重难点04 相似三角形模型-【+答案】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

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1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③两角分别相等的两个三角形相似．
④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
题型01 A字模型
1．如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理与性质定理求解即可，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
【详解】解：分别为上的三等分点，
，
，
，
，
故选：B．
2．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∵AB＞FA，
∴
∴D选项不正确，符合题目要求．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
3．如图，，分别是与边上的高．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：证明：，分别是与边上的高，
，
，
，
，
即，
，
．
4．中，，，于，点在线段上，点在射线上，连接，，满足．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）过点作于，通过解直角三角形可求出的长；
（2）过点作交于，通过证明，得，设，设，用和的代数式表示出和的长，即可解决问题；
（3）取的中点，连接，，其中交于，过作于，过点作于，设，可表示出和的长，再根据的长，可求出，可求得，则点在以为圆心，2为半径的圆上运动，且点与点重合时，最小，再利用相似三角形的性质求出的长即可．
【详解】（1）如图，过点作于，则，
在中，，，
，，
，，，
，
又，，
，
在中，由勾股定理得：
，
；
（2）如图，过点作交于，则，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
设，
则，
设，
则，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，取的中点，连接，，其中交于，过作于，过点作于，
设，
，，
，
，
，
，
，，
，
点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
点与点重合时，最小，
是等腰直角三角形，，
，
，
在中，由勾股定理得，
当点与点重合时，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：当最小时，的面积为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，对学生的逻辑思维能力要求较高，属于中考压轴题．
题型02 8字模型
5．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得，，从而可得，，然后证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9．
6．如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，延长交于点．

∵，
∴．
∴，
∴，，
设，，则，，正方形边长为，
∴．
由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
在中，，
∴
解得：，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
7．综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形．
(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）先证明，得到两组对边分别平行，再用邻边相等的平行四边形是菱形判定，也可以用四条边相等的四边形是菱形进行判断；
（2）证明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠FPE，再由折叠得到∠DPC=∠EPC，从而证明∠FPC=90°；
（3）延长BA、CP相交于点F，得△AFP∽△DCP，再证EF=CE即可求出结果．
【详解】（1）证法一：由折叠得，，，
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
证法二：
证明：由折叠得，，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴四边形是菱形．
（2）解： ．
连接
由折叠可得，，
∵四边形是平行四边形
∴
又∵
∴
∵点P是的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴（SSS）
∴
又∵，即
∴
∴．
（3）解：延长BA、CP相交于点F，
由题意，△AFP∽△DCP
∴ 即
∴
∵∠DCP=∠ECP，∠DCP=∠F
∴∠F=∠ECP
∴EF=EC=DC=10
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查折叠、平行四边形、相似、菱形的判定等，属于综合性题目，解题关键在于灵活运用几何知识，构造常见的模型．
8．如图，在等边边长为6，O是中心；在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周．
(1)当、分别在、边上，连结、，求的面积；
(2)设所在直线与的边或交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求的长；
(3)连结，取中点M，连结，的取值范围为_________．
【答案】(1)
(2)
(3)1≤DM≤5
【分析】（1）由O是等边三角形的中心，可知OM=，进而得到，从而EO∥BM，所以可得OD=EN，即可求解；
（2）易证△AEF∽△OBF，得到，设AF=x，OF=y，求解即可；
（3）取AE的中点N，连接MN，DN，由D、N在⊙A上，可知即MN-DN ≤DM≤DN+MN，易知MN是△AEC的中位线，从而求得．
【详解】（1）连接AO，并延长交BC于M，连接OB
∵O是等边△ABC的中心
∴∠OBM=30°，BM=MC，AM⊥BC
∴OM==
∴
∴EO∥BM
延长EO交AC于N，则△AEN为等边三角形
∵EO∥BM
∴
∴ON=OE，CN=DN=AD=2
∴OD=EN=2
∴
（2）连接OB，OA，如图，
∵O是等边△ABC的中心
∴∠OBA=30°，OA=OB=2
∴
∵∠DAE=30°
∴AE=4，DE=
在△AEF和△OBF中
∵∠ABO=∠AED=30°，∠AFE=∠BFO
∴△AEF∽△OBF(AA)
∴
设AF=x，OF=y，则
解得，,
所以
（3）取AE的中点N，连接MN，DN，
∵D,N在⊙A的圆上
∴当D、M、N三点共线时，DM最大或最小，
即MN-DN ≤DM≤DN+MN，
∴MN-2≤DM≤MN+2
当D、M、N三点共线如图1时，
△AND为等边三角形，
∴∠NDA=∠DAC=60°，
∴MN∥AC
∵M，N为中点
∴MN=
∴DM≥1
当D、M、N三点共线如图2时，
△AND为等边三角形，
∴∠NDA=∠BAC=∠CAE=60°，
∴MN∥AC
∵M，N为中点
∴MN=
∴DM≤5
故答案为：1≤DM≤5
【点睛】本题主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例的性质与判定，相似三角形的判定与性质及方程思想，综合运用相关性质和判定是解题关键．
题型03 射影定理（子母型）
9．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③；
④DG⊥AC．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】根据正方形的性质可知，有对顶角相等，可证∠EAB＝∠BFE，由可证∠EAB＝∠DAG，可判断结论①正确；由，，两边对应成比例且夹角相等即可得△ACF∽△ADG，可判断结论②正确；由结论②可知，可得DG平分，由正方形可知是等腰直角三角形，可推出DG⊥AC，结论④正确；利用两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACF∽△AFH，根据相似的性质可得，则，又有，则结论③错误．
【详解】解：设AB与EF相交于点O，如图所示，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴，．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故结论①正确；
∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
即．
∴△ACF∽△ADG．
故结论②正确；
由△ACF∽△ADG可知，
∴DG平分．
∵是等腰直角三角形，
∴DG⊥AC．
故结论④正确；
∵，，
∴△ACF∽△AFH，
∴，
∴．
∵在等腰直角中，，
∴，
故结论③错误，
∴正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键．
10．如图，在中，，，是边上的高且为2，
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键．
（1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证；
（2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，，而，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
