河北省9+1联盟2025-2026学年高三上学期12月期中考试数学试题（含答案）

这是一份河北省9+1联盟2025-2026学年高三上学期12月期中考试数学试题（含答案），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共19题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 z3−i=1+3i,则z=
A.8iB.6+8i
C.10iD.6+10i
2.已知集合A={x|11时,A⊆(-∞,-1)∪(1,+∞)可能成立
D.当A∩Z中有4个元素时，a的取值范围是[ 19, 14)∪(4,9]
11.已知点 P 是抛物线C :y2=4x上与原点O 不重合的任意一点，直线l是C在点 P 处的切线，OQ⊥l，Q为垂足，点Q 的轨迹为曲线E，则
A.当l的斜率为2时，点 P 到y轴的距离为1
B.若l与x,y轴分别交于点A,B,则B为PA 的中点
C.曲线 E 与直线x=-2没有公共点
D.曲线E上的点到点 G(-1，0)距离的平方的最小值为 23−3
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)= 。
①f'(x) =2x;②f(x)恰有两个零点;③f(2)≥0。
13.已知等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为 Sn,若 a1=1,S15=5a3+a6+ak,且 Sn≤Sk,则d的取值范围为 。
14.若 ln2x+2x+axe2x≤1对任意的x∈(0，+∞)恒成立，则a的取值范围是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
某公司想了解员工对薪资的满意度情况，对该公司的100名员工进行薪资满意度调查，调查结果如表所示：
(1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析该公司员工对薪资的满意度是否与入职年限有关；
(2)从样本中对薪资满意的员工中随机抽取2人，求这2人的入职年限都少于2年的概率。
附 :χ2=nad−bc2a+b(c+da+cb+d,n=a+b+c+d。
入职年限
对薪资满意度情况
合计
满意
不满意
入职年限不少于2年
20
20
40
入职年限少于2年
40
20
60
合计
60
40
100
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
16.(15分)
已知 △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 b2c+c=2bcsA+acsB。
(1)求C;
(2)若C的平分线与AB 交于点 D,且(CD=2,求a+4b的最小值。
17.(15分)
已知函数f(x)= ln(ax)。
(1)当a=1时,求方程. fx=ex−1−1的解；
(2)若(a∈(1,+∞),b∈(0,1),i证明： fx0),直线2x-3y+6=0与C 交于点 M，N，且线段MN的中点为 A−321。
(1)求C 的离心率。
(2)若点M在x轴上,点 P,Q(点Q在点 P的右上方)在C上,且直线 PQ 与直线MN平行。
(i)求直线 PQ 与直线MN之间距离的取值范围；
(ii)求证：直线MP，NQ 的交点在定直线上。
19.(17分)
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1中，AB=AC,点 A1在平面ABC上的射影为BC的中点O。
(1)求证：四边形. BCC1B1是矩形；
(2)若. AB⟂AC,BC=BB1=2,求二面角 B−AB1−C的正弦值；
(3)记三棱柱 ABC−A1B1C1的体积为V，线段 CCnn∈N∗的中点为 Cn+1,三棱锥 Cn−AB1C的体积为 Vn,若 Tn=n+2Vnnn+1,求证： T1+T2+⋯+Tn