﹣x＝13，
解得：x＝2，
∴原方程的解为x＝2．
故选：C．
【变式1】小明同学在解方程5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x=−43，则该同学把m看成了（ ）
A．3B．−1289C．8D．﹣8
【答案】C
【解答】解：把x=−43代入方程得：−203−1=−43m+3，
解得：m＝8，
故选：C．
【变式2】小明在解关于x的方程2x−13=x−a2−1去分母时，方程右边的﹣1忘记乘以6，算得方程的解为x＝﹣5，则a的值为（ ）
A．2B．3C．﹣2D．0
【答案】A
【解答】解：按照小明的方法解方程，
去分母得：2（2x﹣1）＝3（x﹣a）﹣1，
去括号得：4x﹣2＝3x﹣3a﹣1，
移项、合并同类项得：x＝1﹣3a．
∵小明算得方程的解为x＝﹣5，
∴1﹣3a＝﹣5，
解得：a＝2．
故选：A．
【变式3】小明解关于x的方程2x−13=x+a2−3，去分母时，方程右边的﹣3忘记乘以6，因而得到x＝2，则方程的正确的解为 x＝﹣13 ．
【答案】x＝﹣13．
【解答】解：由题意，得4x﹣2＝3x+3a﹣3，
整理，得x＝3a﹣1，
∵x＝2，
∴3a﹣1＝2，
解得：a＝1，
∴2x−13=x+12−3，
去分母，得2（2x﹣1）＝3（x+1）﹣18，
去括号，得4x﹣2＝3x+3﹣18，
移项、合并同类项，得x＝﹣13．
故答案为：x＝﹣13．
题型04 方程的特殊解
【典例1】关于x的方程2x+5＝kx的解是整数，则整数k的可能值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：解方程2x+5＝kx可得x=5k−2，
∵x为整数，
∴k满足k﹣2＝±1或k﹣2＝±5，
解得k的值为3，1，7，﹣3共4个，
故选：D．
【变式1】已知关于x的方程6x﹣（a+5）＝3+4x有正整数解，则负整数a的所有可能的取值的积为（ ）
A．8B．﹣8C．48D．﹣48
【答案】D
【解答】解：∵6x﹣（a+5）＝3+4x，
∴x=a+82．
∵关于x的方程6x﹣（a+5）＝3+4x有正整数解，且a为负整数，
∴a可以为﹣2，﹣4，﹣6，
∴负整数a的所有可能的取值的积为﹣2×（﹣4）×（﹣6）＝﹣48．
故选：D．
【变式2】若关于x的一元一次方程2kx＝3x﹣（8﹣x）有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值（ ）
A．1B．1或﹣2C．0或﹣2D．0或1或﹣2
【答案】D
【解答】解：由条件可知（2k﹣4）x＝﹣8，
∴（k﹣2）x＝﹣4，
当k﹣2＝0时，方程无解，
当k﹣2≠0时，x=−4k−2，
∵方程2kx＝3x﹣（8﹣x）有非负整数解，
∴k﹣2＝﹣1，﹣2，﹣4，
∴k＝1，0，﹣2；
故选：D．
【变式3】已知关于x的一元一次方程x−3−ax6=x+32−1的解是正整数，则符合条件的所有a的值的和为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．3
【答案】C
【解答】解：原方程去分母得6x﹣（3﹣ax）＝3（x+3）﹣6，
去括号得6x﹣3+ax＝3x+9﹣6，
移项、合并同类项得（3+a）x＝6，
系数化为1得x=63+a，
由条件可知x=63+a为正整数，
则a的值为﹣2或﹣1或0或3，
∴符合条件的所有a的值的和为﹣2+（﹣1）+0+3＝0，
故选：C．
题型05 解一元一次方程中新定义题型
【典例1】定义运算“*”，其规则为a∗b=3a+b2，则方程3*x＝7的解为（ ）
A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣5
【答案】C
【解答】解；∵3*x＝7，
∴3×3+x2=7，
解得x＝5，
故选：C．
【变式1】新定义一种运算：a△b＝2a﹣3b．例如：3△4＝2×3﹣3×4＝﹣6．若2△（2△x）＝﹣35，则x的值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣4D．4
【答案】B
【解答】解：由条件可知2△x＝2×2﹣3x＝4﹣3x，
∴2△（2△x）＝2△（4﹣3x）＝2×2﹣3×（4﹣3x）＝9x﹣8，
∴9x﹣8＝﹣35，
∴x＝﹣3．
故选：B．
【变式2】将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abcd．定义abcd=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若x+11−x1−xx+1=8，则x的值为（ ）
A．8B．4C．3D．2
【答案】D
【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8，
x2+2x+1﹣1+2x﹣x2＝8，
4x＝8，
x＝2．
故选：D．
【变式3】规定：对于任意有理数a与b，满足a*b=3a−b，(a≥b)a−3b，(a＜b)，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，13∗1=13−3∗1=−83，若有理数x满足x*3＝15，则x的值为（ ）
A．24或4B．6或24C．4D．6