11．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
【答案】(1)为的理想点,理由见解析
(2)或
【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；
（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．
【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的“理想点”；
（2）①在上时，如图：
是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
，
②，，
有，
“理想点” 不可能在边上，
③在边上时，如图：
是的“理想点”，
，
又，
，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
12．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，交于F．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据，利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可解答；
（2）如图：连接BE，根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等，从而根据等角对等边即可证明结论；
（3）设，则，再证明可得,，再证可得，即，解得，进而得到，然后再利用相似三角形的性质得到关于的方程求得，然后根据等角对等边即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵点E是的内心，
∴，
∴．
答：∠CBD的度数为．
（2）证明：如图，连接BE，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）解： 设，则，
∵，
∴，
∴,，
∵，
∴，
∴，即，解得
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴．
答：的长为．
【点睛】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是相似三角形判定与性质的应用．
题型04 一线三等角模型
13．如图，在中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2或4
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论；
（2）根据，由相似三角形的性质可求解即可．
【详解】（1）证明：在中，
，
，
，
，
．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：或，
∴的长为2或4．
14．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可；
（2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
故答案为：
（2）．
证明：同（1）可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，
则，，，
由（1）同理可证，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键．
15．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ．
（2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积．
（3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度．
【答案】（1），（2）；（3），
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．
（1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解；
（2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解；
（3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为，
（2）如图，过点作垂足为H，
同理（1）得：，
∴，
∵在矩形中，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，即：，
∴，解得：，
∴，，，
∵四边形的面积=矩形的面积，
∴四边形的面积=．
（3）延长到点P使，连接，过点C作，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵且，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，（不合题意舍去）
∴
【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似．
16．如图1，正方形和正方形，连接．
(1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由；
(2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由；
(3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若，且，，求的长．
【答案】(1)，，理由见解析
(2)，，理由见解析
(3)
【分析】（1）先判断出，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（3）先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论．
【详解】（1）解：，，理由如下：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
；
如图2，延长交于，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2），，理由如下：
如图3，延长交于，交于，
四边形与四边形都为矩形，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图4，设与的交点为，
，
，
在中，，
，
根据勾股定理得：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点，，在同一条直线上，如图5，
，
在中，根据勾股定理得，
，
由（2）知，，
，
即，
．
【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和矩形的性质，证明和是解本题的关键．
题型05 三角形内接矩形模型
17．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ．
【答案】
【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，设高AM交GF于H点，
∵四边形DEFG为正方形，
∴GF∥DE，即：GF∥BC，
∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴，
设正方形的边长为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键．
18．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长．
【答案】
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设正方形的边长，
四边形是正方形，
，
，
是的高，
，
四边形是矩形，
，
，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
【答案】（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；
（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；
（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；
（4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值．
【详解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，
∴∠A＝∠ADP＝45°，
∴AP＝DP＝2t，
故答案为2t，
（2）如图，
∵四边形DEFP是正方形，
∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，
∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，
∵AB＝AP+PF+FB，
∴2t+2t+2t＝8，
∴t＝；
（3）当0＜t≤时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，
即S＝DP2＝4t2，
当＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，
∵AP＝DP＝PF＝2t，
∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，
∵BF＝HF＝8﹣4t，
∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，
∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，
∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，
综上所述，S与t之间的函数关系式为.
