广东省实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份广东省实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题：张俊杰审定：许作舟校对：陈康武
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
第一部分 选择题（共 58 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
设z
= i(2 + i)，则z = （）．
已知圆C : x2 + 4x + y2 = 0 与圆 D : ( x – 2)2 + ( y – 3)2 = r2 外切，则半径r = （）．
A．2B．3C． 4D．5
αβ.(1 
2
若平面 ， 的法向量分别为a = (– sinθ , csθ , 2) ， b = sinθ , csθ ,  ，θ ϵ[0, π) ，

且α  β ，则θ 的值为（）．
A．1 + 2i
B． –1 + 2i
C． –1 – 2i
D． 1 – 2i
2．直线? − 3? + 1 = 0 的倾斜角为（
）．
A．30°B．45°
C． 120°
D．150°
ππ
B．
42
x 2y2
C． 2πD． 3π
34
若双曲线
a2
–= 1 (a > 0,b > 0) 的渐近线方程为y = 
2
b
x ，则双曲线的离心率为（）．
3
3
2 3
3
4
3
2D．4
如图所示，已知正方体 ABCD – A1B1C1D1 ，则直线C1D1 与平面 A1BC 所成的角为（）．
0°B．45°C． 60°D．90°
已知椭圆 C：
x2 + y2 =

43
1 ，过点
P (1, –1)
的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若点 P 恰为弦
AB 的中点，则直线 l 的斜率是（）．
– 4
3
– 3
4
4
3
3
4
29
149
29
149
已知点?是圆?2 + ?2 = 1 上的动点，点?是圆(? − 5)2 + (? − 2)2 = 4 上的动点，点?在直线? + ? + 5 = 0 上运动，则|??| + |??|的最小值为（）．
A．
+ 3B．
+ 3C．
− 3D．− 3
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题选项中，有多项符合题目要求。
已知直线?1: ?? + ? − 3? = 0，直线?2: 2? + (? − 1)? − 6 = 0，则下列说法正确的有（）．
当? = 3 时，?1与?2的交点为(3,0)B. 直线?1恒过点(3,0)
若?
⊥ ? ，则? = 1
存在? ∈ ?，使? ∥?
12312
x2y21
已知点 P 是椭圆+
94
= 1 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，且cs3F1PF2 = 3 ，
则下列说法正确的有（）．
5
A. △ ?1??2的周长为 6 + 2
C. 点 P 到 x 轴的距离为 10
5
B. △ ?1??2的面积为 2
2
. .
D. PF1·PF2 = 2
已知圆?: (? + 4)2 + ?2 = 4 直线?: ? + ? − 2 = 0，点?在直线?上运动，直线??，??分别与圆?相切于点?，?，则下列选项中正确的是（）．
14
四边形????的面积最小值为 2
|??|最短时，弦??长为2 7
3
|??|最短时，弦??所在直线方程为 3? + 3? + 8 = 0
直线??过定点 − 10 , 2
3 3
第二部分 非选择题（92 分）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
x2 + 2x + 2,x  0,

2
若函数 f (x) =  3 – lg x,
则 f ( f (–1)) = ．
x > 0.
以原点为中心且经过点 A(0, 2) 和点 B ( 1 , 3  的椭圆的标准方程为．
 2

