安徽省智学大联考·皖中名校联盟合肥市第八中学2025-2026学年高一上学期期中检测数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案.
【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确；
对于②，整数，而表示整数集合，所以，所以②错误；
对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误；
对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确．
故选：C
2. 在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（ ）
A. 四边形是矩形B. 四边形的对角线互相平分
C. 四边形四条边相等D. 四边形的对角线垂直
【答案】B
【解析】
【分析】由必要条件的概念逐个判断即可.
【详解】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误；
对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形充分条件不必要条件，错误；
对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误；
对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件.
故选：B．
3. 某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解.
【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时，
即．
故选：D．
4. 设是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. 3B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的性质计算可得.
【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，，
所以，
所以．
故选：C．
5. 已知，则的最大值为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】因为，
则，所以，
当且仅当时，即当，且，等号成立，
故的最大值为3．
故选：A．
6. 函数的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对分类讨论，分析函数的单调性，即可判断.
【详解】当时，
由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
故当时，选项A符合；
当时，在，上单调递增，
又在定义域上单调递增，
所以在，上单调递增，故当时，选项B符合；
当时，，定义域为，选项C符合；
综上可得无论为何值，D选项均不符合题意.
故选：D．
7. 安徽省博物馆是安徽省唯一一家集自然、历史、社教为一体的省级综合类博物馆．博物馆配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为为最初污染物数量）．如果前4个小时消除了64%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（ ）
A. 78.4%B. 88.4%C. 96.0%D. 98.0%
【答案】A
【解析】
【分析】由题意通过，求得，进而可求解.
【详解】由前4个小时消除了64%的污染物，
可得，解得，
则经过6个小时，废水的污染物数量，
所以消除了污染物的
故选：A．
8. 若，其中为圆周率，为自然常数，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，由其单调性逐项判断即可.
【详解】令，由解析式可判断其在单调递增，
因为，
所以，所以，故B正确，A错误；
当时，，当时，所以C、D错误．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、C、D.
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：因为，则，即，所以，故B正确；
对于C：，，，，故C正确；
对于D：因为，
又，，
所以，，则，即，故D正确．
故选：BCD．
10. 下列结论中，正确的是（ ）
A. 若幂函数的图象经过点，则
B. 函数的图象必过定点
C. 函数的单调增区间是
D. 若幂函数，则对任意，都有
【答案】AD
【解析】
【分析】利用幂函数的定义可判断A选项；利用可判断B选项；利用复合函数法可判断C选项；利用作差法可判断D选项.
【详解】对于A，设幂函数的解析式为，
由题意可得，解得，则故A正确；
对于B，因为，所以，函数且的图象必过定点故B错误；
对于C，因为内层函数的增区间为，减区间为，
外层函数为减函数，故函数的增区间为，故C错误；
对于D，幂函数，对任意的，则，
则对任意，
所以，
所以，，
可得，所以，故D正确．
故选：AD．
11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 函数为偶函数
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：赋值令，代入运算即可；对于B：根据题意赋值分析即可；对于C：构造，结合奇偶性的定义分析判断；对于D：分析可知函数在上为增函数，结合单调性分析求解.
【详解】对任意的实数、满足，
对于选项A： 令，可得，解得，故A正确；
对于选项B：令，可得，
用代，，可得，
则，
即，故B错误；
对于选项C：令，
由，可得，
即，且，
令，则，
即，所以，
所以函数为偶函数，故C正确；
对于选项D：对于，
令，可得，
即，解得，
由题意可知，当时，，
则，，
可知当时，，
任取，且，
则，
可知函数在上为增函数，
因为，
则，
可得，解得，
所以不等式的解集为，故D正确；
故选：ACD．
第二部分（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 命题“”是假命题，则取值范围为______．
【答案】（或）
【解析】
【分析】由题意方程有实数解，利用判别式法列不等式求解即可.
【详解】根据题意，命题为假命题，
则其否定：“”为真命题，即方程有实数解，
必有，解得，即的取值范围为.
故答案为：．
13. 化简：_______．
【答案】18
【解析】
【分析】将根式化为分数指数幂进行计算可得结果.
