四川省成都市成华区某校2025-2026学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

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的正确选项填涂在答题卡相应位置上）
1. 已知两条直线 ： 和 ： ，若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 或 1 D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行可解得实数 ，验证可得正确的选项.
【详解】若 ，则 ，解得 或 ，
当 时， 、 的方程均为 ，故重合，不符题意；
当 时， ： ， ： ，两者平行，符合题意，故 B 正确.
故选：B.
2. 已知随机事件 A，B，C 中， 与 相互独立， 与 对立，且 ， ，则
（ ）
A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72
【答案】B
【解析】
【分析】由公式 可知只需求出 即可，结合对立减法公式
以及独立乘法公式即可求解.
【详解】 ， ，
所以 .
故选：B.
3. 已知 a，b 是空间两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则
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【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中点线面的位置关系，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】选项 A：若 ， ，则可能 ，故 A 错误；
选项 B：因 ，如图过 作平面 ，交平面 于 b，
根据线面平行的性质定理，可得 ，因为 ，所以 ，
又因 ，所以 ，故 B 正确；
选项 C：若 ， ，则可能 或 或 与 相交，故 C 错误；
选项 D：若 ， ， ，则 与 可能相交，故 D 错误.
故选：B
4. 如图，线段 、 在平面 内， ， ，且 ， ， .则 、
两点间的距离为（ ）
A. 1 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，由题可得 ， ， ，然后由 ，
及 ，可得 ，据此可得答案.
【详解】设 ，因为 ，且 ， 平面 ，
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可得 ， ，且 ，
可得 ， ， ，
根据向量的线性运算，可得 ，
则
.
即 ，解得 （舍）或 ，故 .
故选：A
5. 已知甲、乙两名同学在高三的 6 次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试
成绩），则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B. 甲成绩的第 25 百分位数大于乙成绩的第 75 百分位数
C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差
【答案】B
【解析】
【分析】A 由图结合极差概念可判断选项正误；B 由图结合百分位数概念可判断选项正误；C 由图可判断甲
乙平均数 大小关系；D 由图结合方差概念可判断选项正误.
【详解】A，由图甲的极差约为 30，乙的极差大于 30，故 A 正确；
B，对甲成绩排序，又 ，则第 2 个成绩为甲成绩的第 25 百分位数，由图估计值为 90；
对乙成绩排序，又 ，则第 5 个成绩为乙成绩的第 75 百分位数，估计值大于 90，
则甲成绩的第 25 百分位数小于乙成绩的第 75 百分位数，故 B 错误；
C，由图可知，甲的成绩在 90 分上下浮动，乙的成绩有 3 次低于 60 分，则甲成绩的平均数大于乙成绩的平
均数，故 C 正确；
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D，由图甲的成绩更加稳定，乙的成绩波动性较强，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故 D 正确.
故选：B
6. 若直线 与圆 无公共点，则点 与圆的位置关系是（ ）
A. 点 在圆上 B. 点 在圆外
C. 点 在圆内 D. 以上都有可能
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离小于圆的半径可得出关于 、 的不等式，即可判断出点 与圆
的位置关系.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 与圆 无公共点，则 ，所以， ，
因此，点 在圆 内.
故选：C.
7. 若圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 1，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
若圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 1，
则圆心为 到直线 的距离等于 1，
∴ ，解得 .
故选：B.
8. 如图①，在 中， ， ，D，E 分别为 ， 的中点，将 沿 折
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起到 的位置，使 ，如图②.若 F 是 的中点，则四面体 的外接球体积是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得 平面 ，建立如图所示空间直角坐标系，由已知可得 的外接圆的圆
心在 的中点 ，设外接球的球心为 ，半径为 ，则 ，即可得到
方程，求出 ，即可求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得；
【详解】解：依题意 ， ， ， 平面 ，所以 平
面 ，又 ，如图建立空间直角坐标系，则 、 、 、 、
、 ，依题意 为直角三角形，所以 的外接圆的圆心在 的中点
，设外接球的球心为 ，半径为 ，则 ，即
，解得 ，所以 ，所以外接球
的体积 ；
故选：B
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二、多选题（满分 18 分，每小题 6 分.每小题的四个选项中都不止一个满足条件，请将正确选
项填涂在答题卡相应位置上.全部选对得满分，部分选对得部分分，选错不得分.）
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若空间向量 ， ，则 在 上的投影向量为
B. 已知 ， ，则点 到直线 的距离为
C. 若对空间中任意一点 有 ，则 ， ， ， 四点共面
D. 若直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则
【答案】AC
【解析】
分析】对于 A，应用 求解即可；对于 B，应用 求解即可；
对于 C，转化为 即可判断；对于 D，可证得 ，但线面关系可有两种情况.