棱长为 4 的正方体??1中，?、?分别是平面?1?1?1?1和平面???1内动点，¯?¯¯?¯⃗ = 3¯?¯¯?¯¯1⃗，则|??| + |??|的最小值为．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．(本小题 13 分)
在 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，且b sin C =3 (a – b cs C ) ．
3
求角 B 的大小；
若 BD 为3 ABC 的角平分线并与 AC 交于点 D，且 BD
= 2
，求 ABC 面积的最小值．
16．(本小题 15 分)
如图，在四棱锥? − ????中，?? ⊥底面???? ，底面???? 是正方形，?? = ?? = 3，??
与?? 相交于点?，点?在线段?? 上，且?? = 2??．
求证：?? ⊥平面??? ；
求平面??? 与平面??? 夹角的余弦值．
17．(本小题 15 分)
甲、乙、丙三名射击运动员进行射击比赛，比赛中甲、乙、丙三人各射击一次．已知甲中靶
的概率为
3
，乙中靶的概率为
5
2
，丙中靶的概率为
5
?
．假设比赛中三人射击的结果互不影响．
20
求甲、乙两人恰好有一人中靶的概率；
若甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为22，求?的值．
25
18．(本小题 17 分)
00
已知点 P(x , y ) 为圆 A : ( x – 2)2 + y2 = 4 上的一个动点，点Q 是点 P 关于点 B (1,0) 的对称点．
求点Q 的轨迹方程；
已知点C(5,8)，求 QB 2 + QC 2 的最大值；
若过点 B 的直线与点Q 的轨迹交于 E ， F 两点，试问在 x 轴上是否存在点 M (m, 0)，使 MEMF 恒为定值?若存在，求出点 M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题 17 分)
\l "_TOC_250000" x2y21
已知椭圆C :
a2
+= 1(a > b > 0) 的离心率为
b22
，左、右顶点分别为?、?，左、右
焦点分别为?1、?2.过右焦点?2的直线?交椭圆于点?、?，且△ ?1??的周长为 16.
求椭圆?的标准方程；
求四边形????面积的最大值．
记直线??、??的斜率分别为?1
、?2
，证明： k1 为定值．
k2
广东实验中学 2025—2026 学年（上）高二级期中考试 数学
答案及说明
?
1．C解：∵ ? = ?(2 + ?) = 2? + ?2 =− 1 + 2?， ∴ − =− 1 − 2?，故选 C．
2．A解：由题意，直线可化为? = 3 ? + 3，可得斜率? = 3，
333
设直线的倾斜角为?，则 tan? = 3，因为 0° ≤ ? < 180°，所以? = 30°．故选：A．
3
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
B
A
B
D
D
题目
9
10
11
12
13
14
答案
ABC
ABD
ACD
3
x
2
+
y2
4
= 1
3
3
3．B
4．B因为 a  b = cs2 θ – sin2 θ +1 = cs 2θ +1 = 0 ，θ ϵ[0, 2π) ，所以θ
5．A
6．B由题意，在正方体 ABCD – A1B1C1D1 中，可得 A1B1 / /C1D1 ，
= π .
2
所以直线C1D1 与平面 A1BC 所成的角，即为 A1B1 与平面 A1BC 所成的角，连接 AB1 交 A1B 于点O ，可得 AB1  A1B ，
又由 BC ⊥ 平面 ABB1 A1 ，因为 AB1 c 平面 ABB1 A1 ，可得 BC  AB1
由线面垂直判定定理，可得 AB1  平面 A1BC ，所以3B1A1O 为 A1B1 与平面 A1BC 所成的角，
2
设正方体 ABCD – A1B1C1D1 的棱长为 1，可得 B1O =,
2
在直角 A B O 中， sin 3B AO = B1O =2 ，因为3B AO ϵ(0 , 90 ) ，所以3B AO = 45 .
1 11 1
A1B12
1 1
x2y2
1 1
x2y2
7．D设 A( x1, y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，则 x1 + x2 = 2 ， y1 + y2 = –2 ，且 1 + 1 = 1 ， 2 + 2 = 1 ，
x2 – x2
y2 – y2
y1  y2
3x1  x23
4343
3
作差得 12
= – 12 ，所以 x
  