【详解】易知．
故答案为：18
14. 已知．当时，的两根为，则的最小值为___________；当时，恒成立，则的最小值为___________．
【答案】 ①. ②. 6
【解析】
【分析】第一空：由韦达定理结合配方法即可求解；第二空，通过，讨论的符号，得到时，，再结合基本不等式即可求解.
【详解】当时，，
则，
当时等号成立，
故的最小值为．
由，可知函数在上单调递增，
易知当时，
当时，．
由在时恒成立，
则当时，；
当时，，
所以当时，，即，
所以有，即，
故，
从而，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为6．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的定义域为集合，集合，非空集合
（1）若为实数集，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合和，再由集合的运算可得结果；
（2）由是非空集合可得，由是的充分不必要条件可得，且，解不等式可得结果.
【小问1详解】
由得，即．
所以．
所以．
【小问2详解】
因为，所以，故，
由题意可知：，且，由（1）可知．
所以，且等号不同时成立，解得：，
所以实数的取值范围为．
16. 已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）3．
【解析】
【分析】（1）由的两个根为，结合韦达定理即可求解；
（2）由即可求解.
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
所以的两个根为，且，
由根与系数的关系：
，得，
又因为，即，得，
所以；
【小问2详解】
由题意，可得，
可得
当且仅当，即时，等号成立，
可得的最小值为3．
17. 设是偶函数，是奇函数，且，
（1）求函数的解析式；
（2）证明在区间上单调递增；
（3）若存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）．
【解析】
【分析】（1）由函数奇偶性及题干得，解方程组即可求解；
（2）按照单调性的定义证明即可；
（3）参变分离得在时有解，，然后利用基本不等式求解最值即可求解.
【小问1详解】
由，得，
又因为是偶函数，是奇函数，所以，
与联立解得；
【小问2详解】
设，
则，
由，可得，
则，即，
所以在上增函数；
【小问3详解】
由条件知，，得在时有解，所以，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，
即的取值范围为.
18. 已知函数的图象过原点，且当趋向于正无穷大时，函数图象无限接近直线，但又不与该直线相交．
（1）求该函数的解析式；
（2）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．若的图象关于点对称，求出点的坐标；
（3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）由题意得到，和即可求解；
（2）由中心对称的充要条件代入计算即可；
（3）通过分参得到，再分和令，求最值即可.
【小问1详解】
由题意，可得，即，
又的图象无限接近直线但又不与该直线相交，
可得，
所以函数的解析式；
小问2详解】
令，解得，
可知的定义域为，
又因为，
所以函数的图象关于点对称．
故答案为：．
【小问3详解】
不等式对任意的恒成立，
等价于恒成立．
令，则，
当时，，
令，
当时，取最大值为，
当时，，
令，
当时，取最大值68，
综上，．
19. 已知函数．
（1）若，直接写出函数的单调增区间（无需证明）；
（2）设．
（i）若有3个不同的实根，求实数的取值范围；
（ii）求在上的最小值．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）答案见解析
【解析】
【分析】（1）画出图象，结合图象写出单调区间；
（2）（i）求出的解析式，分、、三种情况，结合单调性求解；
（ii）求出的解析式，分、、三种情况，当时，再按照、分类讨论即可.
【小问1详解】
时，，画出图象如图，
则单调增区间为
【小问2详解】
设，
（i）方程有3个不同的实根，即函数与轴有3个不同的交点，
当时，，在上单调递增，
函数与轴只有1个交点，不符合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以时，有1个根，
时，有2个根，
故，解得；
当时，当时，
方程的判别式，
可知无解，
所以函数不可能与轴有3个不同的交点，所以不符合题意．
综上的取值范围是；
（ii）①当时，，在上单调递增，
函数在的最小值为；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
函数在的最小值为；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，
令，得或（舍），
当，即时，
在上单调递增，在上单调递减，
则在的最小值为；
当，即时，
在上单调递增，在上单调递减，
则在的最小值为；
当，即时，
在上单调递增，在上单调递减，
则在的最小值为；
当时，在上单调递增，
则在的最小值为；
综上所述，
当时，函数在的最小值为；
当时函数在的最小值为，
当时，函数在的最小值为.