河南省部分重点中学2026届高三上学期11月质量检测数学含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.若复数 满足 ，则 的虚部为
A. -2 B. 3 C. D. 3i
【答案】A
【解析】由 ,得 ,故 的虚部为 -2.
2.已知集合 ,则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由 ,得 ,故 ; 由 ,得 ,或 ,故 ,所以 .
3.已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】由 ,得 解得 ,所以 “ ” 是 “ ” 的充要条件.
4.已知向量 满足 ,若 在 上的投影向量为 ,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,得 ,又 ,所以 ,所以 .
5.在 中,内角 满足 ,则 为
A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
【答案】A
【解析】由 ,且 ,得 和 均为锐角,又 ,又 ,所以 也为锐角,故 为锐角三角形.
6.已知函数 ,将 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,若 ,总存在唯一实数 ,使得 ,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意,得 . 由 ,得 ,所以 的取值范围为 的取值范围为 ,由 ,得 ,由题意得 , 解得 .
7.在等比数列 中, ,若不等式 成立，则 的最小值为
A. 24 B. 25 C. 26 D. 27
【答案】D
【解析】设 的公比为 ,记 ,
由 ,得 ,
所以 . 令 ,则 .
当 为偶数时, 无正整数解;
当 为大于 2 的奇数时, ,由 19，
解得 ，又 为奇数，所以 的最小值为 27.
8.如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点 与墙面接触，点 ， ， 到墙面的距离分别为 ，4，1，若 ,则该长方体外接球的表面积为

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 法 1: 设 ,则 ,方向向右的单位向量 为墙所在平面的法向量,取 为一组基底,由空间向量基本定理知,存在唯一一组有序实数组 ,使得 ,因为点 到墙面的距离分别为 ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ,因为 ,所以 ,即 ,所以 , 所以 ,所以该长方体外接球的半径 ,所以其外接球的表面积 . 故选 D.
法 2: 设 ,则 ,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,则 ,令墙所在平面的单位法向量为 ,因为点 到墙面的距离分别为 ，所以 ，所以 ，所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以该长方体外接球的半径 ,所以其外接球的表面积 .故选 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在复平面内,复数 对应的点为 ,向量 绕原点 逆时针旋转至 处,若旋转角为 ,则
A. 的坐标为
B. 当 时,
C. 当 时,以 为圆心, 为半径的圆中劣弧 的长为
D. 的坐标为
【答案】BCD
【解析】由题意得 的坐标为 ,故 A 错误; 当 时, ,故 B 正确; 当 时, 的长为 ,故 正确；由 ，得 ，且 ，所以 ，故 的坐标为 ,即 ,故 D 正确.
10.在 中,内角 的对边分别为 ,则下列命题正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 为锐角三角形,则
D. 若满足 的 有两个,则 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】由 ,可设 ,所以 ,又 ,所以 ,故 A 正确; 由 及正弦定理,得 ,所以 ,所以 ,即 ,故 错误; 由 为锐角三角形,得 ,所以 ,所以 ,即 ,故 正确; 由满足 的 有两个,得 ,即 ,故 正确.
11.已知数列 满足
A.
B.
C. 若 ,则 的最大值为 1214
D. 的前 36 项和为 1226
【答案】AC
【解析】由题意得 ,所以 为等差数列,又 , 所以 ,故 A 正确; 同理 是以 为首项,5为公差的等差数列, 是以 为首项,5 为公差的等差数列,由题意易求得 ,所以 ,因为数列 , 均为递增数列,所以 中除去 外,其他项均不为 1,所以 B 错误; 因为 2021, ,且 时 ,故 C 正确; 记 ,由 ,知 是以 18 为首项,15 为公差的等差数列,又 ,所以 ,故 D 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量 ，若 ，则 ________.
【答案】-1 或 3
【解析】由 ，得 ，解得 ，或 .
13.若函数 的最小值为 3，则 _______.
【答案】 -2 或 4
【解析】法 1:当 时， 所以 ,所以 ; 当 时, ,所以 ,所以 ,或 .
法 2:由绝对值的几何意义，得 的最小值为 ，所以 ，解得 ，或 .
14.在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则该三角形内切圆面积的最大值为________.
【答案】
【解析】由 ,得 ,所以 ,即 ,整理得 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 . 设该三角形内切圆半径为 ,则 ,
又 ,所以 .
法 1: 由 ,得 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,当 时等号成立,所以该三角形内切圆面积的最大值为 .
法 2: 因为 ,所以 ,当且仅当 时等号成立,所以 ,所以该三角形的内切圆面积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，在平行四边形 中， 为 的中点， ， 分别为 ， 的一个三等分点，点 靠近点 ,点 靠近点 ,记 .

(1)把 放到平面直角坐标系 中，若 ， ，求点 的坐标；
(2)用 表示 ；
(3)若 ，求 .
【解析】(1) 设 ,由题意得 ,
所以 解得 即点 的坐标为 .
(2)由题意得 ,
所以 .
(3)由题意得 ,
所以
.
16.如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形， 平面 ， 为棱 上一点，且 .

(1)证明:平面 平面 ；
(2)设直线 与平面 交于点 ，证明: ；
(3)若 ， ， ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【解析】(1)证明:因为 平面 平面 ,所以 ,
因为四边形 为菱形,所以 .
又 平面 ,且 ,
所以 平面 .
因为 平面 ,所以平面 平面 .
(2)证明:因为四边形 为菱形，所以 ，
又 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,且平面 平面 ,
所以 .
(3)解:设 ，以 为原点，直线 ， 分别为 轴， 轴，过 垂直于平面 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,所以 ,
设平面 的一个法向量 ,则 即
令 ,解得 ,所以 .
设平面 的一个法向量 ,则 即
令 ,解得 ,所以 .
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 .
17.在 中,内角 的对边分别是 ,且 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【解析】
(1) 由 及正弦定理,得 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ,或 (舍),
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 .
由正弦定理,得 ,所以 .
(2)由正弦定理，得 ，
因为 为锐角三角形,所以
又 ,所以 解得 ,
所以 ,所以 ,即 的取值范围是 .
18.已知数列 满足 .
(1)证明:数列 为等比数列；
(2)求 的通项公式；
(3)记 ，数列 的前 项和为 ，证明: .
【解析】 (1)证明:由 ，得 ，
又 ,所以 ,
所以 ,
即 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列.
(2)解:由(1)知 ，
当 时,
.
当 时, 也成立,
所以 的通项公式为 .
(3)证明:由(2)得 ，
所以 ,
所以 ,
显然 是递增数列,所以 .
因为 ,所以 ,
所以 .
19.已知函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴垂直.
(1)求 的单调区间；
(2)若 ， ，使得 ，求实数 的取值范围；
(3)设 ，证明: .
【解析】(1)解:由 ，得 ，
由题意，得 ，所以 ，
所以 ,
令 ,得 ; 令 ,得 ,
所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
(2)解:由(1)得 ，
由题意, .
由 ,得 ,
① 当 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ,不符合题意;
② 当 时， ， ，
所以 ,使得 ,又 在 上单调递减,
所以当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 在 上的最大值为 , 10 分
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,所以 ,
所以 ,所以 ,符合题意;
③若 ，当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ,满足题意.
综上, 的取值范围为 .
(3)证明:由(2)知，当 时， 在 上恒成立，即 ， ，
由 (1) 知 ,所以 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,
所以