广东省六校联盟2026届高三上学期第三次联考（期中） 数学试卷及参考答案

这是一份广东省六校联盟2026届高三上学期第三次联考（期中） 数学试卷及参考答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x80,φ1,且a≠1)、g(x)=lgax(a>0,且a≠1)、h(x)=xa(a≠0)．
(1)若f(x)=ex、h(x)=x2，求函数y=h(x)f(x)的极值；
(2)若函数g(x)=lnx与h(x)=xa(x>0,且a≠0)的图象存在公切线，求实数a的取值范围；
(3)已知a>0且a≠1,若函数f(x)=ax与g(x)=lgax的图象有三个公共点，求实数a的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.C
5.C
6.D
7.A
8.B
9.AB
10.ABD
11.ACD
12.16 23
13.4
14.2
15.(1)证明：在 ▵BAD 中， BDsin∠BAD=ABsin∠BDA,∴BD=ABsinαsin∠BDA ，
在 ▵CAD 中， DCsin∠DAC=ACsin∠CDA,∴DC=ACsinβsin∠CDA ，
由于 ∠BDA+∠CDA=180∘ ，故 sin∠BDA=sin∠CDA ，
所以 BDDC=ABsinαsin∠BDAACsinβsin∠CDA=AB⋅sinαAC⋅sinβ ．
(2)解：因为β=90∘，故DA⊥AC，故α=∠BAD为锐角，
又BDDC=AB⋅sinαAC⋅sinβ，且D为BC的中点，AB=4，AC=2，
故11=4sinα2sinβ，∴sinα=12，∴α=30∘，∴∠BAC=120∘，
故S△ABC=12×4×2× 32=2 3，
∴S△ACD= 3．

16.解：(1)取AD的中点O，连接PO，OC，
因为△PAD为等边三角形，
所以PO⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PO⊥平面ABCD，
如图所示，
以O为坐标原点，直线OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,−1,0)，D(0,1,0)，C(1,0,0)，B(1,−1,0)，P(0,0, 3)，
CP=(−1,0, 3)，CD=(−1,1,0)，
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，
所以n⋅CP=−x+ 3z=0n⋅CD=−x+y=0，
令z=1，则n=( 3, 3,1)，
又BC=(0,1,0)，
故B到平面PCD的距离d=|BC⋅n||n|= 3×0+ 3×1+1×0 ( 3)2+( 3)2+12= 3 7= 217．
(2)设E(s,t,r)，PE=λPD，
所以(s,t,r− 3)=λ(0,1,− 3)，
所以E(0,λ, 3− 3λ)，
则AC=(1,1,0)，AE=(0,λ+1, 3− 3λ)，
设平面EAC的法向量为m=(x′,y′,z′)，
则m⋅AC=x′+y′=0m⋅AE=(λ+1)y′+( 3− 3λ)z′=0,
令y′= 3(λ−1)，则m=( 3(1−λ), 3(λ−1),λ+1)，
又平面DAC的法向量为OP=(0,0, 3)，
于是|cs⟨OP,m⟩|=|OP⋅m||OP||m|=| 3(λ+1)| 3 3(1−λ)2+3(λ−1)2+(λ+1)2=|λ+1| 7λ2−10λ+7= 155，
化简得2λ2−5λ+2=0，又λ∈[0,1]，得λ=12，
故存在点E，此时PEPD=12．
17.解：(1)由nlgan+1=(n+1)lgan，得lgan+1n+1=lgann，可知数列lg ann是常数列，
所以lgann=lga11=lg3，所以lgan=nlg3=lg3n，所以an=3n．
(2)由(1)可得bn=an−1an+1=3n−13n+1=1−23n+1，
则Sn=(1−231+1)+(1−232+1)+⋯+(1−23n+1)=n−2(131+1+132+1+⋯+13n+1)，
显然Sn0，x>0，
令q′(x)>0，解得00，
当x→+∞时，p(x)→−∞，故p(x)在(0,+∞)上恒有零点，从而a>1恒成立;
当a=1时，p(x)=1，无零点，不成立;
当01，y(ax)>0，即：y(x)>0则x>1．
而y=x·lnx在(1,+∞)上单调增，所以ax=x，即：lna=lnxx，
所以由图可知：
当0