定远育才学校2025-2026学年高二（上）期中检测数学试题

这是一份定远育才学校2025-2026学年高二（上）期中检测数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l的方程为x+ 3y+11=0，则l的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
2.经过椭圆x225+y216=1的右焦点F2作斜率不为0的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△ABF1的周长为( )
A. 10B. 16C. 20D. 26
3.已知直线l1：x=0，l2：3x-4y=0，点A的坐标为A(1,a)(a>34).过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N(M,N的纵坐标均为正数)，当1|OM|+1|ON|(O为坐标原点)的值与k无关且为定值时，|OM|+4|ON|的最小值为( )
A. 13B. 12C. 8 3D. 454
4.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,M(12, 2)为C上一点，N为C上一动点，O是坐标原点.若MP⊥NF，垂足为P，则|OP|的最大值是( )
A. 3+ 172B. 17-32C. 3+ 174D. 17-34
5.设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1，若点F2关于l的对称点P恰好在双曲线C右支上，且F1P⋅F1F2=6a2，则C的离心率为( )
A. 3B. 5-1C. 5+1D. 2
6.已知抛物线y2=4x的焦点为F准线为l，P为抛物线上一点，过点P作直线PM⊥l于点M，且△PMF的内心H(1,4 33)，则△PMF内切圆的面积为( )
A. πB. 43πC. 2πD. 163π
7.已知直线l：kx-y+2k=0和圆O：x2+y2=16，则下列结论错误的是( )
A. 直线l恒过定点(-2,0)
B. 存在k使得直线l与直线l0：x-2y+2=0垂直
C. 直线l与圆O总相交
D. 存在直线l被圆O截得的弦长为6
8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，过椭圆右焦点F2作与x轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点B，若直线AB的斜率的取值范围是[14,13]，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. [23,34]B. [13,34]C. [12,34]D. [34,45]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点P是曲线mx2+ny2=1(其中m，n为常数)上一点，设A，B是直线y=x上任意两个不同的点，且|AB|=t，则下列结论中正确的是( )
A. 当mn>0时，曲线mx2+ny2=1表示椭圆
B. 当m=4，n=-3时，曲线mx2+ny2=1的渐近线为y=±2 33x
C. 当m=14,n=13,t= 142，使得△PAB是等腰直角三角形的点P只有6个
D. 当m=13,n=14,0a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为b5，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C经过A(-1,0)，B(2,3)两点，且圆心C在直线2x-y-4=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点(3,2)的直线l与圆C交于P，Q两点，如果|PQ|=4 2，求直线l的方程；
(3)已知M(x,y)是圆C上动点，求4x+3y的最大值．
16.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为34，长轴的长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上一点，且在x轴上方，若直线PF1的倾斜角为θ，csθ=13，求△PF1F2的面积．
17.(本小题15分)
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB/​/CD，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2，CD=3，E是A1B的中点，G是A1D上的一个动点，点F在A1C上，且满足A1FA1C=13．
(1)证明：AE⊥EF．
(2)证明：平面A1FG⊥平面AEF．
(3)试问：是否存在G，A，E，F四点共面？若存在，求出A1G的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与C交于A，B两点，且|AB|=4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程；
(3)若G，H两点在抛物线C上，点T(2,2)，直线TG，TH是圆E：x2+(y-2)2=1的两条切线，求直线GH的方程．
19.(本小题17分)
已知双曲线E：x2-y2b2=1(b>0)左、右顶点分别为A1，A2，过点M(-2,0)的直线l交双曲线E于P，Q两点．
(1)若离心率e= 2时，求b的值；
(2)若b=2，过点N(0,2)且斜率为t的直线与双曲线E只有一个交点，求t的值；
(3)连接OQ并延长，交双曲线E于点R，若A1R⋅A2P=1，求b的取值范围．
答案
1.C 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.D 8.A 9.BC 10.BCD 11.BCD
12.32 13. 22 14.32
15.解：(1)设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意得：(-1)2-D+F=022+32+2D+3E+F=02×(-D2)-(-E2)-4=0，
解得D=-4，E=0，F=-5，
所以圆方程为x2+y2-4x-5=0；
(2)由(1)知圆C的方程为：(x-2)2+y2=9，故圆心为(2,0)，半径r=3，
当直线l的斜率不存在时，将x=3代入圆的方程可得可得y=±2 2，
所以|PQ|=2×2 2=4 2，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y-2=k(x-3)，
即kx-y-3k+2=0，
弦长|PQ|=2 r2-d2=2 9-d2=4 2，可得d=1，
所以d=|2k-3k+2| 1+k2=1，解得k=34，
所以直线PQ的方程为y=34x-14，
综上所述：直线l的方程为：x=3或y=34x-14；
