2025年（中考数学）第三轮突破----反比例函数常考热点解答题专题训练 [有答案]

这是一份2025年（中考数学）第三轮突破----反比例函数常考热点解答题专题训练 [有答案]，共31页。试卷主要包含了反比例函数表达式的确定等内容，欢迎下载使用。
1．已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标；
2．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求k和m的值；
(2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标．
(3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，以，为邻边作，反比例函数的图象经过点，设点的横坐标为．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求反比例函数的解析式．
4．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知四边形是平行四边形，且其面积是12．
(1)求点的坐标及和的值；
(2)若两函数图象另一个交点坐标的纵坐标为，请结合图象，直接写出不等式的解集；
(3)若直线与有交点时，求的取值范围．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，请直接写出不等式的解集；
(3)若P是x轴上一点，且满足的面积是6，直接写出点P的坐标．
6．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线向上平移3个单位长度至直线与轴交于点，与的图象交于点，连接，，求的面积；
(3)在（2）的条件下，直接写出的值．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A、C在反比例函数的图像上，且点A的纵坐标为，点C的纵坐标为，点B的坐标为．
(1)利用无刻度的直尺，在反比例函数的图像上作出点D，使（不用写作法，保留作图痕迹）
(2)求k的值；
(3)直接写出a的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点．
(1)求的值．
(2)连接交于点，将矩形向右平移个单位长度得到矩形平移后点的对应点在反比例函数的图象上，求的值．
9．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点．点是第一象限内上的一个动点．
(1)直接写出点的坐标和不等式的解集；
(2)过点作轴的平行线与反比例函数的图象及轴分别交于两点．若，求点的坐标．
10．如图，平面直角坐标系中，有一面积为15的菱形，顶点A，B的坐标分别为，，反比例函数的图象经过点D．
(1)求点D的坐标及反比例函数的解析式；
(2)将菱形向上平移m个单位长度，当点B恰好落在反比例函数的图象上时，求平移的距离m．
11．如图，直线与轴，轴分别交于点A，B，反比例函数的图象经过的顶点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知动点从点到点，同时，动点从点到点，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，面积的最大值．
12．如图，在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，一次函数的图象经过A，C两点，且与y轴交于点B，反比例函数的图象过点C．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)点D是线段上一点，过点D作x轴的平行线交于点E，交反比例函数图象于点F．当时，求点F的坐标．
13．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围．
14．如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B.
(1)直接写出的值；
(2)①求证：
②设，，试求m与n的函数关系式.
15．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交轴于点，交反比例函数的图象于点，已知．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点为反比例函数图象上一动点，连接交轴于点，当为中点时，求的面积．
参考答案
1．(1)一次函数解析式为：；反比例函数表达式；
(2)或
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式和面积问题，数形结合和准确求出函数解析式是关键．
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）求出直线与轴交点的坐标为，得到，根据和面积相等列出方程，解方程即可求出答案．
【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
将点代入反比例函数表达式得，则
将点、的坐标代入一次函数解析式得到
解得
∴一次函数解析式为：；
（2）当时，，解得，，
∴直线与轴交点的坐标为，故；


或
点坐标为或
2．(1)，
(2)
(3)或或
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，平行四边形的性质，学会构建方程组确定交点坐标，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）分别将点B和点A的坐标代入中可得，，即可得反比例函数的解析式；
（2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F，设点D的坐标为，利用面积和与差即可解答；
（3）先根据平移可得函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：，分三种情况：①如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等，②如图3，四边形是平行四边形，③如图4，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答．
【详解】（1）∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴；
（2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F，
设点D的坐标为，
∵，
∴，
，
，
，，
经检验均是方程的解，
∴点D的坐标为；