（4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O，
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝5a，
∴，
∴，
∴t＝，
如图，当点E在△ABC外部，设DF与PE交于点O，
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝3a，
∵，
∴，
∴t＝，
综上所述：t＝或.
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例和重叠部分的面积等知识.先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，再利用数形结合的思想，确定重叠部分图形的形状是解题的关键．
题型6 手拉手模型（旋转模型）
【扩展一】如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E，则存在多组相似三角形.
【扩展二】如图，∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点不共线），连接BM、CN，两者相交于点O，则
存在多组相似三角形.
20．已知，，直线与直线相交于点．
(1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：；
(2)如图2，点在内部．
①当时，探究线段，，之间的数量关系；
②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系；
(3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
(3)或或
【分析】（1）由等边三角形的性质及相似三角形的性质得是等边三角形，由判定，由全等三角形的性质，即可得证；
（2）①(ⅰ)如图，当点D，N重合时，由直角三角形的特征得，由相似三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；(ⅱ)当点D，N不重合时，同理可求；
②在上取一点H，使得，连接，由①中的(ⅱ)同理可求；
（3）取的中点，连接，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等边三角形的性质可求，①当时，此时与重合，（ⅰ）点在线段上， 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得 ，即可求解；（ⅱ）点在线段延长线上，同理可求； ②当时，（ⅰ）当点在的内部时，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作交于，设，由相似三角形的性质及直角三角形的特征、勾股定理得，，由勾股定理得，可得，，，从而求出，由三角形面积可求，再由勾股定理求出，，求出，，即可求解；（ⅱ）当点在的外部时，同理可求：，，即可求解．
【详解】（1）证明：，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
∵，
，
，
在和中，
，
()，
．
（2）解：①(ⅰ)如图，当点D，N重合时，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
在中，，
，
，
，
，
当点D，N重合时，；
(ⅱ) 如图，当点D，N不重合时，
在上取一点H，使得，连接；
由(ⅰ)同理可证：，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
在中，
同理可求：，
当点D，N不重合时，
．
综上，．
②如图：在上取一点H，使得，连接，
由①中的(ⅱ)同理可证，，
∴，，
，
如图，过作交于，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
故；
（3）解：如图，取的中点，连接，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
①如图，当时，此时与重合，
（ⅰ）点在线段上，如图，
，
，
，
；
（ⅱ）点在线段延长线上，如图，
由（ⅰ）同理可证：；
②当时，
（ⅰ）如图，当点在的内部时，
如图，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作于，
设，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
四边形是矩形，
，，，
，，
，，
，
，
，
由（2）同理可证：，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
，
，
，
，
；
（ⅱ）如图，当点在的外部时，
连接，在上取一点H，使得，连接，过作交于，过作交于，
设，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
由（2）同理可证：，
，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
，
，
，
，
；
综上所述：或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的判定及性质等；相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定就性质，等边三角形的判定及性质，能根据题意构建相似三角形及根据点的不同位置进行分类讨论，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
21．【问题发现】
（1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数；
【类比探究】
（2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________；
【答案】（1），；（2），；（3）或
【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解；
（2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数；
（3）分点在直线的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在中利用勾股定理构造方程即可求出的长．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，设与交于点F，
∵，
∴，
∵，
，
∴；
（2）解：如下图，在和中，设与交于点，
∵∠，，
∴；
∵，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，；
（3）①如下图所示，点C在线段上时，
在中，，，
，
在中，，
由（2）知，，且，
设，则，
在中，，
，
解得，，舍去，
，
②如下图，当点C在线段延长线上时，
在中，，，
，
在中，，
由（2）知，，且，
设，则，
在中，，
，
解得，，舍去，
；