【详解】解：对于 A 项： 在 上的投影向量为 ，故 A 正确；
对于 B 项： ，故 B 错误；
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对于 C 项：因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ， ， 四点共面，故 C 正确；
对于 D 项：因为 ，
所以 ，则 或 ，故 D 错误；
故选：AC
10. 关于直线和圆，下列说法正确的是（ ）
A. 过点 且与圆 ： 相切的直线方程为
B. 圆 ： 关于直线 对称
C. 点 到直线 距离的最大值为
D. 直线 ： 被圆 ： 截得的最短弦的弦长为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据过一点作圆的切线，分类讨论切线斜率存在与否，并结合点到直线的距离等于半径求解即可
确定切线方程，从而判断 A 项；通过圆心在直线上，可判断 B 项；通过含参直线方程，可确定直线所过定
点 ，当 时，点到直线的距离最大，可判断 项；通过含参直线方程求出所过定点 ，当
时，所截弦长最短，从而判断 项.
【详解】对于 A 项，设过点 的直线为 ，当 轴时，直线 ： 满足条件.
当 不垂直于 轴时，设 的方程为 ，即： ，则 ，解得
，∴直线 ： ，故 错误；
对于 B 项，∵圆心 在直线 上，∴圆 关于直线 对称，故 B 正确；
对于 C 项，直线 方程整理得 ，令 ，得 ，
∴直线 恒过定点 ，则点 到直线 的距离的最大值为 ，故 C 正
确；
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对于 D 项，直线 ： 整理得 ，令 ，得 ，
所以直线 恒过定点 .
由圆 ： ，得圆心 ，半径 ，则圆心 到直线距离的最大值为
，所以最短弦的弦长为 ，故 错误.
故选：BC.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是 、 ，则题被解出的概率是
B. 若 ， 是互斥事件，则
C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”
是对立事件
D. 若样本数据 ， ，…， 的方差为 8，则数据 ， ，…， 的方差为 16.
【答案】AB
【解析】
【分析】A，由独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式即可判断，B，由互斥事件概率加法公式可判断；
C，由对立事件概念可判断，D 由方差运算性质可判断.
【详解】对于 A，由独立事件概率乘法公式可得此题没被解出的概率为 ，
再由对立事件概率公式可知：题被解出的概率是 ，正确；
对于 B，由互斥事件概率加法公式可知正确；
对于 C，从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果：
一个红球，一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球；
显然“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件；
对于 D,由方差的运算性质可知：数据 ， ，…， 的方差为 ，错误；
故选：AB
三、填空题（共 15 分，每小题 5 分.请把你认为正确的答案直接填写在答题卡相应位置上）
12. 若方程 表示圆，则 m 的取值范围为__________.
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【答案】
【解析】
【分析】根据圆的标准方程直接计算可得.
【详解】因为方程 表示圆，即 表示圆，
所以 ，解得 或 .
所以当 时，方程 表示圆心为 ，半径为 的
一个圆.
故答案为： .
13. 已知点 ，若直线 与线段 相交，则 k 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求得直线 过定点 ，然后利用两点斜率公式，结合图象求出斜率范围即可.
【详解】直线 ，即 ，所以直线 过定点 ，
如图， ．
因直线 l 与线段 相交，则由图可知 或 ，
即 k 的取值范围是 ．
故答案为：
14. 动直线 ： 与动直线 ： 相交于点 ，则 的最小值为
______.
【答案】1
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【解析】
【分析】由题知直线 ， 始终垂直，且分别过定点 ， ，进而得到点 的轨迹方程，最
后转化为斜率问题求解即可.
【详解】由题意可知，动直线 ： 经过定点 ，
动直线 ： 经过定点 ，
因为两直线 ， 始终垂直，点 是两条直线的交点，
所以有 ，
所以点 的轨迹方程是 ，
所以点 的轨迹为：以 为圆心，半径为 的圆去掉点 .
如图，
因为 ，故只需求 的最小值，
所以，所求 可以看成点 与点 连线的斜率，
求出过 点与圆 相切的切线斜率即可，
设切线为 ，即 .
根据相切的条件构造方程，即 ，解得 .
所以 的最小值为 ，
所以 最小值为 .
故答案为：1
四、解答题（满分 77 分，解答须写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.）
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15. 2024 年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801 人成功晋级，某 17 岁中专生排名 12 名，引发社会广
泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙 3 人，各自独立去
做 2024 年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为 ，乙能解出而丙不能解出
该题的概率为 ，甲、丙都能解出该题的概率为 ．
（1）求乙、丙各自解出该题的概率；
（2）求甲、乙、丙 3 人中至少有 1 人解出该题 概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出未知数，根据已知条件列出等式，求出结果即可.
（2）先求出对立事件的概率，进而得到甲、乙、丙 3 人中至少有 1 人解出该题的概率.
【小问 1 详解】
设乙能解出该题的概率为 ，丙能解出该题的概率为 ，
因为甲、丙都能解出该题的概率为 ，所以 ，解得 .
因为乙能解出而丙不能解出该题的概率为 ，所以 ，解得 .