【答案】D
【解答】解：若x*3＝15，
由新定义可得：①当x≥3时，3x﹣3＝15，
移项，合并同类项，得3x＝18，
解得：x＝6，
②当x＜3时，x﹣3×3＝15，
解得：x＝24（舍去）．
故选：D．
题型06 列一元一次方程解行程问题
【典例1】一列火车正在匀速行驶，它先用20秒的时间通过了一条长为160米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用15秒的时间通过了一条长为80米的隧道，求这列火车的长度．设这列火车的长度为x米，根据题意可列方程为（ ）
A．160+2x20=80+2x15B．160+x20=80+x15
C．160−2x20=80−2x15D．160−x20=80−x15
【答案】B
【解答】解：设这列火车的长度为x米，
依题意，得：160+x20=80+x15．
故选：B．
【变式1】一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发．
（1）小轿车出发多长时间后追上货车？
（2）在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距30km？
【答案】（1）2小时；
（2）1小时或3小时．
【解答】解：（1）设小轿车出发x小时后追上货车，
∴90x＝60（x+1），
∴x＝2．
答：小轿车出发2小时后追上货车；
（2）设小轿车行驶t小时后与货车相距30km，
分情况讨论如下：
①小轿车在追上货车之前，两车相距30km，则：
90t﹣60t＝60﹣30，
∴t＝1；
②小轿车在追上货车之后，两车相距30km，则：
90t﹣60t＝60+30，
∴t＝3，
答：1小时或3小时后相距30km．
【变式2】列方程解应用题：甲乙两车分别从相距210km的A、B两地相向而行．
（1）两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2h出发，则甲车出发后3h两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少．
（2）若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过多长时间两车相距30km．
【答案】（1）甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时；
（2）经过2小时或83小时两车相距30千米．
【解答】解：（1）设乙车的速度是x千米/小时，则甲车的速度是2x千米/小时，甲乙两车分别从相距210km的A、B两地相向而行，
依题意得：3×2x+（3﹣2）x＝210，
解得：x＝30，
∴2×30＝60（千米/小时），
答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时；
（2）设经过y小时两车相距30千米，依题意得：
60y+30y＝210﹣30或60y+30y＝210+30，
解得：y＝2或y=83，
答：经过2小时或83小时两车相距30千米．
【变式3】【问题引入】
一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能求出这列火车的长度吗？
【情境分析】
设这列火车的长度是x米．
（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是 x 米，这段时间内火车的平均速度是 x15 米/秒．
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是 （x+400） 米，这段时间内火车的平均速度是 x+40030 米/秒．
（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是 相等 ．
【问题解决】
（4）请列出方程并求出这列火车的长度．
【答案】（1）x，x15；
（2）（x+400），x+40030；
（3）相等；
（4）这列火车的长度是400米．
【解答】解：（1）根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为x米，
这段时间内火车的平均速度x15米/秒，
故答案为：x，x15；
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为（x+400）米，
这段时间内火车的平均速度为x+40030米/秒，
故答案为：（x+400），x+40030；
（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等．
故答案为：相等；
（4）根据题意得：x15=x+40030，
解得：x＝400，
答：这列火车的长度是400米．
1．下列变形正确的是（ ）
A．由5x＝2x﹣3，移项得5x﹣2x＝3
B．由2x−13=1+x−32，去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3）
C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1