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征．
22．如图，回答下列题：
【操作发现】
如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．
①与之间的数量关系为_________；
②的度数为_________；
【类比探究】
如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数．
【实际应用】
如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离．
【答案】（1）①；②40°；（2），；（3）或
【分析】（1）①由推出，利用边角边即可证与全等，即可求出结果；②先证出与相等，分别加，，结果仍相等，即可得到；
（2）证明与相似即可求出的值，再通过相似三角形对应角相等及三角形内角和定理即可证出的度数为；
（3）分点点E在线段和线段延长线两种情况讨论，作于H，连接，由角直角三角形得，由勾股定理得，在中，，则，另一种情况同理可求解．
【详解】解：（1）①，
，
，
又，，
，
，
②设与交于点，
由①知，，
，
，，
，
故答案为：①；②；
（2）中，，．
∴
同理得：
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，，
在中，．
（3）如图3-1中，作于H，连接，
在中，∵，，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，
在中，，
∴，
同（2）可证明：，
∴，
∴，
如图3-2中，连接，作于H，
同法可得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上所述，点A、D之间的距离为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征．
23．（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长．
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）或．
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质和旋转相似模型；解题关键是构造旋转相似模型转换线段关系．
（1）根据三角形中位线可直接得出结论；
（2）延长至点，使，连接、，根据旋转相似模型证明，即可得出结论；
（3）根据当时，可得点在直线，点在直线，再由不同位置分两种情况讨论，结合（2）的结论即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，；
（2）结论：，
理由∶如图2-1，延长至点，使，连接、，
∵点为的中点，
∴
由题意∶，
∴，
由旋转知
∴ ，
∴，
∴
∵，，
∴ ，即：，
∴，
∴，
∴
∴
（3）当时，
∵，即：，
∴，
又∵，
∴点在直线，
当点在线段上时，如图2-2，
∵，
∴点在直线，
∵，，，
∴，，
∴，
∴；
当点在线段延长线上时，如图2-2，
同理可证：点在直线，点在直线， ，，
∴，
∴；
综上所述：的长为或．
24．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系；
（2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系；
（3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
在中，，，
∴，，
∴．
在和中， ，
∴，
∴；
（2）解：结论：，
理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，如图所示，
∵四边形与四边形是正方形，与交于点，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，设，则，
又∵正方形的边长为，
∴，
∴，
解得（舍去），．
∴正方形的边长为6．
【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键．
25．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转.
(1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______；
(2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值；
(3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值；
（2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值；
（3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度；
【详解】（1）解：∵，，，
∴、均为等边三角形，
∴，，，
即：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即：
故答案为：
（2）∵，，，
∴、均为等腰直角三角形，
∴，，，
即：，
∴，
在和中，
，
∴
∴
即：
（3）∵，D为AB的中点，，
∴，，
∵，与交于点，
∴，
在中，
，
∴如图5所示，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点．
已知
图示
结论（性质）
若DE∥BC
①∆ADE~∆ABC
②
若∠1=∠2或∠3=∠4或
①∆ADE~∆ABC
②AC2=AB•AD
若∠1=∠2
①∆ADE~∆ABC
②AC2=AB•AD
[补充]该模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型
[双反A字模型]
若∠1=∠2=∠3
①∆AEB~∆DEA~∆DAC
②AB•AC=BE•CD
③()2=
已知
图示
结论（性质）
若AB∥CD
①∆AOB~∆COD
②
若∠1=∠2或∠3=∠4或
①∆AOB~∆COD
已知
图示
结论（性质）
若∠ABC=∠ADB=90°
①∆ABC~∆ADB~∆BDC
②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD
（口诀：公共边的平方=共线边的乘积）
③AB•BC=BD•AC（面积法）
已知
图示
结论（性质）
若∠B=∠D=∠ACE=90°
①∆ABC~∆CDE
② 或BC•CD=AB•DE(可看作底*底=腰*腰)
③当点C为BD中点时，
∆ABC~∆CDE~∆ACE
若∠B=∠D=∠ACE=α
①∆ABC~∆CDE
②
③当点C为BD中点时，
∆ABC~∆CDE~∆ACE
已知
图示
结论（性质）
若四边形DEFG为矩形，AN⊥BC
①∆ABC~∆ADG
②
③若四边形DEFG为正方形
即= 若假设DG=x
则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值
已知
图示
结论（性质）
若∆ADE以点A为旋转中心旋转一定角度，且∆ADE~∆ABC
∆ABD~∆ACE