（3）由题意得：函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：，
当时，，
∴，
分三种情况：
如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等，
∴设，，
∵，
∴，
解得：（舍），，
经检验：是原方程的解，
∴；
如图3，四边形是平行四边形，
由①知，，
∴，
∴，（舍），
经检验：是原方程的解，
∴点P的坐标为；
③如图4，四边形是平行四边形，
∵B，C关于原点对称，
∴P，Q关于原点对称，
设点Q的坐标为，则点P的坐标为，
∵点P在直线上，
∴，
解得：，，
经检验：，是原方程的解，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得C的坐标是解题的关键．
（1）由题意可知，结合平行四边形的性质求出，然后利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可知，然后利用待定系数法，根据得到，即可求解．
【详解】（1）点在直线上，点的横坐标为1，
．
四边形为平行四边形，轴，
轴，．
．
点在反比例函数的图象上，
．
（2）点在直线上，点的横坐标为，
．
四边形为平行四边形，轴，
轴，．
．
点在反比例函数的图象上，，
，
解得（舍去），．
故反比例函数的解析式为．
4．(1)，，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质：
（1）令，可得，再由平行四边形的面积是12，可得，进而得到，，即可；
（2）先求出点D的坐标，然后直接观察图象，即可求解；
（3）分别求出直线过点C，A时t的值，即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵轴，
∴设，
∵平行四边形的面积是12，
∴，即，
∴，，即，
∵点在直线上，
∴，
∴；
（2）解∶由（1）知：，
∵的纵坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴由图象可知：不等式的解集为：或；
（3）解：如图所示，
当直线经过点时，取最大值，
当直线经过点时，取最小值，
将点代入，得：，解得；
将点代入，得：，解得，
∴若直线与四边形有交点时，t的取值范围为．
5．(1)一次函数的表达式为
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，一次函数与几何图形，根据图象求出不等式的解集，作出辅助线表示出的面积是解题的关键．
对于（1），将点代入可得反比例函数关系式，再将点代入反比例函数关系式可得坐标，然后将点A，B代入一次函数关系式，求出解可得关系式；
对于（2），根据交点的横坐标，再根据反比例函数图象在一次函数图象上方可得答案；
对于（3），先设点P的坐标，再表示出，然后根据可得答案．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
∴反比例函数关系式为；
将点代入反比例函数关系式，
得，
∴点．
将点，代入一次函数关系式，
得，
解得，
∴一次函数关系式为；
（2）解：观察图象可得：当或时，；
（3）解：如图所示，
当时，，
解得，
∴点，
∴．
∵的面积是6，
∴，
解得，
当点P在原点左侧时，点；
当点P在原点右侧时，点．
所以点P的坐标为或．
6．(1)
(2)3
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据三角形的面积公式列式，代入数据计算即可．
（3）先运用勾股定理算出，，，结合平行的性质得同底等高，．结合等面积法算出，再把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：点在正比例函数图象上，
，解得，
，
在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为．
（2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，
令，则，
∴记直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
，
∴的面积；
（3）解：，
∴，，
过点作，如图所示：
由题意得：，
∴同底等高，
．
∵，
则
∴，
7．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）作直线，根据中心对称图形的定义，易得点D，A关于点O对称，即有，结合菱形的性质可得，易知，等底等高，即可证明结论；
（2）过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，证明，易得，即可确定，然后将其代入反比例函数解析式并求解即可；
（3）连接交于点P，则，，结合（2）可知，可确定点坐标，然后根据线段中点的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图（1），点D即为所求；
理由如下：
根据反比例函数的图像，直线均是关于点O的中心对称图形，
∴点D，A关于点O对称，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴；
（2）如图（2），过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，
则，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴点B在的平分线上，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴
∴，
将代入，得；
（3）如图（2），连接交于点P，则，，
∵点A的纵坐标为，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、中心对称图形的性质、反比例函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
8．(1)8；
(2)3．
【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平移变换等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用矩形顶点坐标确定的位置，代入反比例函数即可求解；
（2）先求出点的坐标，根据平移后在反比例函数图象上即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：∵点的坐标为，点的坐标为，是的中点，
∴点的坐标为，
对于，当时，，
∴．
9．(1)，，或
(2)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形、解一元二次方程等知识，利用数形结合思想求解是解答的关键.