D．把x0.7−0.17−中的分母化为整数得10x7−17−20x3=1
【答案】D
【解答】解：A．5x＝2x﹣3，
移项，得5x﹣2x＝﹣3，故本选项不符合题意；
B．2x−13=1+x−32，
去分母，得2（2x﹣1）＝6+3（x﹣3），故本选项不符合题意；
C．2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，
去括号，得4x﹣2﹣3x+9＝1，故本选项不符合题意；
D．x0.7−0.17−，
10x7−17−20x3=1，故本选项符合题意；
故选：D．
2．关于x的方程4x+8＝0与4x+3k＝2的解互为相反数，则k的值为（ ）
A．103B．−103C．2D．﹣2
【答案】D
【解答】解：4x+8＝0，
移项得，4x＝﹣8，
系数化为1得，x＝﹣2；
4x+3k＝2，
移项得，4x＝2﹣3k，
系数化为1得，x=2−3k4，
∵解互为相反数，
∴−2+2−3k4=0，
移项得，2−3k4=2，
去分母得，2﹣3k＝8，
移项，合并同类项得，﹣3k＝6，
系数化为1得，k＝﹣2，
故选：D．
3．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（2△3）＝3，则x＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解答】解：根据题意得，2△3＝2×2﹣3＝1，
∵x△（2△3）＝3，
∴x△1＝3，
∴2x﹣1＝3，
移项、合并同类项，得2x＝4，
将系数化为1，得x＝2．
故选：A．
4．一列火车正在匀速行驶，它先用26s的时间通过了一条长256m隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用16s的时间通过了一条长96m隧道，则这列火车长（ ）米．
A．120B．140C．160D．180
【答案】C
【解答】解：设这列火车的长度为xm，
依题意得：256+x26=96+x16，
解得x＝160．
答：这列火车的长度为160m，
故选：C．
5．若关于x的一元一次方程12023x+5=3x−7的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程12023(y+2)+5=3(y+2)−7的解为（ ）
A．y＝﹣3B．y＝﹣4C．y＝﹣5D．y＝﹣6
【答案】C
【解答】解：设y+2＝x，
则12023(y+2)+5=3(y+2)−7，变形为12023x+5=3x−7，
∴y+2＝x＝﹣3，
解得：y＝﹣5，
故选：C．
6．若关于x的方程2x−1−ax3=x+10.6−1的解是整数，且关于y的多项式ay2﹣（a2﹣4）y+1是二次二项式，那么所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣2
【答案】C
【解答】解：2x−1−ax3=x+10.6−1，
解得：x=3a+1，
∵解是整数，
∴a+1＝1或a+1＝﹣1或a+1＝3或a+1＝﹣3，
解得：a＝0或a＝﹣2或a＝2或a＝﹣4，
∵多项式ay2﹣（a2﹣4）y+1是二次二项式，
∴a2−4=0a≠0，
解得：a＝±2，
∴满足条件的整数a的值为2或﹣2，
∴所有满足条件的整数a的值之积是﹣2×2＝﹣4．
故选：C．
7．小李解方程3x+52−2x−m3=1，在去分母时，方程右边的1没有乘以6，因而得到方程的解为x＝﹣2，则方程正确的解是（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝3
【答案】B
【解答】解：把x＝﹣2代入3（3x+5）﹣2（2x﹣m）＝1，得：
3×（﹣6+5）﹣2×（﹣4﹣m）＝1，
﹣3+8+2m＝1，
2m＝﹣4，
m＝﹣2，
则原方程为3x+52−2x+23=1，
去分母，得3（3x+5）﹣2（2x+2）＝6，
去括号，得9x+15﹣4x﹣4＝6，
移项，得9x﹣4x＝6+4﹣15，
合并同类项，得5x＝﹣5，
系数化为1，得x＝﹣1．
故选：B．
8．我们规定acbd=ac−bd（其中c≠0，d≠0），例如−132−6=−13−2−6=−13+13=0，若2x+13x−4−1=−2，则x的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：根据题意得2x+13−x−4−1=−2，
2x+1+3（x﹣4）＝﹣6，
2x+1+3x﹣12＝﹣6，
2x+3x＝﹣6﹣1+12，
5x＝5，
x＝1，
故选：A．
9．某部队运送救灾物资到灾区，飞机原计划每分钟飞行12千米，由于灾情严重，飞行速度提高到每分钟15千米，结果比原计划提前30分钟到达灾区，则机场到灾区距离（ ） 千米．
A．1600B．1800C．2050D．2250
【答案】B
【解答】解：设机场到灾区距离x千米．
依题意得：x12=x15+30，
解得：x＝1800．
答：设机场到灾区距离1800千米．
故选：B．
10．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a，b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”．例如：方程2x+4＝0的解恰好为x＝﹣2＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．若关于x的一元一次方程6x﹣k＝0是“恰解方程”，则k的值为（ ）
