浙江省宁波市三锋联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份浙江省宁波市三锋联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了单项选择题，解答题，多选题等内容，欢迎下载使用。
→→→ →
1．已知向量? = (1，2)，? = (?，1−?)，若? ∥ ?，则 λ＝（）
．
B2
33
2?
C．2D．1
．已知直线的倾斜角为
6
，则直线的一个方向向量为（）
A．(1， 3)B．( 3， 1)C．(1， − 3)D．(− 3， 1)
已知椭圆方程为?2?2
，椭圆上的点到左焦点的最大值为 5，最小值为 1，则
?2 + ?2 = 1(?＞?＞0)
椭圆方程是（）
?2
9
?2
+
= 1
5
?2
9
?2
+
= 1
4
?2
​
5
?2
+
9
= 1D．
?2
4
?2
+= 1
9
已知直线 x+2y﹣3＝0 与直线 ax+4y+b＝0 关于点 A（2，0）对称，则实数 b＝（）
B．1C．﹣2D．﹣1
2
已知圆方程为 x2+y2﹣4x+3＝0，P（x，y）为圆上的动点，则（）
3
?
最大值为
?
x+y 最大值为2 +
x2+y2 最大值为 3D．y﹣x 最小值为 2−2
在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，BC＝2，CC1＝3，点 P 在棱 AA1 上，且三棱锥 A﹣PBC 的
体积为2 3，则直线 AC1 与 BP 所成角的余弦值等于（）
3
13
26
26
−
13
13
−
26
26
13
已知 F ，F
为椭圆
?2
?2
的左、右焦点，A 为椭圆 C 的上顶点，连接 AF
12?：?2 + ?2 = 1(?＞?＞0)2
交椭圆 C 于另一点 B，若|AB|＝|F1B|，则椭圆 C 的离心率为（）
2
2
3
3
3
2
3
4
已知直线 l1：x+my﹣3m﹣1＝0 与 l2：mx﹣y﹣3m+1＝0 相交于点 M，线段 AB 是圆 C：
→→
（x+1）2+（y+1）2＝4 的一条动弦，且|AB|＝2，则?? ⋅ ??的最小值为（）
6
0−4
B．10 + 4
C．5−2
D．5 + 2
6
3
6
二．多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
（多选）9．已知直线 l1：ax+y﹣3a＝0，直线 l2：（a+2）x+ay﹣12＝0，则（）
A．若 l1⊥l2，则 a＝﹣3
B．若 l1∥l2，则 a＝﹣1
C．l2 过定点（6，﹣6）
D．当 l2 不经过第二象限时，则﹣2＜a＜0
（多选）10．圆 C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，直线 l：mx+y﹣3m﹣2＝0，则（）
A．直线 l 与圆 C 必相交
6
B．圆 C 被 y 轴截得的弦长为4
C．圆 C 被直线 l 截得的弦长最短时，直线 l 的方程为 2x﹣y﹣4＝0
D．m＝1 时，圆 C 上存在四个点到直线 l 的距离为 2
（多选）11．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝4，E，F 分别为 BC，AD 中点，将△ABE沿直线 AE 翻折成ΔAB1E，B1 与 B、F 不重合，连结 B1D，B1C，H 为 B1D 中点，连结 CH，FH，则在翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）
5
A．在翻折过程中，?? =
当∠B1AD＝60°时，DE⊥面 CFH
在翻折过程中，三棱锥 B1﹣AEB 外接球的体积为4 2?
