高考数学一轮复习-指对幂函数及函数的应用（知识清单）（原卷版）

这是一份高考数学一轮复习-指对幂函数及函数的应用（知识清单）（原卷版），共17页。试卷主要包含了根式与分数指数幂，指数幂的运算性质，对数与对数运算，估值法，构造函数，运用函数的单调性比较，放缩法等内容，欢迎下载使用。

01 指数幂与对数运算
1、根式与分数指数幂
（1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）根式的性质（，且）：；
（3）分数指数幂的表示
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：
性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2、指数幂的运算性质
（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
（2）指数幂的运算性质
①． ②． ③．
3、对数与对数运算
（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式．
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝lgaN(a>0，且a≠1)；
= 1 \* GB3 ①lga1＝0， = 2 \* GB3 ②lgaa＝1， = 3 \* GB3 ③algaN＝N， = 4 \* GB3 ④ lgaaN＝N (a>0，且a≠1)．
指数式与对数式的关系
（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
运算法则： = 1 \* GB3 ①lga(M·N)＝lgaM＋lgaN = 2 \* GB3 ②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN = 3 \* GB3 ③lgaMn＝nlgaM(n∈R)
换底公式： = 1 \* GB3 ①lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)，
= 2 \* GB3 ②换底公式的三个重要结论：lgab＝eq \f(1,lgba)； lgambn＝eq \f(n,m)lgab； lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
【真题实战】（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
02 幂函数与二次函数
1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图)．
2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
3、二次函数的图象和性质
【真题实战】（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ）
A．1B．-3C．-4D．1或-3
03 指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、指数函数的图象与性质
3、指数函数的常用技巧
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论；
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，
底数与1的之间的大小关系为；
规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
【真题实战】（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
04 对数函数及其性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
（2）特殊的对数函数
= 1 \* GB3 ①常用对数函数：以10为底的对数函数.
= 2 \* GB3 ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
2、对数函数的图象与性质
3、对数函数图象的常用结论
（1）函数y＝lgax与y=lg1ax的图象x轴对称；
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
【真题实战】（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
05 函数零点与二分法
1、函数零点的定义
（1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2、函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点．
推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则．
3、二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
= 1 \* GB3 ①确定零点的初始区间，验证
= 2 \* GB3 ②求区间的中点
= 3 \* GB3 ③计算，进一步确定零点所在的区间：
若（此时），则就是函数的零点；
若（此时），则令；
若（此时），则令.
= 4 \* GB3 ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．
【真题实战】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
01 二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
【典例1】（2025高三下·全国·专题练习）已知函数．
(1)已知在上单调递增，求的取值范围；
(2)求在上的最小值．
【典例2】（24-25高三下·江苏宿迁·月考）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)已知函数在区间上的最小值为－4，求.
02 指数型复合函数的单调性与值域问题
1、指数型复合函数的单调性问题
（1）研究的函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反．
（2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可．
2、指数型复合函数的值域问题
（1）形如函数的值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
【典例1】（24-25高三上·四川广安·月考）函数的单调递增区间是 .
【典例2】（24-25高三上·陕西西安·模拟考试）已知函数且.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
03 对数型复合函数的单调性与值域问题
1、对数型复合函数的单调性问题的求解策略
（1）对于型函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反．
（2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可．
2、对数型复合函数的值域问题的求解策略
（1）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域．
（2）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域．
【典例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（24-25高三上·安徽亳州·月考）设函数且．
(1)若，求实数的值及函数的定义域；
(2)若，求函数的最大值．
04 嵌套函数的零点问题
处理复合函数的零点问题的方法：
= 1 \* GB3 ①确定内层函数和外层函数；
②确定外层函数的零点；
③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、…、，则函数的零点个数为．
【典例1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【典例2】（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
05 函数零点的求和问题
利用函数零点位置的对称性求和
（1）将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题．
（2） = 1 \* GB3 ①如果两个函数图象都关于直线对称，那么这两个函数图象的交点也关于直线对称，则对应的两零点之和为．
= 2 \* GB3 ②如果两个函数图象都关于点对称，那么这两个函数图象的交点也关于点对称，则对应的两零点之和为．
【典例1】（2025·四川成都·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【典例2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（ ）
A．B．C．D．
01 忽略对指数与对数底数的讨论致错
辨析：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或0