A．−365B．−367C．254D．14
【答案】A
【解答】解：由条件可知6x＝k，
∴x=k6，
由条件可知x＝6﹣（﹣k）＝6+k，
∴6+k=k6，
解得k=−365．
故选：A．
11．式子x+24的值比2x−36的值大1，则x的值是x＝0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：x+24−2x−36=1，
去分母得：3x+6﹣4x+6＝12，
移项合并得：﹣x＝0，
解得：x＝0，
故答案为：x＝0
12．若关于x的方程ax+48−x＝1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为 31 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由ax+48−x＝1得：
ax+4﹣8x＝8．
解得：x=4a−8．
∵解是正整数
∴a﹣8的值可能为1，2，4，
∴a的值可能为9，10，12．
∴符合条件的所有整数a的和是：9+10+12＝31．
故答案为：31．
13．对于任意两个有理数a，b，规定a⊗b＝3a﹣b，若（2x+3）⊗（3x﹣1）＝4，则x的值为 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：根据新定义可得，（2x+3）⊗（3x﹣1）＝3（2x+3）﹣（3x﹣1），
∵（2x+3）⊗（3x﹣1）＝4，
∴3（2x+3）﹣（3x﹣1）＝4，
去括号，得6x+9﹣3x+1＝4，
移项、合并同类项，得3x＝﹣6，
将系数化为1，得x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．小明和小亮分别同时从同一直线上的A、B两地出发，相向而行．小明每分钟走80米，小亮的速度是小明的34，两人出发5分钟后相距50米，则A、B两地之间的距离是 750或650 米．
【答案】750或650．
【解答】解：设A、B两地相距x米，
分两种情况：
①两人相遇前相距50米，
根据题意得：(80+80×34)×5=x−50，
解得：x＝750；
②两人相遇后相距50米，
根据题意得：(80+80×34)×5=x+50，
解得：x＝650；
综上所述，A、B两地相距750米或650米．
故答案是：750或650．
15．一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论：
①这列火车长160米．
②这列火车的行驶速度为每秒16米．
③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒．
④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半．
其中正确的结论是 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④．
【解答】解：①设这列火车的长度为x米，
依题意得：x+25626=x+9616，
解得：x＝160，
即这列火车长度为160米，故①正确；
②这列火车的行驶速度为：（160+96）÷16＝16（米/秒），故②正确；
③这列火车通过长160米的隧道丙需用时：（160+160）÷16＝20（秒），故③错误；
④（160+256）÷16＝26（秒），（160+256）÷（16×2）＝13（秒），
即若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半，故④正确；
故答案为：①②④．
16．小明与小红两位同学解方程3x−14−5x−36=1的过程如下：
（1）小明与小红在解方程中均出现了错误；
小明出错的步骤是第 一 步、小红出错的步骤是第 二 步；
（2）写出正确的解答过程．
【答案】（1）一，二；
（2）x＝﹣9．
【解答】解：（1）小明出错的步骤是第一步，错误的应用了等式的性质二，等式左边乘以12，右边也应该乘以12；
小红出错的步骤是第二步，在利用分配律去括号号时符号错误．
故答案为：一，二；
（2）3x−14−5x−36=1，
3（3x﹣1）﹣2（5x﹣3）＝12，
9x﹣3﹣10x+6＝12，
9x﹣10x＝12+3﹣6，
﹣x＝9，
x＝﹣9．
17．嘉淇解方程2x−65+1=x+a2时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1．
（1）试求a的值；
（2）求原方程的解．
【答案】（1）a＝﹣2．
（2）x＝8．
【解答】解：（1）按方程左边的1没有乘以10，去分母得：2（2x﹣6）+1＝5（x+a），
把x＝﹣1代入得：2×（﹣8）+1＝﹣5+5a，
解得：a＝﹣2．
（2）把a＝﹣2代入原方程，得2x−65+1=x−22，
去分母得：2（2x﹣6）+10＝5（x﹣2），
去括号得：4x﹣12+10＝5x﹣10，
移项合并得：﹣x＝﹣8，
解得：x＝8．