(3)令t=4x+3y，表示直线4x+3y-t=0，又M坐标满足(x-2)2+y2=9，
所以直线4x+3y-t=0与圆(x-2)2+y2=9有公共点，
所以圆心到直线的距离d=|2×4-t| 42+32≤3，
解得-7≤t≤23，故t的最大值为23．
16.解：(1)设椭圆C的半焦距为c，
由题可得e=ca=342a=8b2=a2-c2，解得：a=4b= 7c=3，
所以椭圆C的方程为x216+y27=1；
(2)左焦点F1(-3,0)，右焦点F2(3,0)，故|F1F2|=6，
设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=8，
又直线PF1的倾斜角为θ，csθ=13，则sinθ= 1-cs2θ=2 23，
在△PF1F2中，由余弦定理得n2=m2+|F1F2|2-2m|F1F2|csθ，
即(8-m)2=m2+36-4m，解得：m=73，
所以△PF1F2的面积S=12⋅|PF1|⋅|F1F2|⋅sinθ=12×73×6×2 23=14 23．
17.(1)证明：如图，过点A作AH⊥CD，交CD于点H，
以AH，AB，AA1的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，
则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(2,-1,0)，A1(0,0,2)，
又E为A1B的中点，点F在A1C上，且满足A1FA1C=13，
则E(0,1,1)，F(23,23,43)，AE=(0,1,1)，EF=(23,-13,13)，
AE⋅EF=0×23+1×(-13)+1×13=0，
所以AE⊥EF，
所以AE⊥EF；
(2)证明：由(1)知AE=(0,1,1)，AF=(23,23,43)，
设n=(x1,y1,z1)为平面AEF的法向量，
则AE⋅n=0AF⋅n=0⇒y1+z1=023x1+23y1+43z1=0⇒x1=y1z1=-y1，
令y1=1，得平面AEF的一个法向量n=(1,1,-1)，
A1C=(2,2,-2)，CD=(0,-3,0)，
设m=(x2,y2,z2)为平面A1CD的法向量，
则A1C⋅m=0CD⋅m=0⇒2x2+2y2-2z2=0-3y2=0⇒x2=z2y2=0，
令z2=1，得平面A1CD的一个法向量m=(1,0,1)，
因为m⋅n=1×1+0×1+1×(-1)=0，
所以m⊥n，
所以平面A1FG⊥平面AEF；
(3)假设存在G，A，E，F四点共面，即点G在平面AEF内，
则AG⋅n=0，
又AG=μAD+λAA1(μ,λ∈R)，AD=(2,-1,0)，AA1=(0,0,2)，n=(1,1,-1)，
所以AG⋅n=μAD⋅n+λAA1⋅n=0，
μ(2-1+0)+λ(0+0-2)=0，
解得μ=2λ，
又因为A1D，G三点共线，
所以μ+λ=1，
所以μ=23，λ=13，
故存在G，A，E，F四点共面，且AG=23AD+13AA1，即A1G=23A1D，
因为|A1D|= 22+12+22=3，
所以|A1G|=2，
即A1G的值为2．
18.解：(1)点F(0,p2)，设直线/方程为y=x+p2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x2=2pyy=x+p2，得x2-2px-p2=0，则x1+x2=2p，
从而y1+y2=x1+x2+p=3p，
所以|AB|=y1+y2+p=4p=4，则p=1，抛物线C的方程为x2=2y；
(2)由(1)知x1+x2=2，y1+y2=3，则线段AB的中点为M(1,32)，
从而线段AB的中垂线方程为y-32=-(x-1)，即y=-x+52，
由此可设所求圆的圆心为N(a,52-a)，
则|MN|= (a-1)2+(52-a-32)2= 2|a-1|，
由圆N与C的准线y=-12相切，得圆N的半径为r=|52-a-(-12)|=|3-a|，
又|NA|=r，|AM|=|AB|2=2，在Rt△AMN中|NA|2=|MN|2+|AM|2，
即(3-a)2=2(a-1)2+4，即a2+2a-3=0，解得a=-3或1，
从而圆N的方程为(x+3)2+(y-112)2=36或(x-1)2+(y-32)2=4；
(3)如图：
设G(x3,y3)，H(x4,y4)，则x32=2y3，x42=2y4，
直线TG的斜率为k=y3-2x3-2=x322-2x3-2=x3+22，
所以直线TG的方程为y-2=x3+22(x-2)，即(x3+2)x-2y-2x3=0，
因为直线TG与圆E相切，则圆心E到直线TG的距离为：
d=|-4-2x3| (x3+2)2+4=1，即3x32+12x3+8=0，又x32=2y3，
则12x3+6y3+8=0，即6x3+3y3+4=0，同理可得6x4+3y4+4=0，
所以直线GH的方程为6x+3y+4=0．
19.解：(1)由题意可得e=ca=c= 2，
故b= c2-a2= 2-1=1．
(2)当b=2时，双曲线的方程为x2-y24=1，
由题意可知，直线的方程为y=tx+2，
联立y=tx+24x2-y2=4，
可得(4-t2)x2-4tx-8=0(*)，
当4-t2=0时，即当t=±2时，方程(*)即为tx+2=0，该方程只有一个解，合乎题意；
当4-t2≠0时，即当t≠±2时，则Δ=16t2-4×(4-t2)×(-8)=16(8-t2)=0，解得t=±2 2．
综上所述，t=±2或2 2；
(3)由题知A1(-1,0)、A2(1,0)，
当直线l的斜率为0时，此时A1R⋅A2P=0，不合题意，
则直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为x=my-2，
设点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，
根据OQ延长线交双曲线E于点R，根据双曲线对称性知R(-x2,-y2)，
联立有x=my-2x2-y2b2=1⇒(b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0，
显然二次项系数b2m2-1≠0，
其中Δ=(-4mb2)2-4(b2m2-1)3b2=4b4m2+12b2>0，
由韦达定理可得y1+y2=4b2mb2m2-1①，y1y2=3b2b2m2-1②，
A1R=(-x2+1,-y2)，A2P=(x1-1,y1)，
则A1R⋅A2P=(-x2+1)(x1-1)-y1y2=1．
因为P(x1,y1)、Q(x2,y2)在直线l上，则x1=my1-2，x2=my2-2，
即-(my2-3)(my1-3)-y1y2=1，
即y1y2(m2+1)-(y1+y2)3m+10=0，
将①②代入有(m2+1)⋅3b2b2m2-1-3m⋅4b2mb2m2-1+10=0，
即3b2(m2+1)-3m⋅4b2m+10(b2m2-1)=0，
化简得b2m2+3b2-10=0，
所以m2=10b2-3，代入到b2m2-1≠0，
得b2=10-3b2≠1，
所以b2≠3，且m2=10b2-3≥0，
解得b2≤103，
又因为b>0，则0