，即直线 l 的斜率是
．故选：C．
431  x2
4y1  y244
8．D由题意可知：圆?2 + ?2 = 1 的圆心为?(0,0)，半径?1 = 1，圆(? − 5)2 + (? − 2) = 4 的圆心?(5,2)，半径?2 = 2，
则|??| ≥ |??| − 1，|??| ≥ |??| − 2，即|??| + |??| ≥ |??| + |??| − 3，
设点?(0,0)关于直线? + ? + 5 = 0 对称的点为?(?, ?)，则
?−0 = 1
?−0
，解得? = ? =− 5，即?( − 5, − 5)，
??
2 + 2 + 5 = 0
149
因为|??| = |??|，则|??| + |??| ≥ |??| + |??| − 3 ≥ |??| − 3 =
当且仅当?，?，?三点共线时，等号成立，所以|??| + |??|的最小值为
【答案】ABC
− 3，
149
− 3．
解：对于?，当? = 3 时，直线? : 3? + ? − 9 = 0，直线? : 2? + 2? − 6 = 0，由 3? + ? − 9 = 0, 解得 ? = 3,
12
所以两直线的交点为(3,0)，故 A 正确;
2? + 2? − 6 = 0,
? = 0,
对于?，直线? : (? − 3)? + ? = 0，令 ? − 3 = 0,解得 ? = 3,即直线? 恒过点(3,0)，故 B 正确;
1? = 0,? = 0,1
对于?:若? ⊥ ? ，则? × 2 + 1 × (? − 1) = 0，解得? = 1，故 C 正确;
123
对于?，假设存在? ∈ ?，使?1∥?2，则? × (? − 1) − 2 = 0，解得? = 2 或? =− 1，当? = 2 时，?1: 2? + ? − 6 = 0，?2: 2? + ? − 6 = 0，两直线重合，舍去，
当? =− 1 时，直线?1: ? − ? − 3 = 0，直线?2: 2? − 2? − 6 = 0，两直线重合，舍去，所以不存在? ∈ ?，使?1∥?2，故 D 错误．
【答案】ABD
解：由椭圆方程知? = 3，? = 2，所以? =5，所以|??1| + |??2| = 6，于是△ ??1?2的周长为 2? + 2? = 6 + 2 5，故 A 选项正确;
在△ ??1?2中，由余弦定理可得
|?1?2|2 = |??1|2 + |??2|2 − 2|??1||??2|cs∠?1??2
= (|??1| + |??2|)2 − 2|??1||??2| − 2|??1| ⋅ |??2|cs∠?1??2，
2
所以 20 = 36 − 2|??1| ⋅ |??2| − 3 |??1||??2|，解得|??1|??2| = 6，
故?
= 1 |?? ||?? |sin∠? ??1
2 2 = 2 2，故 B 选项正确;
???1?2212
12 = 2 × 6 × 3
112 10
设点?到?轴的距离为?，则?= |? ? | ⋅ ? = × 2 5? = 2 2，所以? =，故 C 选项错误;
???1?2
21 225
1
¯?¯¯?¯¯⃗ ⋅ ¯?¯¯?¯¯⃗ = |¯?¯¯?¯¯⃗| ⋅ |¯?¯¯?¯¯⃗|cs∠? ?? = 6 × = 2，故 D 选项正确．
1212123
【答案】ACD
解：对于 A 选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即?四边形???? = ?△??? + ?△??? =
2?
1
= 2 ??2 − 4，
??2 − ??2
△??? = 2 × 2 × |??||??| = 2|??| = 2
∴ |??|最短时，面积最小，故当?? ⊥ ?时，|??|最短，即|??|
min
= |−4+0−2| = 3 2，
2
(3 2)2 − 4
∴ ?四边形???? = 2
= 2 14，故 A 选项正确；
(3 2)2 − 4
对于 B 选项，由上述可知，?? ⊥ ?时，|??|最短，故|??|最小，且最小值为|??| ==14，
所以|??| = 2|??|sin∠??? = 2|??| |??| = 2 × 2 ×
|??|
= 4 7，故 B 选项错误；
14
3 2
3
对于 C 选项，当|??|短时，则?? ⊥ ?，又?? ⊥ ??，所以?//??, ?? =− 1, ∴ ??? =− 1，
2
|??|2 −
2
??
可设??的直线方程为? + ? + ? = 0, ∴圆心?( − 4,0)到直线??的距离? = −4+? ==
2
2 2，解得? = 8或? = 16，由于直线??在圆心?( − 4,0)的右侧，且在直线?的左侧，
333
所以−4 0，即12?2 + 4 3?2 + 4 × 36 > 0，易知该不等式恒成立，设? ?1, ?1, ? ?2, ?2，则
−12?−36
?1 + ?2 = 3?2 + 4 , ?1?2 = 3?2 + 4 ．……………………………………7’
(?1 + ?2)2 − 4?1?2
又?( − 4,0)，?(4,0)，则
?????
= 1 |??||?
1
2
− ?2
| = 4|?1
− ?2
| = 4
…………………………8’
3?2 + 4− 4 × 3?2 + 4
−12? 2−36
96 ?2 + 196 ?2 + 196
?2 + 1
?2 + 1
= 4 ×
= 3?2 + 4 = 3(?2 + 1) + 1 =
3
+ 1
………………10’
令? =
? ≥ 1 ，易知
96
1在 1, + ∞ 上单调递减，故11’
?2 + 1
3?+?
????? =
9696
1 ≤ 3 + 1 = 24
3? + ?
四边形????面积的最大值为 24．12’
(3)由题意知
?1
?1 = ?1 + 4 = ?1 ?2 − 4 = ?1 ??2 − 2 = ??1?2 − 2?1 …………………………14’ (代入消去?，并化简正确)
?2
?2
?2 − 4
?2 ?1 + 4
?2 ??1 + 6
??1?2 + 6?2
注意到?1+?2 = −12? = ?
?? ?
= 3 ?
+ ?
，则15’
?1
?2
−36
，即：1 212
3
?1??1?2 − 2?13(?1 + ?2) − 2?1 ?1 + 3?2 1
==== ．……………………………………17’
?2
??1?2 + 6?2
3(?1 + ?2) + 6?2
3?1 + 9?23