黑龙江省、吉林省十校联考2025-2026学年高二上学期期中考试 数学 Word版含解析含答案解析

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，请将答题卡上交．
4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章～第二章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. 7B. 11C. 22D. 29
【答案】A
【解析】
【分析】计算的坐标，再利用数量积的坐标运算求出.
【详解】由，得，
所以.
故选：A．
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据直线得出斜率，进而根据斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】由化为，
即该直线斜率为，所以其倾斜角为．
故选:C．
3. 已知点，则以线段为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心和半径即可求解.
【详解】因为AB为直径，则的中点为，
所以圆心为，半径，
所以圆的方程为
故选：A．
4. 如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】依题意
，
又，所以，.
故选：C
5. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.
【详解】由题意可知，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A
6. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。
【详解】根据题意可知，圆外离，，又．
故选：D
7. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可.
【详解】，，
.
故选：A.
8. 已知实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到点在线段上移动，且，，设，利用斜率公式，求得的值，进而求得的取值范围，得到答案.
【详解】由题意知，点满足关系式，且，
可得点在线段上移动，且，，如图所示，
设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线与交于点，则（ ）
A.
B.
C. 点到直线的距离为
D. 点到直线的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求到直线的距离即可.
【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确，
∴到直线的距离，故C错误，D正确.
故选：ABD.
10. 在平面直角坐标系xOy中，过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法正确的是（ ）
A. 当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为
B. 的取值范围为
C. 不可能为钝角
D. 当为等边三角形时，点P的坐标为
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先结合点到直线的距离公式分析出的取值范围，进而数形结合分析可得和的范围，从而可判断ABC的正误，然后设出点P的坐标，结合等边三角形的性质以及两点间的距离公式求出点P的坐标，即可判断D的正误.
【详解】
到直线的距离为，当垂直于直线时，可求得点，此时，所以当点自由移动时，的最小值为，当且仅当垂直于直线时，取得最小值，所以对于任意的点，有，因为，所以，所以，同理，所以，，故，而，趋于0时，趋于，故的取值范围为，当四边形为正方形时，，可求得，点的坐标有唯一解，故A、B、C正确；当为等边三角形时，，所以，设，因为点在直线上，则，解得或，即或，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的轨迹长度为
B. 点到平面的距离是定值
C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A：利用空间中到定点的距离为定长的点的集合为一个球，在正方体表面上的交线为圆求得的轨迹长度；选项B：可以证得平面，结合平面，所以点到平面的距离是定值；选项C：要求直线与平面所成角的正切值的最大值，则求得在平面的投影为，当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大；选项D：要求的最小值，则利用到直线的距离为，当点落在上时，求得的最小值.
【详解】对于A，因为，即，所以，
即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上，
所以点的轨迹长度为，故A错误；
对于B，在正方体中，，
又平面，所以平面，
所以点的轨迹为线段，
又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确；
对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角，
因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，
所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，
又，
所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确；
对于D，到直线的距离为，
当点落在上时，，故D正确.故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据对称求出点的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可.
【详解】因为点A与点C关于x轴对称，所以点的坐标为，
又因为点B的坐标为，所以．
故答案为：.
13. 过点作圆的切线，则切线方程为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.
【详解】①直线的斜率不存在时满足，
②直线斜率存在时，设切线方程，则，
所以切线方程为，即．
故答案：或.
14. 已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可推得的范围，以及与圆的位置关系.根据等边三角形以及圆的对称性可得出，然后推得，求解结合的范围可得出.然后表示出圆心到直线的距离，根据不等式的性质，即可得出答案.
【详解】
由已知可得，圆的圆心，半径，且有.
则圆心到直线：的距离.
又直线方程可化为，可知，，
所以直线过一、二、三象限，不过第四象限，直线与圆相离.
由题意易知，则，，
所以有，即，所以.
又，，所以，，所以.
所以圆心到直线的距离，
所以，直线与圆总相交，
又，所以被圆截得的弦长为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：根据已知得出的范围，然后根据直线的斜截式方程得出与圆的位置关系.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知的顶点坐标是，为的中点．
（1）求中线的方程；
（2）求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，求得，再由直线方程的两点式，即可求解；
（2）根据条件，求出直线过点且与直线平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
所以的方程是，
即.
【小问2详解】
因为直线的斜率，
所以经过点且与直线平行的直线方程为，
即，
设其与轴交点为，与轴交点为，令，得，令，得，
所以，所以，
故经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为．
16. 已知向量．
（1）若，求实数k；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求解；
（2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为，则，
解得；
【小问2详解】
因为向量与所成角为锐角，
所以，且与不同向共线．
由（1）知，，
若向量与同向共线，则存在，使得，即，
可得1−k=−λk=3λ2=4λ，解得，若两个向量不同向共线，则，
故，解得且，
即的取值范围为．
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，．
（1）证明：平面ACQ；
（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形相似得，结合，则有，利用线面平行的判定即可证明；
（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案.
【小问1详解】
如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，
∵，，则，
∴，，
∵，∴，
平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；
【小问2详解】
平面，平面,，
因为底面,则AB，AD，AP两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
各点坐标如下：，，，．

设平面ACQ的法向量为，
由，，有，令，，，可得，
由，有，，
则．
故直线PC与平面ACQ所成角正弦值为．
18. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为.

（1）证明：为的中点；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨令正方体的棱长为2，设，利用，解得，即可证得；
（2）分别求得平面与平面法向量，利用求解即可.
【小问1详解】
证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨令正方体的棱长为2，
则，，，，，
设，则，，
所以，
所以，解得（舍去），即为的中点.
【小问2详解】
由（1）可得，，
设是平面的法向量，
则.令，得.
易得平面的一个法向量为，
所以.
所以所求锐二面角的余弦值为.

19. 如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，.

（1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点的坐标；
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可；
（2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可；
（3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可.
【小问1详解】
圆即，则，半径，
所以，，则，
故以为圆心，为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
所以直线的方程为，即，
令，解得，所以直线过定点；
【小问2详解】
因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点，
设的中点为点，直线过的定点为点，
易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆，
又，，故该圆圆心，半径为，且不经过.
点的轨迹方程为，即线段中点的轨迹方程为；
【小问3详解】
设切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设，的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
则，