（1）联立方程组即可求得点B、C坐标，结合图象求得一次函数图象位于反比例函数图象下方部分的点的横坐标取值范围即可得不等式的解集．
(2）设点坐标是，由，求得，再设点，由求出m的值即可．
【详解】（1）解：联立方程组，
解得，．
∴，．
根据图象，当或时，．
∴，，不等式的解集为：或．
（2）解：设点坐标是，
则，
，
．
点在直线上，
设点，
，
解得，，
点或点．
10．(1)，
(2)1
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）过D作于E，根据A、B的坐标求出，结合菱形的面积为15求出，根据勾股定理求出，则可求出点D的坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）根据平移性质求出点B平移后的坐标，然后代入（1）中函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：过D作于E，
∵A，B的坐标分别为，，
∴，
∵菱形的面积为15，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
代入，得，
∴，
∴；
（2）解：∵菱形ABCD向上平移m个单位长度，
∴点B平移后的坐标为，
∵平移后点B在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
即平移距离为1．
11．(1)
(2)
【分析】（1）首先，对于直线，求其与坐标轴交点．当时，可求出点坐标；当时，可求出点坐标．因为四边形是平行四边形，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合的长度以及点坐标求出点坐标．最后将点坐标代入反比例函数中，求出的值，进而得到反比例函数表达式．
（2）先求出的长度，再根据动点、的运动速度和方向，设运动时间为秒，分别表示出、的长度．过作于，利用相似三角形的性质求出关于的表达式．根据三角形面积公式得到面积关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求出面积的最大值．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，，
解得，
∴．
当时，，
∴．
∵四边形是平行四边形，，，
∴点坐标为即．
又∵且，，
∴点坐标为．
把代入反比例函数中，可得
，解得．
∴反比例函数表达式为．
（2）解：由，，
∴根据勾股定理可得．
设运动时间为秒，则，，．
过作于，
∴
∴
∴．
∴，
∵，，，
∴．
∵，
∴把，代入可得： ．
∴当时，取得最大值，．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及的知识点有：一次函数与坐标轴交点坐标的求法．平行四边形的性质(对边平行且相等)．反比例函数表达式的确定(待定系数法)．相似三角形的判定与性质．二次函数求最值． 解题的关键在于：利用平行四边形性质准确求出点坐标来确定反比例函数表达式．在求三角形面积最大值时，通过相似三角形得到高的表达式，进而构建二次函数，利用二次函数性质求解．
12．(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把点代入，求出反比例函数的表达式为，再把代入，求出一次函数的表达式为，即可作答．
（2）理解题意，设，因为平行于轴，所以，即，结合，得，解得，即点的纵坐标为，把代入得，即可作答．
【详解】（1）解：把点代入，
得，
解得，
∴反比例函数的表达式为，
把代入，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由（1）得，
设，
∵过点D作x轴的平行线交于点E，交反比例函数图象于点F．
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵平行于轴，
∴点的纵坐标为，
把代入得，
∴点的坐标为．
13．(1)
(2)6
(3)或
【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质等知识，注意数形结合思想的运用．
（1）根据点A的横坐标与B点的纵坐标都为，分别代入反比例函数式中即可求得A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得直线解析式；
（2）由（1）所求直线解析式可求得点M的坐标，再由即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，
，，
一次函数的图象过、两点，
，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：令，则，
，
，
，
；
（3）解：观察函数图象发现：
当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方．
14．(1)4
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，一次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）设点，由轴，轴，得到，，根据点P在反比例函数图象上，于是得到；
（2）①在中，令，则；令，则，于是得到，，求得，根据等腰直角三角形的性质得到；
②由①知是等腰直角三角形，得到，过C作轴于E，轴于F，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，求得，，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：设点，
∵轴，轴，
∴，，
∵点P在反比例函数图象上，
∴；
（2）解：①证明：∵在中，令，则；令，则，
∴，，
∴，
∵，
∴；
②由①知是等腰直角三角形，
∴，
过C作轴于E，轴于F，
则四边形是矩形，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴m与n的函数关系式为.
15．(1)
(2)3
【分析】本题考查根据函数值求自变量，待定系数法求反比例函数解析式，中点坐标，熟练掌握这些知识点是解题关键．
（1）把点坐标代入反比例函数求得点坐标，根据求出点的坐标，然后把点的坐标代入中求得的值，即可求出的解析式．
（2）设． 根据的中点在轴上，求出点和点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
解得，
轴，，
把点坐标代入，得
．
．
该反比例函数的解析式为；
（2）设．
，点为的中点，
．
点在轴上，
，
．
，，
．
，．
．
的面积为3．