北师大版（2024）九年级上册正方形的性质与判定课时练习

这是一份北师大版（2024）九年级上册正方形的性质与判定课时练习，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=70∘，点E为对角线BD上一点，点F为AD边上一点，连接AE，CE，FE，CF，若AE=FE，∠BCE=25∘，则∠CFD的度数为( )
A. 50∘B. 55∘C. 60∘D. 65∘
二、解答题
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE⊥AB于点E，F为线段AE上一点，若AC=6，BD=8，AF=49AE，求线段CF的长．
3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，E为对角线AC上一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60∘，点E的对应点为点F，连接BE，AF，CF.
(1)求证：B，C，F三点共线；
(2)若G为BE的中点，连接AG，求证：AF=2AG.
4.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF，若sin∠EAF=45，AE=5，求AB的长．
5.如图，在菱形ABCD中，∠D=60∘，点E是边AD上的点，点F是边BC上的点，将菱形ABCD沿直线EF折叠，点C的对应点为C′，点D的对应点为D′.
(1)如图①，若点F与点B重合，AB=6，连接AC′，AD′，当∠C′AD′=90∘时，求AC′的长；
(2)如图②，连接BE，CE，若C′D′过点A，且C′F所在直线垂直于AB，求S△BEFS△CEF的值．
6.如图，四边形ABCD是菱形，M为CD边上一点(不与点C，D重合)，过点A作直线BM的垂线交BM于点E，F是直线BM上一点(点F在点E右侧)，连接AF，DF，且∠EAF=12∠BAD.
(1)如图①，当∠EAF在∠BAD内部时，求证：DF=BF−2BE；
(2)如图②，当∠EAF的边AE，AF分别在边AB的两侧时，判断(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
7.如图，若将四边形ABCD沿AC折叠，则点B与点D重合，过点B作BE//CD交AC于点E，连接DE.
(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)连接BD，若四边形BCDE的周长为14，面积为132，求BD+CE的值．
8.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，连接AC，P，Q分别是边AD，BC上的动点，且AP=BQ，作PE⊥AC于点E，QF⊥AC于点F，求PE+QF的值．
9.如图，在正方形ABCD中，AB=6，M为BC延长线上一点，且CM=12BC，N为AB上一点，连接NC并延长交DM的延长线于点G，若∠G=45∘，求△NBC的面积．
10.我们把长与宽之比为 2:1的矩形称为“标准矩形”．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准矩形”，如我们的课本封面、A4的打印纸等．
(1)如图①，四边形ABCD是“标准矩形”(AB4，∴此时点E不在线段AB上，即当点E在线段AB上时，CQ不可能垂直NQ，∴点E在线段AB上时，CQ>2+ 3；②如图④，当点E在线段AB的延长线上时，∵将△ABF沿AB翻折得到△ABP，
∴∠ABF=∠ABP=120∘，∵点Q为AP的中点，取AB的中点N，连接NQ，∴NQ//BP，∴∠ANQ=∠ABP=120∘，∴点Q在过AB的中点N，且与AB成120∘∠ANQ=120∘的射线NQ上移动(判断出点Q的运动轨迹)，∴当CQ⊥NQ时，CQ的值最小，同理可得当CQ⊥NQ时，CQ=2− 3，综上所述，CQ的最小值为2− 3.
15.【答案】【小题1】
证明：如图①，过点M作ME⊥AD于点E，延长EM交BC于点F，则∠AEM=∠MFN=90∘，∠EAM+∠AME=90∘，
∵MN⊥AQ，∴∠AME+∠FMN=180∘−∠AMN=90∘，∴∠EAM=∠FMN.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=EF，∠ADB=45∘，∴DE=ME，
∴AD−DE=EF−ME，即AE=MF，∴△AEM≌△MFNASA，∴AM=MN；
【一题多解】
如解图①，连接AN，
∵∠AMN=∠ABC=90∘，∴A，B，N，M四点共圆，
∴∠NAM=∠DBC=45∘，∠ANM=∠ABD=45∘，
∴∠ANM=∠NAM=45∘，∴AM=MN；
【小题2】
证明：如图②，连接AC，交BD于点O，
由同角的余角相等知∠OAM=∠PMN，由(1)得AM=MN，
∵∠AOM=∠MPN=90∘，∴△AOM≌△MPNAAS，
∴MP=AO=12AC=12BD；
【小题3】
证明：如图③，将△ADQ绕点A顺时针旋转90∘，使AD和AB重合，得到△ABR，连接AN，
则AR=AQ，∠BAR=∠DAQ，∠ABR=∠ADQ=90∘，
∴∠ABR+∠ABC=180∘，∴点R，B，C在同一条直线上，
∵AM=MN，MN⊥AQ，∴∠QAN=45∘，∴∠BAN+∠DAQ=45∘，
∴∠RAN=∠BAR+∠BAN=∠DAQ+∠BAN=∠QAN=45∘，
∵AR=AQ，AN=AN，∴△AQN≌△ARNSAS，∴RN=NQ，
∵RN=BR+BN，BR=DQ，∴BN+DQ=NQ；
【小题4】
解：AB+BNBM是定值，
证明：如图④，过点M作MS⊥AB于点S，MW⊥BC于点W，
∵点M是对角线BD上的点，∴易得四边形SMWB是正方形，
∴MS=MW=BS=BW，
易证△AMS≌△NMW，∴AS=NW，∴AB+BN=SB+BW=2BW，
∵BM= 2BW，∴AB+BNBM=2BW 2BW= 2.