18．雨天汽车容易打滑．在一段300km的国道上，甲、乙两车同时从A、B地相向而行，甲车因汽车打滑检查，停车检查了2.5小时后，乙车与甲车相遇，此时，乙车比甲车多行驶60km．
（1）求甲、乙两车分别行驶了多少千米？
（2）相遇后，甲车修理完毕，之后按乙车的2.25倍速度行驶，在乙车到达A地前的1小时到达B地，求甲车相遇前的速度．
【答案】（1）甲车行驶了120千米，乙车行驶了180千米；
（2）60千米/小时．
【解答】解：（1）设甲车行驶了x千米，则乙车行驶了（x+60）千米，
由题意列一元一次方程得，x+（x+60）＝300，
整理得，2x＝240，
解得x＝120，
∴x+60＝120+60＝180，
答：甲车行驶了120千米，乙车行驶了180千米；
（2）设乙车的速度为x千米/小时，则相遇后甲车的速度为2.25x千米/小时，
由题意列一元一次方程得，120x−1802.25x=1，
解得x＝40，
经检验得，x＝40是原方程的解，符合题意，
∴乙车的速度为40千米/小时，
∴乙车与甲车相遇时行驶的时间为180÷40＝4.5（小时），
∴甲车与乙车相遇时行驶的时间为4.5﹣2.5＝2（小时），
∴甲车相遇前的速度为120÷2＝60千米/小时，
答：甲车相遇前的速度为60千米/小时．
19．以下是两张不同类型火车（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁列车）的车票（部分）：
（1）根据车票中的信息填空：该列动车和高铁列车是 同 （选填“相”或“同”）向而行；该列动车比高铁列车发车 早 （选填“早”或“晚”）．
（2）已知该列动车和高铁列车的平均速度分别为160km/h，320km/h，两列火车的长度不计，如果两列火车都直达终点（即中途不停靠任何站点），高铁列车比动车早到30min，求A，B两地之间的距离．
【答案】（1）同；早；
（2）480km．
【解答】解：（1）根据车票中的信息可知，该列动车和高铁列车都是从A地开往B地，动车的发车时间是2024年12月14日18：50，高铁列车的发车时间是2024年12月14日19：50，
所以该列动车和高铁列车是同向而行，该列动车比高铁列车发车早，
故答案为：同；早．
（2）设A，B两地之间的距离为xkm，
由题意得：x160−x320=1+3060，
解得x＝480，
答：A，B两地之间的距离为480km．
20．如果点M、N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN＝m﹣n（m＞n）或n﹣m（m＜n）或|m﹣n|．利用数形结合思想解决下列问题：
已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）点A表示的数为 ﹣26 ，点B表示的数为 ﹣10 ，点C表示的数为 10 ．
（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝t（0≤t≤36） ，PC＝ 36﹣t（0≤t≤36） ．
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动．在点Q向点C运动过程中，能否追上点P？若能，请求出点Q运动几秒追上．
【答案】（1）﹣26，﹣10，10；
（2）t（0≤t≤36），36﹣t（0≤t≤36）；
（3）在点Q向点C运动过程中，能追上点P，点Q运动8秒追上点P．
【解答】解：（1）∵点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，
∴点A表示的数为﹣26；
∵点B在点A的右侧，且点A与点B的距离为16个单位长度，
∴点B表示的数为﹣26+16＝﹣10，
又∵点C表示的数与点B表示的数互为相反数，
∴点C表示的数为10．
故答案为：﹣26，﹣10，10；
（2）|﹣26﹣10|÷1＝36（秒）．
当运动时间为t（0≤t≤36）秒时，点P表示的数为﹣26+t，
∴PA＝|﹣26+t﹣（﹣26）|＝t，
PC＝|﹣26+t﹣10|＝36﹣t．
故答案为：t（0≤t≤36），36﹣t（0≤t≤36）；
（3）能，设点Q的运动时间为x秒，则点P表示的数为﹣10+x，点Q表示的数为﹣26+3x，
根据题意得：﹣10+x＝﹣26+3x，
解得：x＝8，
∵﹣26+3x＝﹣26+3×8＝﹣2＜10，
∴在点Q向点C运动过程中，能追上点P，点Q运动8秒追上点P．
教学目标
掌握解一元一次方程去分母的基本方法，再结合去括号、移项、合并同类项以及系数化为1解一元一次方程。
掌握解一元一次方程的基本步骤，并能够在解一元一次方程时熟练应用。
掌握行程问题中的基本量与基本等量关系以及行程问题的类型，并能够在题目中熟练应用并解决问题。
教学重难点
重点
（1）解一元一次方程的基本步骤；
（2）列一元一次解行程问题。
2. 难点
（1）解一元一次方程中的同解方程，错解方程以及方程的特殊解等问题；
（2）列一元一次方程解行程问题。
小明：
12×3x−14−12×5x−36=1（第一步）
3（3x﹣1）﹣2（5x﹣3）＝1（第二步）
9x﹣3﹣10x+6＝1（第三步）
﹣x＝﹣2（第四步）
x＝2（第五步）
小红：
3（3x﹣1）﹣2（5x﹣3）＝12（第一步）
9x﹣3﹣10x﹣6＝12（第二步）
﹣x＝12+3+6（第三步）
﹣x＝21（第四步）
x＝﹣21（第五步）