重庆市名校联盟2025-2026学年高二上学期第一次联合考试（11月期中）数学试卷（含答案）含答案解析

这是一份重庆市名校联盟2025-2026学年高二上学期第一次联合考试（11月期中）数学试卷（含答案）含答案解析，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
5．已知圆心为，半径为2的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
8．已知点，椭圆上两点，满足，当（ ）时，点横坐标绝对值最大．
A．－2B．4C．－3D．5
二、多选题
9．已知圆，直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线过圆心．
B．若，，则直线与圆相交．
C．若直线与圆相离，则．
D．圆心到直线的距离为3，则直线与圆相切．
10．已知椭圆的离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（ ）
A．B．的焦距为
C．的最小值为1D．的最大值为5
11．如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则三棱锥体积为定值
B．若，则动点所围成的图形的面积为
C．若，则的最小值为3
D．若动点满足，则的轨迹的长度为
三、填空题
12．已知直线，直线，当时， ．
13．已知，，，若，则的值为 ．
14．设点、为椭圆的两个焦点，离心率，是椭圆上与、不共线的任一点，是的内切圆圆心，延长交直线于点，则比值为 ．
四、解答题
15．已知圆，直线．
(1)求过圆心且与直线垂直的直线方程．
(2)直线与圆交于，两点，求的面积．
16．如图，长方体中，，，．
(1)求证：平面平面．
(2)求三棱锥的体积．
17．已知椭圆：过点，且离心率．
(1)椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，，AB的中点为．设原点为，射线OM交椭圆于点，已知四边形AOBD为平行四边形，求直线的方程．
18．如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
19．设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，且动点的轨迹为．
(1)求轨迹的方程，并说明该方程表示的曲线形状．
(2)已知，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点，，且（为坐标原点），并求出该圆的方程．
(3)已知，设直线与圆相切于，且与轨迹只有一个公共点，当为何值时，取得最大值？并求最大值．
12．
13．
14．
15．（1）由圆，即，
则圆心为，半径为，
直线的斜率为1，
则所求直线的斜率为，
所求直线的方程为，即.
（2）圆心到直线的距离为，
则，
所以的面积为.
16．（1）是长方体，，，，
，，为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
，，，，
，，为平行四边形，，
平面，平面，平面；
，平面，平面，平面平面.
（2），，
.
17．（1）椭圆过点，
，又，，
解得：，
椭圆的方程为；
（2）
设直线的方程为，
由得，
设，
则.，
四边形为平行四边形.
设，则，
所以，，
因为点在椭圆上，
所以得，解得，
当直线的斜率不存在时，显然不成立
所以，直线的方程为或
18．（1）因为，为的中点，所以，且．
连结．
因为，所以为等腰直角三角形，
且 ，由知．
由知，平面．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ．
由已知得
取平面的法向量．
设，则．
设平面的法向量为．
由得 ，
可取
所以 ．由已知得 ．
所以 ．解得(舍去)， ．
所以 ．
又 ，所以 ．
所以与平面所成角的正弦值为．
［方法二］：三垂线＋等积法
由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．
设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为．
［方法三］：三垂线＋线面角定义法
由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得．
在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以．
由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角．
设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为．
［方法四］：【最优解】定义法
如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得．
联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以．
【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法；
方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段；
方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；
方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解．
19（1）因为，，，
所以， 即.
当时，方程表示两直线，方程为；
当时， 方程表示的是圆；
当且时，方程表示的是椭圆.
（2）当时， 轨迹的方程为，
设圆心在原点的圆的一条切线为，
由，得，
要使切线与轨迹恒有两个交点，，设，，
则，
即，即，
且，，
则，
由，则，
即，所以，
即且， 即恒成立.
又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，，
所求的圆的方程为.
当切线的斜率不存在时，切线为，与交于点或，也满足.
综上所述， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点，，且.
（3）当时，轨迹的方程为，
设直线的方程为，
因为直线与圆相切于，
则， 即①，
因为与轨迹只有一个公共点，
联立，得，
则，
即， ②
由①②得， 设点，
则，
又点在椭圆上，则，即，
所以，
在直角三角形中，，
因为当且仅当时取等号，
所以，
当时，取得最大值，最大值为1.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
A
B
A
C
D
ABD
AC
题号
11









答案
ABD