3
三棱锥 B1﹣AEH 的体积的最大值为2 2
3
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知椭圆 C 的标准方程为?2?2，求椭圆的焦点坐标．
16 + 25 = 1
已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2，P 为线段 AD1 中点，则点 C1 到平面 PBC 的距离为 ．
若对于圆 C：x2+y2+2x+2y+1＝0 上任意的点 A，直线 l：4x﹣3y﹣9＝0 上总存在不同两点 M，N，使得∠MAN≥90°，则|MN|的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（15 分）已知直线 l 经过两直线 l1：x﹣2y+1＝0 和 l1：x+y﹣5＝0 的交点．
若直线 l 与直线 l3：x+2y+3＝0 垂直，求直线 l 方程；
若直线 l 在两坐标轴上的截距的和为 0，求直线 l 的方程．
16．（15 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面 ABCD，PA＝ AB，点 E 为线段 PB 的中点．
求证：PD∥平面 AEC；
点 F 为线段 BC 上的中点，求 PD 与平面 AEF 所成角的正弦值．
17．（15 分）已知圆 C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，若直线 l 过坐标原点，且与圆 C 交于 A，B 二点．
→→
（1）若?? ⋅ ?? = 0，求直线 l 的方程；
→→→→
（2）若点 P 是圆 C 所在平面内的动点，O 为坐标原点，满足|?? + ??| = |??−??|，求点 P
的轨迹方程．
18．（15 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 ABB1A1⊥底面 ABC，△B1BA 是边长为 2
的正三角形，?? = 2，B1C 与平面 ABC 所成角为 45°．
证明：AC⊥平面 ABB1A1；
若点 E 为 BC 中点，点 P 为棱 CC1
上一点（不与 C，C1
重合），且满足? = ?? ，是否
??1
存在 λ 使得平面 ABP 与平面 AB1E 夹角的余弦值为 10，若存在求出 λ 值，若不存在请说
10
明理由．
19．（17 分）已知椭圆
?2
?2
的离心率为 3，且点 P（2，1）在椭圆 C 上．
?：?2 + ?2 = 1(?＞?＞0)2
求椭圆 C 的标准方程；
若 A，B 为椭圆 C 上的两点，且满足 AP⊥BP，求证：直线 AB 过定点．
2025-2026 学年浙江省宁波市三锋联盟高二（上）期中数学试题参考答案
一、选择题（共 8 小题）
二、多选题（共 3 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
A
C
B
D
B
A
题号
9
10
11
答案
BC
ABD
ABD
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．（0，±3）13．4 5
5
14．6
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
?−2? + 1 = 0? = 3
解：（1）联立 ? + ?−5 = 0 ，解得 ? = 2
所以交点 P（3，2），
由题意直线 l 与直线 l3：x+2y+3＝0 垂直，
可设直线 l 的方程为 2x﹣y+m＝0，代入点 P 坐标有 2×3﹣2+m＝0，解得 m＝﹣4，所以直线 l 的方程为 2x﹣y﹣4＝0；
（2）由题意直线 l 在两坐标轴上的截距的和为 0，
当直线 l 过原点时，设方程为 y＝kx，代入点 P 坐标有 2＝3k，解得 k = 2，
3
所以直线 l 的方程为 y = 2x，整理可得 2x﹣3y＝0；
3
当直线 l 不过原点时，设方程为 x﹣y+n＝0，代入点 P 坐标有 3﹣2+n＝0，解得 n＝﹣1，所以直线 l 的方程为 x﹣y﹣1＝0，
综上所述，直线 l 的方程为 2x﹣3y＝0 或 x﹣y﹣1＝0．
解：（1）证明：连接 AC 与 BD 交于点 O，连接 EO，EC，
因为底面 ABCD 为正方形，所以 O 为 BD 的中点，有 E 为 PB 的中点，所以 EO∥PD，又因为 EO⊂平面 AEC，PD⊄平面 AEC，
所以 PD∥平面 AEC；
（2）因为 PA⊥底面 ABCD，ABCD 为正方形，故 AB，AD，AP 互相垂直，
所以以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 A﹣xyz，
令 PA＝AB＝2，则 A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），F（1，0，1），D（0，2，
0），
→→→
可得?? = (0，2，−2)，?? = (2，1，0)，?? = (1，0，1)，
→
设平面 AEF 的一个法向量为? = (?，?，?)，
→→
? ⋅ ?? = 2? + ? = 0
则 →→
，取 x＝1，则 z＝﹣1，y＝﹣2，
? ⋅ ?? = ? + ? = 0
→
故? = (1，−2，−1)，
3
→→→ →2
2 2× 6
所以 PD 与平面 AEF 所成角的正弦值为|???＜?，??＞| = |?⋅??| ==．
→→6
|?||??|
解：（1）因为圆 C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0 可化为：
（x+1）2+（y﹣2）2＝2，
所以圆心 C（﹣1，2），半径 r = 2，
→→
因为?? ⋅ ?? = 0，所以 CA⊥CB，
2
所以圆心 C 到直线 l 的距离 d = ?
