湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

这是一份湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，函数与的图象如图所示，则（ ）
A．B．且
C．且D．
4．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149 C．165 D．195
5．已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
6．若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：
①对任意的，总有；
②若，则有成立，给出下列三个结论：其中正确结论的个数是（ ）
（1）若为“函数”，则；
（2）函数在上是“函数”；
（3）函数在上是“函数”（为有理数集）．
A．0B．1C．2D．3
8．若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．设正实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是(1,+∞)B．
C．的最小值为D．的最小值为2
10．下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．对数lg2()恒有意义，则实数的取值范围是
C．函数的值域为
D．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围
11．已知函数，．，用表示，中的较大者，记为，则（ ）
A．的解集为
B．当时，的值域为
C．若在上单调递增，则
D．当时，不等式有4个整数解
三、填空题（每题5分，共15分）
12. =
13．设函数则满足的的取值范围是 .
14．若，，对，均有恒成立，则的取值范围为 .
四、解答题（13+15+15+17+17=77分）
15．（13分）已知函数满足，函数．
(1)求的解析式；
(2)用单调性的定义证明在上单调递减；
(3)求在上的值域．
16．（15分）已知函数，为常数.
(1)若，证明：的图象关于点（2,3）对称；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．（15分）（1）若方程的两根分别为、，求的值.
（2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：
类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系；
（3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值.
18．（17分）已知函数，其中为实数.
(1)若函数的定义域为，求的取值范围；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(3)当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
19．（17分）定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中.
(1)设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围；
(2)不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围；
(3)已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围.
襄阳四中2025级高一上学期期中考试数学试题参考答案
1-5 CBBBC 6-8 DCD ABC ABD BD
12．2 13． 14．
14.【详解】设，可得，
1.若，则，可得对恒成立，
则，解得，所以成立；
2.若，设，则，可得对恒成立，
构建，则，
（1）若，则二次函数的图象开口向上，可得，消去解得；
（2）若，则二次函数的图象开口向下，对称轴，
①当时，则在内单调递增，可得，且，
则，解得；
②当时，则在内单调递减，可得，且，
则，解得；
③当时，则，
整理可得，即存在，使得，
可得，解得；
综上所述：的取值范围为.
15. 【详解】（1）由题可得，
所以的解析式为.
（2）证明：由（1）函数，
任取，
则，
因为，所以，
所以即，
所以在上单调递减；
（3）由（2）可知在上单调递减，
所以，
所以在上的值域为.
16．【详解】（1）当时，，
所以，
所以f(x)的图象关于点（2,3）对称；
（2），不等式恒成立，即，不等式恒成立，即，不等式恒成立，即，即，令，则，
由对勾函数函数性质可知，在上单调递增，
所以在上单调递增，所以，
所以，故的取值范围是
17．【详解】（1）由题意，
所以.
（2）设有三个不相等的实数根，
则可分解因式为，
打开括号得，
所以有恒成立，
所以等式两边对应系数相等，
所以有.
（3）由（2）可知，，
易知，
因为，，
所以有，解得.
18．【详解】（1）实数的取值范围为．
（2）函数在区间上单调递增，
由函数在定义域内单调递增，
则函数在上单调递增，且在上恒成立，
当时，在上单调递减，且，显然不符合题意；
当时，开口向下，对称轴为，
在上单调递减，显然不符合题意；
当时，开口向上，对称轴为，
由题意得，解得．综上a的取值范围是.
（3）当时，．
所以当时，；
令，显然在上递增，则．
则.
令，,
若存在实数满足对任意，都存在，
使得成立，则只需.
①当即时，函数在上单调递增．
则．解得，与矛盾；
②当即时，函数在上单调递减，
在上单调递增．则，解得；
③当即时，函数在上单调递减．
则．解得，与矛盾．
综上，存在实数满足条件，其取值范围为．
19．【详解】（1）由（等号不能同时成立），解得（等号不能同时成立），
所以（等号不能同时成立）.又，所以，
因为的区间的长度为4，则，得，
所以，解得，即实数的取值范围为.
（2），解不等式得，
解不等式得，所以不等式的解集为.
∵不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6，
∴不等式在上恒成立，
令，，
则，解得，
∴实数t的范围为．
（3）二次函数，图象为开口向上的抛物线，且对称轴为，顶点坐标为.
要使最大，则应尽量大，尽量小，即，
此时在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，
所以，且，即为方程的两根，
得，所以，得，
即的最大值为；
要使最小，则应在对称轴的同侧，不放设m，n在抛物线对称轴右侧，
即，此时，得，
由，解得，
由，解得，
所以，
当且仅当即时，等号成立，又，故等号取不到，
所以.
同理当时，可得.
综上，函数的定义域区间的长度的取值范围为.