所以乙、丙各自解出该题的概率是 .
小问 2 详解】
甲、乙、丙 3 人都没有解出该题的概率是
，
所以甲、乙、丙 3 人中至少有 1 人解出该题的概率是 .
16. 2023 年 10 月 22 日，汉江生态城 2023 襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉
松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了 100 名
候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第
五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为 0.3，第一组和第五组的
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频率相同．
（1）估计这 100 名候选者面试成绩的下四分位数和平均数；
（2）在这 100 名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取 10 人，再从这 10 名面试者
中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．
（3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20 人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试
者的面试成绩的平均数和方差分别为 62 和 40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 80 和 70，
据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
【答案】（1）63，
（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意先求出，进一步结合平均数公式、百分位数的定义即可列式求解；
（2）由列举法求解古典概型概率即可；
（3）由分层抽样方差公式计算即可.
【详解】（1）由题意可知： ，解得 ，
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
因为 ，
设下四分位数即第 25 百分位数为 ，则 ，
则 ，解得 ，故下四分位数为 63．
平均数为 ，
（2）因为第四组和第五组频率为 0.2 和 0.05，所以 10 人中，第四组为 8 人.第五组为 2 人，
记第四组的人的编号为 1 到 8，第五组的人的编号为 9 和 10，
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则样本空间
共 45 个 样
本点，
记两名面试者成绩都在第五组为事件 A， 则事件 ，故 ；
（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为 ，
且两组频率之比为 ，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数 ，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
．
所以估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是 ．
17. 已知直线 ： ， ： 的交点
（1）求过点 且与直线 垂直的直线的方程；
（2）求过点 且横截距与纵截距相等的直线的方程；
（3）求直线 关于直线 对称的直线的方程.
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）联立两直线方程求解可得其焦点坐标 ，再求出直线 的斜率，结合垂直性质即可得；
（2）结合截距定义，分该直线过原点与该直线不过原点进行讨论即可得；
（3）找出直线 上任意一点关于 对称的点后，结合点 计算即可得解.
【小问 1 详解】
联立 ，解得 ，故 ，
因为直线 斜率 ，则所求直线斜率为 ，
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所以所求直线方程为 ，即 ；
【小问 2 详解】
由（1）得 ，当所求直线过原点时，方程为 ，即 ；
当所求直线不过原点时，可设为 ，则有 ，解得 ，
即所求直线方程为 ，即 ；
综上可得所求直线方程为 或 ；
【小问 3 详解】
对 ： ，令 ，得 ，故 是 上的点，
设 关于 对称的点为 ，
则有 ，解得 ，故 在所求直线上，
则所求直线方程为 ，即 .
18. 已知圆 过点 ，圆心在直线 上，且圆 与直线 相切．
（1）求圆 的标准方程；
（2）若点 为直线 上的动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，求四边形
面积的最小值，并求出此时点 的坐标．
【答案】（1）
（2）四边形 面积的最小值为 ，点 的坐标为
【解析】
【分析】（1）设圆心 ，根据题意列关于 方程，解方程，可求出圆 的半径，进而可得出
圆 的标准方程；
（2）推导出 ，可得出四边形 面积 ，分析可知，当
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时， 取最小值，
求出 方程，联立 、 的方程，求点 的坐标，并求出 的值，由此可得出四边形 面积
的最小值.
【小问 1 详解】
因为圆 的圆心在直线 上，设圆心为 ，
根据题意可得 ，即 ，
解得 ，故圆心为 ，该圆的半径为 ，
因此，圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
因为 、 都与圆 相切，由切线长定理可得 ，
又因为 ， ，
则 ，且 ， ，
所以，四边形 面积 ，
当 时， 取最小值，则四边形 面积最小，
因为直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
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由 得 ，即点 的坐标为 ，
此时 ，则四边形 面积的最小值为 .
19. 在三棱柱 中， ， 底面 ， ， 到平面 的距离
为 1.
（1）求证： ；
（2）若直线 与 距离为 2，
①求棱 的长；
②求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；② .
【解析】
【分析】（1）过点 作 于点 ，先由题设求证 平面 得到 ，进而在平行
四边形 中，设 ，由 计算求出 x 即可得证；
（2）①取 的中点 ，连结 ，求证 得到 ，进而得到 中的 ，从而在
中由 即可计算得解；建立适当的空间直角坐标系，求出平面 的一
个法向量 ，求 ，再由 即可求解.
【小问 1 详解】
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过点 作 于点 .
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴平面 平面 ，
∵平面 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，
则由已知，在平行四边形 中，
， ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，∴ .
【小问 2 详解】
①取 的中点 ，连接 .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ， ，
在 中， ；
在 中， ；
②以点 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 .
则点 ， ， ， ， 各点坐标如图.
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由(1)知，点 为 中点，∴
∴ ，由（1）知 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，
又 ，
又 ， ， ，
∴ ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
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