= 1，
设直线 l 的方程为 y＝kx，即为 kx﹣y＝0，
?2+1
所以 d = |−?−2| = 1，解得 k = −3，
4
所以直线 l 的方程为 y = −3x，即为 3x+4y＝0，
4
又当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝0 也满足 d＝1，综合可得直线 l 的方程为 3x+4y＝0 或 x＝0；
求动点 M（x，y）的轨迹方程；
→→→→
（2）因为|?? + ??| = |??−??|，
→ 2→→→ 2→ 2→→→ 2
所以?? +2?? ⋅ ?? + ?? = ?? −2?? ⋅ ?? + ?? ，
→→
所以?? ⋅ ?? = 0，所以 PC⊥PO，
所以点 P 的轨迹是以 CO 为直径的圆，又 C（﹣1，2），O（0，0）
所以点 P 的轨迹方程为（x+1）x+（y﹣2）y＝0，即为 x2+y2+x﹣2y＝0．
证明：（1）取 AB 中点 D，连结 B1D，CD，因为ΔABB1 为正三角形，所以 B1D⊥AB，
因为侧面 ABB1A1⊥底面 ABC，B1D⊂平面 ABB1A1，平面 ABB1A1∩平面 ABC＝AB，所以 B1D⊥面 ABC，
因为 B1C 与平面 ABC 所成角为 45°，
所以∠B1CD 即为 B1C 与平面 ABC 所成角，即∠B1CD＝45°，因为 B1D＝3，所以 CD＝3，
所以 CD2＝AD2+AC2，即 AC⊥AD，
因为侧面 ABB1A1⊥底面 ABC，AC⊂平面 ABC，平面 ABB1A1∩平面 ABC＝AB，所以 AC⊥平面 ABB1A1；
解：（2）由（1）可得 B1D⊥AC、AC⊥AB 且 AC⊥B1D，连接 DE，则由题 DE∥AC，所以 DE⊥AB，B1D⊥DE，
所以 DE，DA，DB1 两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系，
则?(0， 3，0)，?(0，− 3，0)，B1（0，0，3），?( 6， 3，0)，E（ 6，0，0），
2
→→→→→
设?? = ???1，则?? = ???1 = ???1 = (0， 3?，3?)（0≤λ≤1），
6
→→→
?? = ( 6， 3，0)，?? = (
→
，− 3，0)，??1 = (0，− 3，3)，
2
→
设平面 ADP 法向量?1 = (?1，?1，?1)，平面 AEB1 法向量?2 = (?2，?2，?2)，
→→= 0
?1
6
?1 ⋅ ?? = 0
则 →→
，即
?1 + 3??1 = 0，
?1 ⋅ ?? = 0
→
令 z1＝2，解得?1 = − 6?，即?1 = (− 6?，0，2)，
→→ 6
?2 ⋅ ?? = 0 ，即 2 ?2− 3 ?2 = 0 ，
→
→= 0
− 3 ? + 3? = 0
?2 ⋅ ??1
?
22
6
?2 =
令 2 = 3，解得 ?2 = 1 ，
→
即?2 = ( 6， 3，1)，
10
10
→→|6?−2|
10⋅ 6?2+4
所以|???＜?1，?2＞| =
解得? = 4或 λ＝0（舍去），
5
=，
所以存在? = 4使得平面 ABP 与平面 AEB 夹角余弦为 10．
?2−?2
5110
19．解：（1）由? = 3，设 a＝2k，? = 3?，则? =
2
= ?，
则椭圆方程为 ?2
?241
+= 1，由点 P（2，1）在椭圆 C 上得
，解得 k2＝2，
4?2
?2
可得椭圆方程为
8
?2
?2
+
2
= 1．
4?2 + ?2 = 1
（2）证明：如图，
①当直线 AB 斜率不存在时，设直线 AB 方程为? = ?(−2 2＜?＜2 2)，
?2
则
8
?2
+
2
= 1，解得? =±，
8−?2
2
8−?2
得?(?，
8−?2
8−?2
2
→
2
)，B（m，−
2
），由点 P（2，1），
得?? = (2−?，1−），
8−?2
→
?? = (2−?，1 +)，
2
8−?2
8−?2
→→
2
则?? ⋅ ?? = (2−?)
+(1 +
)(1−
2
) = 0，
2
化简得 5m2﹣16m+12＝0，解得 m = 6或 m＝2（舍），
5
则此时直线 AB 方程为? = 6；
5
?2 + ?2 = 1
②当直线 AB 斜率存在时，设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 方程为 y＝kx+t，则 82，
? = ?? + ?
消去 y 得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8＝0，
222
?8???
4?2−8
当Δ＝（8kt） ﹣4（1+4k ）（4t ﹣8）＞0， 1 + ?2 = −1+4?2， 1?2 = 1+4?2，
?8?2?
2?
则 1 + ?2 = ?(?1 + ?2) + 2? = −
1+4?
2 +2? = 1+4?2，
y y ＝（kx +t）（kx +t）＝k2x x +kt（x +x ）+t2＝k24?2−8
8??
ktt2
?2−8?2，
1 21
→
21 212
→
−
1+4?2
+
1+4?2
= 1+4?2
可知?? = (2−?1，1−?1)，?? = (2−?2，1−?2)，
→→
当 AP⊥BP 时，?? ⋅ ?? = (2−?1)(2−?2) + (1−?1)(1−?2) = 0，
化简得 5﹣2（x1+x2）+x1x2﹣（y1+y2）+y1y2＝0，
代入得5 +
16??
4?2−8
+−
2?
?2−8?2
+
= 0，
1+4?2
1+4?2
1+4?2
1+4?2
化简得 12k2+16kt+5t2﹣2t﹣3＝0，变形得（2k+t﹣1）（6k+5t+3）＝0，
当 2k+t﹣1＝0，即 t＝1﹣2k，此时 y＝kx+1﹣2k＝k（x﹣2）+1，过定点（2，1），舍去，
当 6k+5t+3＝0 时，即? = −6?−3，此时? = ??−6?−3 = ?(?−6)−3，过定点(6，−3)，符合条件．
55555555
综上所述，直线 AB 过定点得证．