（教研室提供）山东省济宁市泗水县2023-2024学年高二上学期期中考试数学

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高二数学答案
一、单选题 1-5．DABAB 6-8．CDC
二、多选题 9．ACD 10．BCD 11．BC 12．BC
三、填空题 13．/ 14. 15．/ 16．
三、解答题
17．（1）3个白球（2）（3）
【详解】（1）设袋中原有n个白球，由题意知：，
解得n＝3（舍去n＝﹣2），即袋中原有3个白球
（2）记“取球两次终止”为事件A，
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次或第3次或第5次取到白球
记“甲取到白球”为事件B，
18．
【详解】（1）分别取中点，连接，
由已知底面是直角梯形，，，，
易得，
∵平面平面，平面平面，
∴，

以为中心，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由题意知为等腰直角三角形，，,
则，
∴，
∵，
∴，
显然是平面的一个法向量，
若平面，则，
即；
（2）由（1）知，，当时，
∴，
设分别为平面与平面的一个法向量，
则有，，
不妨令，则，
则，
设平面与平面的夹角为，
故,
即平面与平面的夹角的余弦值为.
19．
【详解】（1）已知椭圆的两个焦点分别为，设椭圆的标准方程为，且，则①，
又椭圆过点，所以②，联立①②解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，且直线过点，设直线的方程为，即，设，
则，消去得，所以，
又是弦的中点，所以，解得，则，
所以
故直线的方程为，弦为
20．
（1）
设圆的方程为，将M，N坐标代入，得：，
解得，所以圆的方程为；
（2）
当切线斜率不存在时，直线与圆相切；
当切线斜率存在时，设直线方程为，即，
由圆心到直线的距离，
解得，故切线方程为，
综上，切线方程为或；
（3）
设，，则，
化简得，
此圆与圆C相切，
所以有，解得，
所以或
21．
【详解】（1）如图，设交于点，连接，易知底面，，所以，
又是底面圆的内接正三角形，由，可得，.
又，，所以，即，
又，所以，
所以，即，
又平面，直线平面，平面，
所以直线平面.
.
（2）因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，

设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设，可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
即，
令，
则，
当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4，
即当时，的最大值为1，此时点，
所以，
所以点到平面的距离，
故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为
22．
【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，
当点到直线的距离取最大值时，轴，此时，
又椭圆的离心率，所以，
解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，直线的方程为．
代入椭圆的方程消去，
得，
，解得，
由韦达定理得，① ，②
若，则，所以，
代入①②得，，
消去，得，
解得，
所以，
所以的面积为．
高二数学答案
一、单选题 1-5．DABAB 6-8．CDC
二、多选题 9．ACD 10．BCD 11．BC 12．BC
三、填空题 13．/ 14. 15．/ 16．
三、解答题
17．（1）3个白球（2）（3）
【详解】（1）设袋中原有n个白球，由题意知：，
解得n＝3（舍去n＝﹣2），即袋中原有3个白球
（2）记“取球两次终止”为事件A，
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次或第3次或第5次取到白球
记“甲取到白球”为事件B，
18．
【详解】（1）分别取中点，连接，
由已知底面是直角梯形，，，，
易得，
∵平面平面，平面平面，
∴，

以为中心，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由题意知为等腰直角三角形，，,
则，
∴，
∵，
∴，
显然是平面的一个法向量，
若平面，则，
即；
（2）由（1）知，，当时，
∴，
设分别为平面与平面的一个法向量，
则有，，
不妨令，则，
则，
设平面与平面的夹角为，
故,
即平面与平面的夹角的余弦值为.
19．
【详解】（1）已知椭圆的两个焦点分别为，设椭圆的标准方程为，且，则①，
又椭圆过点，所以②，联立①②解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，且直线过点，设直线的方程为，即，设，
则，消去得，所以，
又是弦的中点，所以，解得，则，
所以
故直线的方程为，弦为
20．
（1）
设圆的方程为，将M，N坐标代入，得：，
解得，所以圆的方程为；
（2）
当切线斜率不存在时，直线与圆相切；
当切线斜率存在时，设直线方程为，即，
由圆心到直线的距离，
解得，故切线方程为，
综上，切线方程为或；
（3）
设，，则，
化简得，
此圆与圆C相切，
所以有，解得，
所以或
21．
【详解】（1）如图，设交于点，连接，易知底面，，所以，
又是底面圆的内接正三角形，由，可得，.
又，，所以，即，
又，所以，
所以，即，
又平面，直线平面，平面，
所以直线平面.
.
（2）因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，

设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设，可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
即，
令，
则，
当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4，
即当时，的最大值为1，此时点，
所以，
所以点到平面的距离，
故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为
22．
【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，
当点到直线的距离取最大值时，轴，此时，
又椭圆的离心率，所以，
解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，直线的方程为．
代入椭圆的方程消去，
得，
，解得，
由韦达定理得，① ，②
若，则，所以，
代入①②得，，
消去，得，
解得，
所以，
所以的面积为．