福建泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟2026届高三上学期11月期中数学试题及详细解析

这是一份福建泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟2026届高三上学期11月期中数学试题及详细解析，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设 z=2+ii5 ,则 z= ( )
A. 1−2i B. 1+2i C. 2−i D. 2+i
2. 已知 a∈R ,则 “ a>1 ” 是 “ 1a0sinωx+π6,−π≤x≤0 ,若 2f2x−3fx+1=0 恰有 6 个不同实数解,则正实数 ω 的范围为( )
A. 2,103 B. 2,103 C. 103,4 D. 103,4
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9、下列不等式一定成立的有( )
A. x+1x≥2 B. x+1x≥2 C. x1−x≤14 D. x2+3x2+2≥23−2
10. 已知函数 fx=Asinωx+φ A>0,ω>0,φ1 的 x 的取值范围为 kπ,kπ+π3k∈Z
C. 将函数 fx 图象上所有点的横坐标变为原来 12 ，得到的图象关于 x=π6 对称
D. 函数 fx 与 gx=−2cs2x 的图象关于直线 x=π3 对称
11. 若数列 an 满足 1an+1−1an=d ( n∈N∗ , d 为常数),则称数列 an 为 “调和数列”. 已知数列 bn 为“调和数列”，下列说法正确的是( )
A. 若 bn=2n+1cn ，且 c1=3,c2=15 ，则 bn=12n−1
B. 若 t=1201bt=20 ，则 b10+b11=b10b11
C. 若 bn 中各项均为正数,则 bn+1≤bn+bn+22
D. 若 b1=1,b2=12 ，则 i=2n+1bi⋅lni−1≤n2−n4
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 数列 an 满足 an+1=1+an1−an,a1=32,n∈N∗ ,则 a2025= _____.
13. 设集合 M={2,0,−1},N={x∥x−a∣0 ，若对任意的 x∈0,+∞ ，不等式 eλx−lnxλ≥0 恒成立，则 λ 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题 13 分) 设函数 fx=kx3−3x2+1k≥0 .
(1)求函数 fx 的单调区间；
(2)若函数 fx 的极小值大于 0，求 k 的取值范围.
16. (本题 15 分) 已知向量 a=sinωx,1,b=csωx,−1 其中 ω>0 ，函数 fx=b−a⋅a ，且最小正周期为 π .
(1) 求 fx 的对称中心及其在区间 −π8,5π8 上的最大值与最小值；
( 2 )将函数 fx 的图象先向右平移 π8 个单位，再向上平移 52 个单位，得到函数 gx 的图象，若直线 y=64 与函数 gx 图象在 y 轴右侧从左到右的 30 个交点的横坐标依次为 x1,x2,…,x30 ，求 x1+x2+…+x30 的值.
17. (本题 15 分) 已知锐角 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 a−c=2ccsB . (1)证明: B=2C ；
(2)若 a=2 ，求 csCb+1c 的取值范围.
18.(本题 17 分)已知 an 是等差数列，其前 n 项和为 Sn,bn 是等比数列，已知 a1=1,S3=6 ， b1=a2,a5 是 a4 和 b4 的等比中项.
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2)求数列 3an−1bn 的前 n 项和 Tn ；
(3) 记 cn=bn−1bn+1−1 ,求证: n2−12+12n+11 ” 是 “ 1a1 ,得 1a0,fx 单调递增, x∈1,+∞ 时, f′x0 ，函数 fx=b−a⋅a ，且最小正周期为 π .
(1)求 fx 的对称中心及其在区间 −π8,5π8 上的最大值与最小值；
(2)将函数 fx 的图象先向右平移 π8 个单位，再向上平移 52 个单位，得到函数 gx 的图象，若直线 y=64 与函数 gx 图象在 y 轴右侧从左到右的 30 个交点的横坐标依次为 x1,x2,…,x30 ，求 x1+x2+…+x30 的值.
【答案】(1)对称中心为 kπ2−π8,−52,k∈Z . 最大值为 2−52 ,最小值为 −2+52
(2) 435π2
【分析】(1) 利用数量积的坐标表示求出 fx ，结合周期可求 ω=1 ，再利用整体法可求单调增区间和对称中心.
(2)根据图象变换可得 gx=22sin2x ，根据三角函数的周期性和特殊角的三角函数值利用数列求和可求 x1+x2+…+x30 的值.
【详解】(1)依题意， fx=a⋅b−a2=sinωx⋅csωx−1−sin2ωx−1=12sin2ωx−1−cs2ωx2−2 =22sin2ωx+π4−52 , .2 分
又因为函数 fx 的最小正周期为 π,∴T=2π2ω=π ,即 ω=1 .
∴fx=22sin2x+π4−52 , .3 分令 2x+π4=kπ,k∈Z ,则 x=kπ2−π8,k∈Z ,
∴fx 的对称中心为 kπ2−π8,−52,k∈Z .4 分
∵x∈−π8,5π8,∴2x+π4∈0,3π2 .5 分
∴ 当 2x+π4=π2 ,即 x=π8 时, fxmax=2−52 ;
∴ 当 2x+π4=3π2 ,即 x=5π8 时, fxmin=−2+52 ;
故 fx 在区间 −π8,5π8 上的最大值为 2−52 ，最小值为 −2+52 .7 分
(2)由题设有 gx=52−52+22sin2x−π4+π4=22sin2x , .9 分
令 22sin2x=64 ，得 sin2x=32 ， ∴2x=π3+2kπ 或 2x=2π3+2kπ ， 10 分
即 x=π6+kπ 或 x=π3+kπ ,又 ∵xi>0i=1,2,3⋯,30
∴k∈N 且 x2n−1n∈N∗ 是以 π6 为首项， π 为公差的等差数列,
x2nn∈N∗ 是以 π3 为首项， π 为公差的等差数列, 12 分
∴x1+x2+…+x30=x1+x3+⋯+x29+x2+x4+⋯+x30 13 分
=15π6+15⋅15−1⋅π2+15π3+15⋅15−1⋅π2
=15π2+210π=435π2 .15 分
法二利用并项求和类似给分
17. (本题 15 分) 已知锐角 ∨ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 a−c=2ccsB .
(1)证明: B=2C ；
(2)若 a=2 ，求 csCb+1c 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2) 34,32
【分析】(1) 由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得 sinB−C=sinC ,进一步即可证明;
(2)由题意首先求得 csC 的取值范围，进一步将目标式子 csCb+1c 转换为只含有 csC 的式子即可求解.
【详解】(1) 因为 a−c=2ccsB ,由正弦定理得 sinA−sinC=2sinCcsB , .2 分
所以 sinBcsC+sinCcsB−sinC=2sinCcsB ,
所以 sinBcsC−sinCcsB=sinC⇔sinB−C=sinC . .4 分
而 0