湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：2025年11月19日上午08：00-10：00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据元素与常用数集关系，以及集合与集合的关系，判断正确结果即可.
【详解】0是自然数，所以A正确；
是无理数，所以B错误；
中有一个元素，不是空集，所以C错误；
，都是点集，两点不同，所以集合不相等，所以D错误.
故选：A.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简集合，应用并集定义计算求解.
【详解】解得，则.
故选：B.
3. 已知，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用特殊值法计算判断A，C，D，应用不等式的性质计算判断B.
【详解】对于A：当时，，A选项错误；
由题意，则，B正确；
对于C：取，所以，C选项错误；
对于D：取，所以，D选项错误；
故选：B.
4. 函数的单调减区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和幂函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，
根据幂函数的性质，当时，单调递减，
因为的图象关于轴对称，所以函数在单调递增，
所以函数的单调减区间为.
故选：C.
5. 已知，则（ ）
A. B. 0C. 3D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用赋值法根据抽象函数求函数值，直接代入求解即可.
【详解】令则，当时，代入表达式可知.
故选：D
6. 已知命题是上的增函数，命题，使得对于恒成立，则是的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】应用单调性定义结合特殊函数，再应用充分必要条件定义判断.
【详解】若是上的增函数，因为，所以，
，使得对于恒成立，充分性满足；
取,表示不超过x的最大整数，
当时，，命题B成立，
但是在R上不是增函数，比如，
即命题A不成立，因此必要性不满足，故是的充分不必要条件，
故选：A.
7. 2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式.此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求.在排练演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度均为.则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得传令兵所走的时间，进而求得，可求路程.
【详解】当传令兵回到排尾时所用时间为，
由题意，则，解得，
因为全队正好前进了，即，所以传令兵回到排尾时所走的路程为.
故选：A.
8. 已知函数，对于恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知为奇函数，且在上为增函数，将所求不等式化为，可得出在上恒成立，即对任意的恒成立，结合可求出的取值范围.
【详解】因为的定义域为，，
故函数为奇函数，
当时，，则在上为增函数，故该函数在上为增函数，
因为函数在上连续，故函数是上的增函数.
由可得，则恒成立.
即对任意的恒成立，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设正实数，满足，则（ ）
A. 的最小值为2B. 有最小值为
C. 最大值为2D. 有最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式判断A、C、D，换元、结合二次函数的性质判断B.
【详解】对于A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，故A正确；
对于B：因为正实数，满足，所以，又，解得，
所以，当时，有最小值为，此时，故B正确；
对于C：，因为，
所以，即最大值为，等号成立条件是，，故C正确；
对于D：，
当且仅当，即，时取等号，故D错误.
故选：ABC
10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，其中为常数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，B. 是上的增函数
C. 的值域为D. 若方程有4个根，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求解析式可判断A；时举反例可排除B；时举反例可排除C；画出的图像并且对进行分类讨论可判断D.
【详解】当时，，又，故A正确；
取，则，，所以不是上的增函数，故B错误；
取，则当时， ，时，，时，，
此时的值域为，不为，故C错误；
作出图象，若，方程至多2个根，故，
当与有四个交点时，，解得.故D正确.
故选：AD
11. 已知集合，满足，，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则下列说法正确的是（ ）
A. 可能为
B. 不可能有4个元素
C. 若中有3个元素，则不同的集合有15个
D. 符合题意的不同的集合有44个
【答案】BCD
【解析】
【分析】由，则可判断A；反证法可判断B；若中有3个元素，则，，可得集合的所有可能情况判断C；由中可能有1个、2个、3个、5个、6个、7个元素，据此计算可判断D.
【详解】若，则，中的元素个数6是中的元素，不符合题意，故A错误.
若中有4个元素，则中也有4个元素，则4不在集合中，不符合题意，
故B正确.
若中有3个元素，则，，共有个不同的集合，故C正确.
依题意，中可能有1个、2个、3个、5个、6个、7个元素，
若中只有1个元素时，则中有7个元素，故，，
所以对应的不同集合分别有1个、
以此类推，可得中只有2个、3个、5个、6个、7个元素时，
对应的不同集合分别有6个、15个、15个、6个、1个，
所以符合题意的不同集合有44个，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数为奇函数，则实数的值为______
【答案】0
【解析】
【分析】根据奇函数的性质可得，从而可求解实数a的值.
【详解】依题意，，即，
整理可得，，解得.
故答案为：0.
【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，已知函数为奇函数，则必然满足，属基础题.
13. 已知命题“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，列出不等式，求出结果.
【详解】当“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，即.
故答案为：.
14. 已知函数，若对于任意的，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，当时，得到是上的减函数，满足题意；当时，转化为对于恒成立，设，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解.
