广东省东莞市七校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题（含答案）

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7．【详解】当时，由，此时函数无零点；
当时，对任意的恒成立，函数在上单调递增，
且当时，，当时，，此时存在一个零点，不符合题意；
当时，由可得，由可得，
由可得，所以函数的单调减区间为，单调增区间为，
所以，因为函数不存在零点，
所以，可得，解得.
综上所述，当函数不存在零点时，，故选：C.
8．【详解】
由双曲线可知渐近线方程为，
因为，所以，
在中，，，可得.
即，则
又因为点在渐近线上，所以，解得，可得.
10．【详解】对于A选项，由基本不等式可得，可得，
当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，由可得，解得，所以，，B错；
对于C选项，由可得，则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对；
对于D选项，，
因为，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.故选：ACD.
11．【详解】对于A，由图可知，点到平面的距离最大时，直线与平面所成的角最大，
又点为线段上的动点，所以点为时，到平面的距离最大，
又因为平面，所以为直线与平面所成的角，
又，所以直线与平面所成角的最大值为，故A正确；
对于B，取的中点，延长交的延长线于，
由，可得，所以，所以为的中点，
由正方体，可得，又易得平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又且，所以四边形是平行四边形，所以，
所以平面，又平面，所以平面，
因为平面平面，所以（不含端点），易得，
所以点的轨迹长度为，故B正确；
对于C，取的中点，取的中点，易证，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以且，又且，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
又平面，所以与平面不平行，
所以点到平面的距离不是定值，又三角形的面积为定值，
所以三棱锥的体积不为定值，故C错误；
对于D，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由平面，所以为平面的一个法向量，
又，所以，所以点，
设，则，
因为平面，所以，所以，
所以，故的取值范围为，故D正确.
12．60【详解】二项式展开式的通项公式：，
令，解得，所以可得第三项中的系数是.
13．26【详解】因为得圆心为，半径，
因为圆C上恰有三点到直线l的距离均为3，
所以圆心到直线的距离为3，即，解得或，
又因为直线不过第三象限，所以，即，所以．
14．【详解】由不等式得：，
即，令，则，
函数在上单调递增，，，
令，则，
当时，恒成立，在上单调递增，
，即恒成立；
当时，若，则；若，则；
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，；综上所述：.
15．【详解】（1）因为，且由正弦定理得，
所以，分
因为A+B+C=π，所以，分
，
，分
因为，所以，分
即，所以，分
因为，所以，所以有，所以分
（2）因为，且∆ABC的面积为，
所以有分
所以，即，所以∆ABC周长为分
16．（1）当比赛四局结束时，若甲获胜，则甲第四场胜，前三场胜两场输一场，
则甲获胜的概率为；分
当比赛四局结束时，若乙获胜，则乙第四场胜，前三场胜两场输一场，
则乙获胜的概率为，分
故比赛四局结束的概率为分
（2）由题意，的可能取值为，
当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故此局必为甲胜，
则；分
当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这两局中第一局乙胜，第二局甲胜，
则；分
当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这三局中，要么乙全部胜，要么乙胜前两局，甲胜最后一局，
则；分
所以的分布列为分
故．分
17．（1）由题知，，
因为平面，平面，所以，分
因为平面，
所以平面，又平面，所以，分
又是中点，所以，又平面，
所以平面，分
又平面，所以平面平面分
（2）由题知，以为原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系如图所示，分
过作，因为，所以，则，设，分
则，即，
又，即，所以，
所以，即，分
则， 分
设平面的一个法向量，平面的一个法向量，
则，取，可得，分
又，可得，
取，可得，分
令平面与平面的夹角为，
则，分
所以，即二面角的正弦值为分
（1）由题意可得分
解得，所以的方程为分
（2）依题意画出图像为：
设直线的方程为分
（因为点在第二象限，所以，即），设，.
联立直线与椭圆方程得分
当时，.
由根与系数的关系知，①，②分
因为是的中点，所以，结合①解得.
代入②，解得（舍去），
所以直线的方程为，即或分
（3）根据题意画出图像为：
由①②可得，分
由题意可得，，直线的方程为
，分
所以直线过定点分
19．（1）依题意，，则有，
当时，
分
又也满足，所以分
（2）函数的定义域为，分
求导得，分
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，因此，
所以函数的最小值为分
由（2）知，当时，，令，
则，分
则，分
因此，
令，
于是，分
两式相减得，
因此，所以分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
A
D
B
C
B
BC
ACD
题号
11









答案
ABD