【详解】当时，解得，可得在上单调递减，在上单调递减，
如图（1）所示，此时函数是上的减函数，
则对任意成立，符合题意；
当时，如图（2）所示，
若，即对于恒成立，
即对于恒成立，
设，可得其图象开口向上，且对称轴为，
当时，则满足，解得，不符合题意，舍去
当时，则满足，
即，解得，解得，所以，
综上：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字、证明过程或演算步骤.
15. 黄冈市某高中“校园农场”于2025年9月正式投入使用，现打算围成如图所示的长方形田地种植萝卜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成.
（1）若田地的面积为，要使围成田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？总长最小是多少？
（2）现有长的篱笆，要使田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？面积最大是多少？
【答案】（1）长和宽分别为和；总长最小为
（2）长和宽分别为和；面积最大为
【解析】
【分析】（1）设长方形长和宽分别为，，可得，利用基本不等式可求；
（2）设长方形田地的长和宽分别为，，其中，，可得，利用基本不等式可求得面积的最大值.
【小问1详解】
设长方形长和宽分别，，其中，.由题意，得.
由基本不等式，，当且仅当，时取等.
即长和宽分别为和.总长最小为.
【小问2详解】
设长方形田地的长和宽分别为，，其中，.则.
由基本不等式，解得，
当且仅当，时取等号.
即长和宽分别为和.面积最大为.
16. 已知集合，集合.
（1）若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）分类讨论，根据集合中的3个整数，求出范围即可；
（2）根据集合B中元素特点，由求范围即可.
【小问1详解】
当时，，此时中有三个整数，则；
当时，，此时中有1，2，3三个整数，则.
综上所述，或.
【小问2详解】
表示偶数集，
当时，集合中包含2，则；
当时，集合中包含0，则.
当时，集合中不包含偶数，
所以或.
17. 定义在上的函数同时满足三个条件：①；②对于任意恒成立；③恒成立.
（1）证明：奇函数；
（2）证明：是上的增函数；
（3）请直接写出一个符合题意的函数，不用说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）（答案不唯一，满足的函数均可）
【解析】
【分析】（1）令，令，可证明结论；
（2）任取，由已知可得，可证结论；
（3）根据函数的性质可写出符合条件的函数.
【小问1详解】
由条件①，令，解得，所以，
令，解得，则.
所以，所以是奇函数；
【小问2详解】
任取，由条件②可知，即，
所以，所以是上的增函数；
【小问3详解】
如，
,
所以符合；
由，可知符合；
由，可知符合恒成立.
18. 已知函数，其中为非零常数.
（1）写出在上的单调区间，；
（2）若，求函数的值域；
（3）若，对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查函数单调性、值域以及根据函数最值关系求解参数取值范围等知识点。
（1）根据对勾函数的性质直接得出在上的单调区间，
（2）先对进行变形，再利用换元法，结合均值不等式求出换元后变量的取值范围，最后根据二次函数的单调性求出值域，
（3）法1：分别求出在上的最小值和在上的最小值，再根据条件建立不等式，分情况讨论求解k的取值范围，进而得到k的最大值.
法2：根据题意将表达式化简，利用参变分离以及函数单调性即可求得实数的最大值.
【小问1详解】
任取， 则；
①当时，由得到，
所以上单调递增；
②当时，
（i）当时，，所以在上单调递减；
（ii）当时，，所以在上单调递增；
综上所得，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，上单调递增.
【小问2详解】
当,
利用基本不等式当时；当时；
因为
所以，其中或者，令，
则转化为求，或者，
当时，函数取到最小值0.值域为.
【小问3详解】
法1：由题意，，
当时，，则，解得；
当时，，则，解得实数不存在；
当时，，则，解得实数不存在.
综上所述，实数的最大值为.
法2：由题意，，
即在有解，分离变量后在有解，
设，则，其中，解得.
综上所述，实数的最大值为.
19. 已知函数，.
（1）已知对于定义域内任意实数，恒成立，则关于对称，利用上述结论证明：函数存在对称轴；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若在上最大值是2，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）或者
【解析】
【分析】（1）分析可得的对称轴为，根据所给定义，分别求和，分析即可得证.
（2）法1：当，分析此时符合题意，当时，求得两根，根据单调性，即可得答案；法2：根据题意得在上恒成立，分析计算，即可得答案.
（3）分析可得在上最大值只可能在，，中出现，分别讨论三个最大值时，求出m的范围，综合即可得答案.
【小问1详解】
因为的对称轴为，
由图象变换可知，的对称轴为.
证明如下：，
，
所以，所以存在对称轴.
【小问2详解】
法1：当，即时，恒成立，
此时，符合题意；
当，即时，有两个实根，
在，上单调递增，即，
解得.
综上所述，.
法2：因为和在上都是单调递增，
所以在上恒成立，
即，解得 .
【小问3详解】
由，得，且.
因为在上最大值只可能在，，中出现，
当取最大值时，，经检验，符合题意；
当取最大值时，或，经检验，符合题意；
当取最大值时，，经检验，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是或者.